Teoría Electromagnética

Ley de Faraday – Inducción Electromagnética

El campo eléctrico producido por un campo magnético cambiante (Ley de Faraday) y el campo magnético que genera un campo eléctrico cambiante (ecuaciones de Maxwell).

Une vez conocidas las relaciones fundamentales de la electrostática y de los campos magnéticos estables, se está en capacidad de analizar los campos que varían con el tiempo. Se presentan dos nuevos conceptos: el campo eléctrico producido por un campo magnético cambiante (Ley de Faraday) y el campo magnético que genera un campo eléctrico cambiante (ecuaciones de Maxwell).

Ley de Faraday

Encontramos corrientes inducidas I en un circuito cuando hay movimiento relativo de una fuente de campo magnético respecto a él. Factores a considerar: el campo magnético B generado por la fuente, la velocidad y el sentido del movimiento relativo entre la fuente y el circuito.

null

Los campos magnéticos B variables inducen corrientes en un circuito (incluso cuando no haya movimiento relativo entre imán y espira)

null

La Ley de Faraday nos muestra que el voltaje Eind inducido por un flujo magnético ΦB  que cambia con el tiempo, a través de una trayectoria cerrada específica es:

null

Si hay varias espiras (N espiras) y se adopta la convención de que ΦB es el flujo por espira, entonces la Ley de Faraday se puede escribir como:

null

La ecuación (2) también es conocida como la expresión para la fuerza magnetomotriz fem:

null

El procedimiento para calcular fem es el siguiente:

  1. Escoja un sentido para el vector área (se recomienda elegir el sentido del vector área en el mismo sentido que el campo magnético).
  2. A partir del flujo determine el signo de B/dt y Eind.
  3. El sentido de la corriente inducida se determina con al regla de la mano derecha con el pulgar apuntando en el sentido del vector área.
  4. Si la fem es positiva, los dedos cerrados indican el sentido de la corriente.

null

5.  Si la fem es negativa, los dedos cerrados indican el sentido opuesto de la corriente.

null

Ejemplo 1

Considere un circuito de área variable con los parámetros área A=x.L, campo magnético B, velocidad v, corriente I como se muestra en la siguiente figura:

null

Podemos decir que el flujo magnético ΦB está dado por la siguiente expresión:

nullEntonces Eind es:null

Ejemplo 2

Se coloca una bobina de alambre que contiene 500 espiras circulares con radio de 4 cm entre los polos de un electroimán grande (Figura siguiente), donde el campo magnético es uniforme y tiene un ángulo de 60° con respecto al plano de la bobina. El campo disminuye a razón de 0.200 T/s ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fem inducida?

null

  1. Se elige que la dirección del vector área A sea la que se observa en la figura.
  2. El campo magnético es uniforme en toda la espira, por lo que es posible calcular el flujo ΦB mediante:

nullDónde:nullEn la expresión para la única cantidad que cambia es la magnitud del campo B. La tasa de cambio de ΦB es:

nullLuego:nullPor lo que:

nullEn definitiva:

null

Observar que la respuesta es positiva. Esto significa que cuando se apunta el pulgar derecho en la dirección del vector de área A. la dirección positiva de la fem corresponde a la de los dedos doblados de la mano derecha. La corriente tiene la misma dirección de los dedos, es decir en contra de las agujas del reloj.

Ejemplo 3

Una espira circular flexible de 6.50 cm de diámetro está en un campo magnético con magnitud de 0.950 T, dirigido hacia el plano de la página, como se ilustra en la figura siguiente. Se tira de la espira en los puntos indicados por las flechas, para formar una espira de área igual a cero en 0.250 s. a) Calcule la fem inducida media en el circuito.
b) ¿Cuál es el sentido de la corriente en R: de a a b o de b a a? Explique
su razonamiento.

null

El flujo cambia porque al área del circuito cambia:

null

Como el campo magnético se dirige a la página y la magnitud del flujo a través del bucle está disminuyendo, la corriente inducida debe producir un campo que entra en la página. Por lo tanto, la corriente fluye desde el punto a la resistencia al punto b. La corriente inducida es en sentido horario alrededor del bucle.

