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Obtener la función de transferencia de un sistema a partir de su curva de respuesta real

Si ya se dispone de una gráfica de la señal de salida del sistema ante una entrada escalón, es posible obtener la representación analítica del sistema en forma de función de transferencia G(s). Veremos a continuación varios métodos según sea el caso.

Sistema de primer orden

Obtención de G(s) a partir de la curva de la señal de salida en respuesta a un escalón.

Supongamos que la curva de respuesta real de un sistema al escalón unitario es la siguiente:

Figura 1. Respuesta real al escalón unitario de un sistema de primer orden.

En este caso, disponemos de dos métodos:

  1. Método de la constante de tiempo τ: Debemos aquí considerar que la curva alcanza el 63,212% del valor final cuando ha transcurrido un tiempo t=τ. En la gráfica observamos que el valor final de la curva y es 1. En otras palabras, y(∞)=1. Por lo tanto, debemos identificar sobre la gráfica el momento en que la curva alcanza el valor 0.63212. Es decir, el tiempo t para que y(t)=0.63212. En ese instante se cumple que t=τ. Se procede entonces a trazar una recta paralela al eje de las abscisas (eje t en este caso) que corresponda al 63,212% del valor final de y(t). En ese punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ.
  • Método de la pendiente máxima: Se traza una recta con pendiente máxima desde el origen sobre la curva de respuesta, hasta que intercepta la recta de prolongación que coincide con el valor final (y(∞)=1 en este caso). En este punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ. Es de utilidad Notar que la recta paralela al eje de las ordenadas corta la curva cuando su valor es del 63,212% del valor final.

De acuerdo con la gráfica, el valor de τ=2s  y la ganancia estática k=1(y(∞)=1), sustituimos ambos valores en la ecuación prototipo para un sistema de primer orden y obtenemos la función de transferencia G(s) del sistema (de la planta):

Comprobamos este resultado con el simulador de Matlab y vemos que el resultado se corresponde con el enunciado:

G=tf([0.5],[1 0.5]);
step(G)

Figura 2. Simulación en Matlab de al respuesta al escalón unitario de G(s)=0.5/(s+0.5)
Sistema de grado superior

Una forma de determinar la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, a partir de la gráfica de la curva real de su respuesta al escalón, es considerar que el sistema de grado n está formado por n subsistemas de primer grado interconectados en serie. Es decir, la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, se puede aproximar mediante la ecuación:

En la gráfica siguiente podemos observar respuesta críticamente amortiguadas de sistemas de grado 2 hasta grado 7:

Respuestas normalizadas críticamente amortiguadas para entradas escalón unitario de sistemas de grado 2 a grado 7.

En la gráfica anterior se observa la semejanza entre la respuesta del sistema de segundo grado con respecto a la respuesta de sistemas de grados superiores, salvo que conforme se incrementa el grado del sistema, la respuesta tiende a retrasarse cada vez más (tiempo de atraso) en su despegue para empezar a alcanzar su valor final (tiempo de crecimiento exponencial).

Definimos los parámetros:

Tiempo de atraso Ta y tiempo de crecimiento exponencial Tce para un sistema críticamente amortiguado de grado n.

En la gráfica anterior, una vez medidos los valores de Ta y Tce, nos interesa saber el valor del cociente Tce/Ta. Gracias a la siguiente tabla podemos relacionar el valor del cociente Tce/Ta con el orden del sistema y además hallar el valor de la constante de tiempo:

Aproximación de la constante de tiempo de un sistema críticamente amortiguado de grado n.

Al aplicar el método, lo conveniente es simular el resultado, para luego ajustar los valores obtenidos para la ganancia y la constante de tiempo (en el caso de un sistema de primer grado) hasta alcanzar un resultado óptimo.

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise

Revisión literaria hecha por:

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