Función de Transferencia, Respuesta en el tiempo

FT a partir de la respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden

Sea una planta cuyo comportamiento se modela como un sistema de primer orden. La respuesta de todo el sistema controlado frente a un escalón unitario es la representada en la siguiente figura:

null

Esta planta es controlada mediante un regulador P, cuya ganancia vale 13.37, y el sistema  tiene  realimentación unitaria.

Se pide determinar:

  1. La función de transferencia de la planta.
  2. Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.

Respuesta:

Debido a que el sistema se comporta como un sistema de primer grado, podemos suponer que la función de transferencia de dicho sistema es de la forma siguiente:

null

La constante de tiempo T es el tiempo en que el sistema alcanza un 63.2% de su valor final. De acuerdo con la gráfica de la respuesta del sistema a la entrada escalón unitario, este valor final es de 0.89, por lo tanto, T es el tiempo en que el sistema alcanza el valor de 0.562:null

null

En la gráfica anterior podemos ver que el valor de 0.562 se logra aproximadamente a los 0.36 s. Entonces:

null

En la función de transferencia predeterminada para el sistema:

null

La variable a se relaciona con la constante de tiempo T de la manera siguiente:

null 

Para encontrar la constante K debemos considerar que analíticamente la respuesta del sistema a la función escalón es como sigue:

null

La antitransformada de Laplace de C(s) nos permite obtener c(t):

null

La ecuación para c(t) nos permite ver que el valor final de la respuesta del sistema es k/a. De la gráfica podemos afirmar entonces que:

nullEs decir:

null

De esta manera podemos afirmar que la función de transferencia del sistema es:

null

Este resultado lo podemos corroborar con la siguiente simulación:

>> Gs=tf([2.47],[1 2.78]);

>> step(Gs)

null

La planta es controlada mediante un regulador P, de ganancia k1=13.37, y realimentación unitaria. Ambos componentes se pueden representar mediante el siguiente diagrama de bloque:

null

Es decir:

null

Dónde:

null

Entonces:nullDe donde:

null

En definitiva, la función de transferencia de la planta es:

null

2da parte

Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.

Respuesta 2:

La nueva situación se representa mediante el siguiente diagrama de bloques:

null

Dónde:

null

La función de transferencia del lazo realimentado es:

null

La función de transferencia del sistema en su totalidad es:

null

Para estudiar la estabilidad del sistema nos enfocamos en su ecuación característica para aplicar el criterio de Routh-Hurwitz:

null

Para lograr estabilidad deben cumplir estas dos condiciones:

null

Del análisis de estabilidad del sistema concluimos que el valor máximo de la constante del controlador integral para garantizar estabilidad es 13.14.

SIGUIENTE:

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