Ejemplo 4

Suponga que la espira en la figura siguiente se hace girar a) en torno al eje y; b) en torno al eje x; c) en torno a un borde paralelo al eje z. ¿Cuál es la fem máxima inducida en cada caso si A=600 cm2, ω=35.0 rad/s y B=0.450 T?

null

Rotando alrededor del eje y, La fem y el flujo están dados por:

null

Rotando alrededor del eje x:

null

Rotando alrededor del eje z:

nullFuentes:

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Teoría Electromagnética

Fuerza magnética sobre una carga móvil.

La fuerza magnética sobre una carga móvil tiene cuatro características esenciales.

La primera es que su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga. La segunda es que la magnitud de la fuerza también es proporcional a la magnitud del campo. La tercera es que la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula. Y la cuarta es que los experimentos indican que la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo magnético B, sino que es siempre perpendicular tanto a B como a la velocidad de la partícula v. Cuando v y B son paralelas, la fuerza F es cero. La Figura 1 muestra estas relaciones, que se expresan matemáticamente mediante la siguiente ecuación, donde X se entiende por producto vectorial:

null

null
Figura 1

La magnitud de la fuerza F es:

null

Donde  es la magnitud de la carga, v es la velocidad de la carga, B es la magnitud del campo y es el ángulo medido desde la dirección de v hacia la dirección de B, como se muestra en la Figura 1.

La magnitud de F es máxima cuando v y B son perpendiculares, como se ilustra en la Figura 2:

null
Figura 2

Para calcular la dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada, se utiliza la regla de la mano derecha, según la Figura 3:

null
Figura 3
Movimiento de partícula cargada en un campo magnético.

Cuando una partícula se mueve en un campo magnético, sobre ella actúa una fuerza magnética dada por la siguiente ecuación 1, cuya magnitud es:

null

Donde m es la masa de la partícula y R la órbita circular.

De esta manera se obtiene el radio R de una órbita circular en un campo magnético, y la rapidez angular de la partícula como:

null
La órbita de una partícula cargada en un campo magnético uniforme se puede observar en la Figura 4:

null
Figura 4

Fuente:

Fisica_Universitaria_-_Sears-Zemansky_Vo

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Electrical Engineer, Flujo de Potencia, Ingeniería Eléctrica, Power Distribution, Teoría Electromagnética

Definición de Sistema Eléctrico de Potencia

Un sistema eléctrico de potencia es una herramienta de conversión y transporte de energía. Está compuesto por todas las máquinas, aparatos, redes, procesos y materiales utilizados para la generación, transmisión y distribución de energía eléctrica. 

El manejo de la energía eléctrica en los sistemas de potencia se hace principalmente en la forma conocida como corriente alterna. En la entrada del sistema, la energía que se encuentra disponible en la naturaleza es transformada de diversas formas (hidráulica, eólica, por combustión de fósiles, nuclear, solar, geotérmica) en energía eléctrica. La última etapa en este proceso de generación lo representa el generador eléctrico. En la siguiente ilustración muestra la representación esquemática de una gran turbina eólica comercial (1) que impulsa un generador de inducción de jaula de ardilla (4) por medio de una caja de velocidades (3). El estator del generador está conectado a la red de energía eléctrica (7) por medio de un transformador (6):

Turbina Eólica

Una vez generada la energía eléctrica, inicia el proceso de transmisión, que consiste en el transporte de grandes bloques de energía desde los centros de generación hasta los centros de utilización. Ya disponible la energía eléctrica en los pueblos y ciudades, los usuarios finales son habilitados mediante el proceso de distribución.

Los sistemas de potencia eléctrica se componen de líneas de transmisión de alto voltaje que alimentan a una red de mediano voltaje (MV) por medio de subestaciones.

power lines over sunset and birds flying.

En América, estas redes de mediano voltaje operan generalmente entre los 2.4 KV (kilovoltios) y 69 KV. A su vez, éstas redes abastecen a millones de sistemas de bajo voltaje independientes que funcionan entre 120V y 600V.

