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Ejemplo masa unida a extremo resorte – Báscula – ecuaciones

En una fábrica de básculas se realizan pruebas para mejorar la calidad, una masa de 3 kilogramos está unida al extremo de un resorte estirado 20 centímetros por una fuerza de 15 Newtons. Es puesto en movimiento en posición inicial x=0 y velocidad inicial de -10 m/s

    1. Encuentre la ecuación que describe el movimiento x(t)
    2. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento
    3. Calcule la posición, velocidad y aceleración del cuerpo 1 segundos después de iniciado el movimiento.
Respuesta:

Una báscula es un instrumento técnico diseñado para calibrar el peso de una masa. En la primera etapa del problema el resorte está estirado 20 cm, con una masa de 3 Kg en su extremo, sometido a una fuerza de 15 N, como en la Figura 1:

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Figura 1

El resorte está sometido a la acción de dos fuerzas: la fuerza F1=15 N, y la fuerza F2 del peso de la masa de 3 Kg, es decir:

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Por la Ley de Hooke sabemos que el resorte se estira x=20 cm bajo la acción de estas dos fuerzas y según la fórmula siguiente:

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De donde obtenemos el valor de la constante k:

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En la segunda etapa del problema el resorte es puesto en movimiento en la posición inicial x=0 y con velocidad inicial vo=-10 m/s. Suponiendo que el desplazamiento es positivo hacia abajo, acudimos a la segunda ley de Newton:

nullDónde:

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Por lo tanto:

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Aplicamos transformada de Laplace:

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Pero sabemos del enunciado que:

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Sustituyendo obtenemos:

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Despejamos X(s):

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Para aplicar la antitransformada consideramos la siguiente tabla:

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Entonces:

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Aplicando la antitransformada de Laplace obtenemos x(t):

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Podemos ver en la ecuación (1) que el desplazamiento del resorte es una oscilación infinita. Esto sucede porque no el sistema no tiene, idealmente, amortiguación. De la ecuación (1) podemos obtener los siguientes datos:

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Para encontrar la posición en t= 1 s, sustituimos este valor en la ecuación (1):

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El signo negativo del resultado anterior indica que el resorte se ha movido hacia arriba. Para encontrar la velocidad v(t) en t= 1 s , derivamos la ecuación (1):

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El signo negativo del resultado anterior indica que el resorte se mueve hacia arriba. Para encontrar la aceleración a(t) en t= 1 s , derivamos la ecuación (2):

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Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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