Sea una planta cuyo comportamiento se modela como un sistema de primer orden. La respuesta de todo el sistema controlado frente a un escalón unitario es la representada en la siguiente figura:
Esta planta es controlada mediante un regulador P, cuya ganancia vale 13.37, y el sistema tiene realimentación unitaria.
Se pide determinar:
- La función de transferencia de la planta.
- Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.
Respuesta:
Debido a que el sistema se comporta como un sistema de primer grado, podemos suponer que la función de transferencia de dicho sistema es de la forma siguiente:
La constante de tiempo T es el tiempo en que el sistema alcanza un 63.2% de su valor final. De acuerdo con la gráfica de la respuesta del sistema a la entrada escalón unitario, este valor final es de 0.89, por lo tanto, T es el tiempo en que el sistema alcanza el valor de 0.562:
En la gráfica anterior podemos ver que el valor de 0.562 se logra aproximadamente a los 0.36 s. Entonces:
En la función de transferencia predeterminada para el sistema:
La variable a se relaciona con la constante de tiempo T de la manera siguiente:
Para encontrar la constante K debemos considerar que analíticamente la respuesta del sistema a la función escalón es como sigue:
La antitransformada de Laplace de C(s) nos permite obtener c(t):
La ecuación para c(t) nos permite ver que el valor final de la respuesta del sistema es k/a. De la gráfica podemos afirmar entonces que:
Es decir:
De esta manera podemos afirmar que la función de transferencia del sistema es:
Este resultado lo podemos corroborar con la siguiente simulación:
>> Gs=tf([2.47],[1 2.78]);
>> step(Gs)
La planta es controlada mediante un regulador P, de ganancia k1=13.37, y realimentación unitaria. Ambos componentes se pueden representar mediante el siguiente diagrama de bloque:
Es decir:
Dónde:
Entonces:
De donde:
En definitiva, la función de transferencia de la planta es:
2da parte
Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.
Respuesta 2:
La nueva situación se representa mediante el siguiente diagrama de bloques:
Dónde:
La función de transferencia del lazo realimentado es:
La función de transferencia del sistema en su totalidad es:
Para estudiar la estabilidad del sistema nos enfocamos en su ecuación característica para aplicar el criterio de Routh-Hurwitz:
Para lograr estabilidad deben cumplir estas dos condiciones:
Del análisis de estabilidad del sistema concluimos que el valor máximo de la constante del controlador integral para garantizar estabilidad es 13.14.
SIGUIENTE:
ADEMÁS:
- La Transformada de Laplace
- Transformada de Laplace del Pulso Rectangular
- La Transformada Z
- La antitransformada de Laplace
- Ejemplo de antitransformada de Laplace
- Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab
- La Función de Transferencia
- La respuesta al impulso, la salida y la integral de convolución de un sist. LIT
- Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución
- Convolución en el tiempo continuo – Ejemplos
- Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
- Método gráfico de convolución de señales continuas
- Sistemas lineales e invariantes en el tiempo
Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch
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