Comenzando con la planta de generación, cada parte de un sistema eléctrico de potencia utiliza subestaciones de mediano voltaje, unidades que contienen los siguientes componentes principales:

  1. Transformadores
  2. Cortacircuitos
  3. Interruptores de conexión
  4. Interruptores de conexión a tierra
  5. Relevadores y dispositivos de protección

Las líneas de transmisión poseen todas las propiedades de los elementos básicos de un circuito (resistencias, capacitores, bobinas y las conexiones entre todos ellos). Para el análisis y estudio de las líneas de transmisión, mediante un proceso de abstracción, todos estos elementos se consideran concentrados, aunque en la realidad estas propiedades están distribuidas a través de toda la red. El estudio de las líneas de transmisión de un sistema eléctrico de potencia es el paso inicial para comprender a profundidad el comportamiento ondulatorio de dicho sistema.

A pesar de que la teoría fundamental de la transmisión de energía describe su propagación en términos de la interacción de campos eléctricos y magnéticos, el ingeniero eléctrico especializado en sistemas de potencia, estará más interesado en analizar la razón de cambio de la energía con respecto al tiempo en términos de diferencia de potencial (voltaje) y de la intensidad (corriente). Esta es la definición de potencia eléctrica cuya unidad de medida es el Watt.

Los sistemas de potencia funcionan con generadores trifásicos, por lo que el estudio de la potencia eléctrica requiere de destrezas para el análisis fasorial. Conviene antes, sin embargo, analizar la Potencia Eléctrica en Circuitos Monofásicos, y luego extrapolar este análisis al caso trifásico. Para poder analizar la Potencia Eléctrica en circuitos monofásicos, debemos dominar los elemental:

  1. Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores
  2. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico
  3. What is Electrical Engineering?
  4. What can you really do as an electrical engineer?

Fuente:

  1. Libro Analisis_de_sistemas_de_pot
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg
  3. Wildi. Maquinas Electricas y Sistemas de Potencia
  4. Getty Images

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Definición de diferencia de potencial y potencial eléctrico.

Se define la Diferencia de Potencial V como “El trabajo que se realiza (un agente externo) al mover una unidad de carga positiva de un punto a otro en un campo eléctrico

Anteriormente definimos la Intensidad del Campo Eléctrico como “La fuerza por unidad de carga que se ejerce sobre una pequeña carga de prueba unitaria colocada en el punto en donde se desea medir el valor de este campo eléctrico vectorial”. Si intentamos desplazar esta carga de prueba en contra de la dirección del campo eléctrico, se tiene que ejercer una fuerza igual y opuesta  a dicho campo, lo cual implica un gasto de energía debido al trabajo que es preciso realizar. Supongamos que queremos desplazar la carga Q en una distancia dL en un campo eléctrico E. La fuerza FE que ejerce el campo eléctrico sobre la carga Q es:

Es decir, la componente de ala fuerza en la dirección dL  que se debe vencer es:

En donde aL  es un vector unitario en la dirección dL.

Para desplazar la carga Q una distancia dL, se debe aplicar entonces la fuerza siguiente:

En este proceso hay un gasto de energía, que es igual al producto de la fuerza y la distancia desplazada. El trabajo diferencial dW que realiza el agente externo al desplazar Q sobre dL  es:

Dónde dL= aLdL. Es interesante resaltar que, según la ecuación anterior, dW es cero si E y dL  son perpendiculares.

Para determinar el trabajo W necesario para mover la carga Q una distancia infinita es necesario integrar, por lo que obtenemos:

Cómo se definió al principio, la diferencia de potencial V es el trabajo por unidad de carga positiva:

En consecuencia, de la ecuación (2) obtenemos la ecuación (1). La diferencia de potencial se mide entonces en joules por coulomb, de lo cual se define el voltio (V). La diferencia de potencial entre los puntos A y B está dada por:

Dónde VAB es positivo si se realiza trabajo cuando la carga se mueve de B a A.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Gauss y el concepto de Densidad de Flujo Eléctrico

Ley de Gauss: “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”. La formulación matemática de la ley de Gauss es:Esta ecuación significa que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, la cual podría estar constituida por un conjunto de cargas puntuales, una línea de carga, una carga superficial o una carga volumétrica. Esta última, que utiliza el concepto de Densidad de Carga Volumétrica  es la que se utiliza por convención científica (ecuación 1), pero podría ser cualquiera de las mencionadas.

Densidad de flujo eléctrico

La dirección de la densidad de flujo D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie”. Podemos definir a D en el espacio libre como:

Alrededor de 1837 Michael Faraday realizó su famoso experimento para analizar la transmisión de cargas entre dos esferas metálicas, una pequeña y cargada dentro de otra más grande y descargada, con un material dieléctrico (que no conduce, aislante) entre ellas. Pudo comprobar que la carga de la pequeña se transmitía a la más grande independientemente del dieléctrico. A ese “desplazamiento” de carga se le denominó Flujo Eléctrico . Faraday también descubrió que una carga positiva mayor en el interior de la esfera inducía una correspondiente carga negativa mayor en la esfera exterior. Esto condujo a establecer la existencia de una proporcionalidad directa entre el flujo eléctrico y la carga Q de la esfera interior. En el sistema SI esa constante de proporcionalidad es igual a uno, por lo que del experimento de Faraday se obtiene que:De manera que el flujo eléctrico se mide en Coulombs.

Considerando una esfera interior de radio a y una exterior de radio b, con cargas Q y Q, respectivamente (Figura 3.1), las trayectorias del flujo eléctrico  se extienden desde la esfera interior a la exterior. Las líneas de flujo tienen forma radial y simétrica desde una esfera a otra. En la superficie de la esfera interior ψ coulombs de flujo eléctrico los produce la carga de Q coulombs distribuidos uniformemente sobre una superficie que tiene un área de 4πaˆ2  m2. La densidad de flujo en esta superficie es  entonces  ψ/4πaˆ2 , ó Q/4πaˆ2  C/m2.  

A la densidad de flujo eléctrico D, medida en coulombs por metro cuadrado, es un campo vectorial que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico E. La dirección de D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.

Para la esfera interior:

Para la esfera exterior: 

Para una distancia r, donde ar≤b:

Esta será la densidad de flujo inclusive llevando al límite el radio de la esfera interior hasta reducirla a una carga puntual. Si ahora comparamos este resultado con el obtenido para la intensidad del campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre (Definición de Campo Eléctrico):Llegamos a la conclusión de que:

De manera similar, si una distribución de carga volumétrica en el vacío (Densidad de Carga Volumétrica) produce una intensidad de campo eléctrico E:

La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:Podemos considerar a la ecuación (2) como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.

Ley de Gauss

La generalización del experimento realizado por Faraday conduce al siguiente enunciado conocido como Ley de Gauss:

 “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”.

La gran contribución de Gauss no consiste en haber descubierto el fenómeno del flujo eléctrico sino en expresarlo en forma matemática. Supóngase una distribución de carga Q, que se muestra como una nube de cargas puntuales en la figura 3.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma:

Considérese, en cualquier punto P, un pequeño elemento de superficie ΔS y que la densidad de flujo eléctrico Ds en ese punto de la superficie forma un ángulo θ con ΔS como lo muestra la figura 3.2. El flujo eléctrico a través de ΔS es, entonces, el producto de la componente normal de Ds y ΔS:

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada producido por una carga Q “dentro de la superficie encerrada”, se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S:

Como dS implica el producto de dos coordenadas, la integral de la ecuación (3) es una integral triple. El círculo sobre la integral indica que la integración debe hacerse sobre una superficie cerrada. La formulación matemática de la Ley de Gauss es:

Por otra parte, sabemos que el flujo eléctrico ψ=Q. Esta carga Q puede ser una carga puntual, en cuyo caso:Q también puede ser una línea de carga:O también una carga superficial:O también una distribución de carga volumétrica:

 Por convención los científicos siempre hacen referencia a este último caso. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (4) como:Esta ecuación matemática es una de las más básicas de la electrostática y significa simplemente que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, carga total que puede mostrar cualquiera de las propiedades señaladas.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Densidad de Carga Volumétrica y Campo Eléctrico

Se puede definir la densidad de carga volumétrica matemáticamente mediante la ecuación:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala.

Si luego de determinar el campo eléctrico debido a una carga puntual, se visualiza una región del espacio con un enorme número de cargas separadas por distancias diminutas —por ejemplo, el espacio entre la rejilla de control y el cátodo de un cañón de electrones de un tubo de rayos catódicos que opera con una carga espacial—, se observa que es posible reemplazar esta distribución de muchas partículas pequeñas por una distribución suave y continua de carga, caracterizada por una densidad de carga volumétrica.

La densidad de carga volumétrica se simboliza con ρν, cuyas unidades son coulomb por metro cúbico (C/m3). La pequeña cantidad de carga Q en un volumen pequeño ν es:

Se puede definir ρν matemáticamente mediante la utilización de un proceso de límite sobre la ecuación (1):

La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen:

La diferencial dν significa una integración a través de todo el volumen e implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con un solo símbolo de integración. Por fortuna, es posible conformarse con sólo indicar la integración, pues existen muchas dificultades para evaluar las integrales múltiples en la mayoría de los problemas, excepto en los simétricos.

Ya se mencionó en Definición de Campo Eléctrico e Intensidad del Campo Eléctrico que el campo eléctrico en la dirección R desde el origen, puede ser expresado como:

Sustituyendo la ecuación (3) en (4) obtenemos que para una distribución de carga volumétrica en general en el espacio libre:

Lógicamente, la integral de la ecuación (5) no es la forma más conveniente o apropiada de evaluar un campo eléctrico. Por ello recurrimos a la Ley de Gauss y el concepto de la Densidad de Flujo, que conduce a expresar el campo eléctrico en forma de ecuaciones diferenciales.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

ANTERIOR: El campo eléctrico debido a una distribución continua de carga volumétrica

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Definición de campo eléctrico e intensidad del campo eléctrico

Un campo eléctrico es un campo vectorial o campo de fuerzas generado por un cuerpo o un conjunto de cuerpos con carga eléctrica. Toda carga Q crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga ubicada en dicho espacio.

Cuantitativamente un campo eléctrico puede ser definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre un determinado punto en el espacio o en la materia. Supongamos que en el campo eléctrico E generado por la carga Q1 colocamos una carga de prueba Qt. Entonces, dicho campo puede ser definido como:

null

Dónde Ft, la fuerza que ejerce Q1 sobre Qt, es:

null

En la ecuación (2), R1t es la distancia entre las cargas Q1 y Qt, mientras que a1t es el vector unitario que define la dirección de la fuerza como la misma dirección de la línea recta que une las cargas Q1 y Qt, (Para determinar la fuerza entre dos cargas puntuales, ver: Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial)

Vemos así que, experimentalmente, el proceso mediante el cual se mide el campo eléctrico debido a un cuerpo (o varios cuerpos) cargado eléctricamente, consiste en colocar una carga de prueba Qt en un punto cercano a dicho cuerpo (o conjunto de cuerpos) y medir la fuerza Ft que siente la carga de prueba Qt, haciendo dicha carga de prueba cada vez más pequeña. Estos valores límites, a medida que la carga de prueba se hace más y más pequeña, llegan a ser constantes en dirección y magnitud.

Intensidad de campo eléctrico

“Se define la intensidad de campo eléctrico como el vector fuerza sobre cada unidad de carga positiva de prueba”. Si sustituimos la ecuación (2) en (1), podemos ver que la intensidad de campo eléctrico debido a una carga puntual Q1 en el espacio libre se define como:

null 

Dónde:

null

La ecuación (3) es un campo vectorial denominado intensidad del campo eléctrico y es función únicamente de Q1, de su posición R1t y del vector unitario a1t, el cual a su vez define la dirección del segmento de línea que une Q1 y Qt. Esta última afirmación debe ser resaltada porque conduce a una conclusión importante:”La ecuación (3) representa el valor del campo eléctrico generado por una carga cualquiera Q1  en cualquier parte del espacio, independientemente de la carga de prueba Qt que se utilice para medirlo“. Debemos considerar además que en la naturaleza, este fenómeno se manifiesta en tres dimensiones, como en el ejemplo que se presenta más adelante. Para mayor explicación recomiendo ver el video: The Electric Field of point charges

null

La ecuación (3) está expresada en términos de la constante de permitividad del espacio libre εo, pero también se puede expresar en términos de una sola constante k de la manera siguiente:

null

Dónde:

null

Tomando en cuenta el sistema MKS, la intensidad de campo eléctrico debe medirse en unidades de newtons por coulomb (fuerza por unidad de carga). Si se introduce por adelantado una nueva cantidad dimensional, el volt (V), cuyas unidades son joules por coulomb (J/C) o newton-metros por coulomb (N · m/C); la intensidad de campo eléctrico se medirá de una vez en las unidades prácticas de volts por metro (V/m).

Evidentemente se obtendrán expresiones más complicadas para la intensidad de campo eléctrico debido a configuraciones de carga más complicadas, como líneas de carga o planos de carga.

El procedimiento para determinar el vector unitario a1t es el mismo que se discutió en el artículo anterior: Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial. Se resume dicho procedimiento aquí brevemente.

Para una carga Q1 situada como fuente puntual en el punto r’ (x,y’,z’) como se ilustra en la figura 2.2:

null
Figura 2.2

La intensidad de campo eléctrico sobre una carga Qt ubicada en un punto r(x,y,z)  cualquiera del campo eléctrico, se encuentra expresando al vector R que une Q1 y Qt  como r r, y construir el vector unitario mediante la siguiente fórmula:

null

Dónde:

null

Y luego hallar el módulo del campo eléctrico mediante:

null

Intensidad de campo eléctrico debido a dos o más cargas puntuales

Dado que las fuerzas de coulomb son lineales, la intensidad de campo eléctrico en un punto r debido a dos cargas puntuales, Q1 en r1 y Q2 en r2, es la suma de las fuerzas sobre Q ubicada en r, causadas por Q1 y Q2 cuando actúan individualmente, o sea:

 

Donde a1 y a2 son vectores unitarios en la dirección de (r r1) y (r r2), respectivamente.

Si se agregan más cargas en otras posiciones el campo debido a n cargas puntuales será:

Esta expresión ocupa menos espacio cuando se usa el signo de Σ y un índice de suma m que toma todos los valores enteros sucesivos entre 1 y n:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala. Es por eso que ahora el siguiente paso es centrar nuestra atención en el campo eléctrico debido a una distribución continua de carga volumétrica.

Alternativamente, algunos países utilizan el sistema cgs en vez del MKS, donde k=1, por tanto también se puede expresar el campo eléctrico E como:

Ejemplo

Con la finalidad de mostrar la aplicación de la ecuación (11), encontrar E en el punto  P(1, 1, 1) causado por cuatro cargas idénticas de 3-nC (nanocoulombs) localizadas en los puntos P1(1, 1, 0), P2(−1, 1, 0), P3(−1, −1, 0) y P4(1, −1, 0), como lo muestra la figura 2.4.

Solución:

 Mediante algebra vectorial podemos determinar cada una de las siguientes magnitudes:

Como:

Obtenemos: 

Es decir:

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial

La Ley de Coulomb establece que: “La fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”:

En la ecuación (1) Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o negativa, R es la separación y k es una constante de proporcionalidad. Si se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), Q se mide en culombios (coulombs) (C), R en metros (m) y la fuerza en newtons (N). Esto se cumple si la constante k se escribe como:

Donde la constante εo se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud medida en faradios por metro (F/m):

 

Una vez fijado los conceptos elementales del análisis vectorial en Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular, estudiamos su aplicación en la Ley experimental de Coulomb.

Escribir la forma vectorial de la ecuación (1) requiere el hecho adicional (también proporcionado por el coronel Coulomb) de que la fuerza actúa a lo largo de la línea que une a las dos cargas y es repulsiva si las cargas son similares en signo, y atractiva si son de signos opuestos. Sea r1 el vector que localiza a Q1 y r2 el que localiza a Q2. Entonces, el vector R12= r− r1 representa el segmento de recta dirigido de Q1 a Q2, como lo muestra la figura 2.1:

En la Figura 2.1 el vector F2 , o lo que es lo mismo, F12 , es la fuerza que ejerce Q1 sobre Q2 y se muestra para el caso en el que Q1 y Q2 tienen el mismo signo. La ley de Coulomb en forma vectorial es:

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donde a12 es un vector unitario en la dirección de R12, o sea:

 

y donde el módulo de F12 es:

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Superposición

La fuerza resultante sobre una carga de prueba Q0 es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Q0, tal como se puede apreciar en la siguiente Figura:

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Resumen

Para determinar la Fuerza entre cargas puntuales sugerimos entonces seguir los siguientes pasos:

  • Construir los vectores r1 y r2 como está descrito en la Figura 2.1. Estos son los vectores de posición de las cargas Q1 y Q2. Si son más de dos, aplicar superposición, es decir, calcular cada fuerza por separado y después sumar vectorialmente las fuerzas individuales ejercidas sobre la carga de prueba, que en el caso de la Figura 2.1 es Q2.
  • Obtener el vector R12= r− r1, que representa el segmento de recta  entre Qy Q2.
  • Obtener el vector unitario a12, según la ecuación (3) que determina la dirección de la fuerza F12 entre Q1Q2.
  • Obtener el módulo de F12, según la ecuación (4).
  • Expresar F12 en términos de su módulo y el vector unitario a12, según la ecuación (2).

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Ejemplo 1

1) Ubiquemos una carga Q1= 3 × 10−4 C en M(1, 2, 3) y otra carga Q2 =−10−4 C localizada en N(2, 0, 5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza F12 que ejerce Qen Q2.

Solución: aplicamos los pasos sugeridos anteriormente:

a. Lo primero que debemos hacer es encontrar el vector unitario a12 que determina la dirección de la fuerza F12 que ejerce Q1 sobre Q2 Para ello construimos el vector M y el vector N, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

b. Luego, utilizamos la ecuación 4 para hallar el módulo del vector F12:

c. La fuerza F12 en forma vectorial queda como:

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Es decir:

  

La fuerza F12 ejercida por la carga Q1 sobre Q2 también puede ser representada como la suma de tres componentes vectoriales:

Ejemplo 2

2) Consideremos ahora el caso de la fuerza ejercida por dos o más cargas.

La carga Q1= 25 × 10−9 C está en el origen, punto O, mientras que otra carga denominada Q2 = -15 × 10−9 C está sobre el eje x en x=2 m, punto M. Luego tenemos una tercera carga Qo = 20 × 10−9 C ubicada en x=2 m, y=2 m, punto P, tal como muestra la siguiente Figura:

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 Determinar el vector de la fuerza total Ft sobre Qo.

Solución: La fuerza resultante Ft es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Qo. Calculamos entonces esas fuerzas aplicando la ley de Coulomb y el método descrito anteriormente, luego las sumamos utilizando coordenadas rectangulares.

a. Lo primero es encontrar el vector unitario a1o que determina la dirección de la fuerza F1o que ejerce Q1 sobre Qo. Para ello construimos el vector O y el vector P, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

nullNotar que el vector unitario a1o tiene componentes que igualan el valor de seno y coseno de 45 grados. Esto es debido a que el punto P forma con el punto O y la proyección en x y en y, un triángulo de lados iguales, lados de valor 2 m. Es decir, el vector unitario a1o y, por lo tanto, la fuerza F1o, forman un ángulo de 45 grados con los ejes x y y. Por tanto, podríamos utilizar este hecho para encontrar las componentes de la fuerza F1o, una vez determinado su módulo. 

b. Ahora hallamos el módulo del vector F1o:

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 c. La fuerza F1o en forma vectorial queda como:

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Es decir:

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d. Procedemos a determinar el vector unitario a2o que señala la dirección de la fuerza F2o que ejerce Q2 sobre Qo. Como Q2 está localizado en x=2, está alineada con la posición x=2 de Qo, por lo que se prevé una contribución pura en el eje y: 

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e. Ahora hallamos el módulo del vector F2o:

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 f. La fuerza F2o en forma vectorial queda como:

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Es decir:

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g. La fuerza resultante Ft es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Qo. Es decir:

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La fuerza resultante se representa en la siguiente gráfica:

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Dónde:

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Extraído de: 

SIGUIENTE: Definición de Campo Eléctrico e Intensidad del Campo Eléctrico

Revisión literaria hecha por:

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