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Serie de Fourier – DSF – Problemas resueltos

La guía en PDF ofrece la solución de los problemas enunciados. La guía completa tiene un costo de 21 euros (está en construcción). Un solo ejercicio tiene un costo de 12.5 euros. Puede pagar con Paypal o TC. El autor también se pone a disposición para dar clase online, resolver ejercicios, problemas de manera inmediata.

1. Sea la señal x(t), ¿es periódica? ¿Cuál es su período? Calcular los coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier Exponencial y el espectro X(f). Representarlo gráficamente, en magnitud y fase, indicando claramente el valor de amplitud y la fase a la frecuencia de interés.

Series de Fourier – Problemas resueltos – Catálogo 16

Costo de un (1) solo ejercicio. Luego de pagar, por favor comunicarse a través de Whatsapp +34633129287 para la entrega.

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Ecuaciones diferenciales – Problemas resueltos – Catálogo

La respuesta completa o solución completa de una ecuación diferencial ordinaria (EDO – que involucra derivadas de una función de una sola variable) está conformada por la suma de la respuesta transitoria y la respuesta permanente.

  1. Determinar la respuesta y(t) para la siguiente ecuación diferencial, con entrada x(t)  y condiciones iniciales señaladas:

Ecuaciones diferenciales – Problemas resueltos – Catálogo

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Análisis y diseño de sistemas de control mediante el Lugar Geométrico de las Raíces

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos en lazo cerrado del sistema de la Figura 1:

Figura 1. Sistema en lazo cerrado.

Dónde:

El denominador de la ecuación (1) igualada a cero, se denomina Ecuación Característica. Las raíces de la Ecuación Característica (ecuación 2) son los polos del sistema.

Si el sistema tiene una ganancia variable K en G(s)H(s) (o ganancia de lazo abierto, ecuación 3), la localización de los polos de lazo cerrado depende del valor de dicha ganancia. En consecuencia, para un diseñador encontrar el valor de los polos del sistema para un valor específico de K no tiene mucha utilidad. En este caso, la ecuación característica tiene la siguiente forma:

Donde z1, z2, … zm, son los ceros de G(s)H(s), mientras que los p1, p2, … pm, son los polos de G(s)H(s).

G(s)H(s) se conoce como Función de Transferencia a lazo abierto. Por lo tanto z1, z2, … zm, p1, p2, … pm, son los ceros y los polos del sistema en lazo abierto. W.R. Evans diseñó un método sencillo denominado El Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), que permite localizar las raíces de la ecuación característica para todos los valores de la ganancia K, desde cero hasta infinito. Este método permite además al diseñador, predecir los efectos de variar K en la localización de los polos en lazo cerrado. Se hace evidente, por ejemplo, el intervalo de valores de K para los cuáles el sistema es estable, o la forma como deben moverse los polos y los ceros de lazo abierto para que el sistema cumpla con especificaciones como factor de amortiguamiento, frecuencia natural, máximo sobrepaso o tiempo de establecimiento.

Compensación.

Al analizar compensadores, se suelen utilizar términos como red de adelanto, red de atraso, red de adelanto-atraso. Si se aplica una entrada senoidal ei a la entrada de una red, y la salida en estado estable eo tiene un adelanto de fase, el sistema se denomina red de adelanto. El mismo principio aplica para los otros casos. Un compensador que tenga una característica similar a estas redes se denomina compensador de adelanto, compensador de atraso, compensador de adelanto-atraso.

Los problemas de diseño son aquellos que implican la mejora del desempeño de un sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema consiste en diseñar un filtro cuya función o actuación tiendan a compensar aquellas características inconvenientes o inalterables de la planta. Este proceso pasa por seleccionar apropiadamente los polos y ceros de un compensador en serie con la planta, para alterar el lugar geométrico de las raíces (LGR) con el propósito de cumplir las especificaciones de diseño.

En la práctica, el desempeño deseado no se puede obtener con sólo ajustar la ganancia en el LGR.  Por ello, con la incorporación del compensador se construye otro LGR que permita incluir un par de polos dominantes en el sistema a lazo cerrado, con el fin de lograr el comportamiento deseado.

Compensación de adelanto.

El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto, conlleva la ejecución de los siguientes pasos:

  1. Determinar la ubicación deseada para los polos dominantes a lazo cerrado, a partir de las especificaciones de diseño;
  2. Por medio del LGR, comprobar si los polos dominantes del paso 1 se pueden obtener con un simple ajuste de ganancia. De lo contario, calcular la deficiencia de ángulo, dato que se convierte en el aporte necesario del compensador de adelanto para que el nuevo LGR pase por los polos dominantes deseados;
  3. Suponer que el compensador de adelanto tiene la siguiente función de transferencia (a y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo, mientras que Kc se determina a partir de la ganancia en lazo abierto K):

4. Suponer Si no se especifican las constantes de error estático, determinar la localización del polo y cero del compensador, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo necesario.

Condiciones de ángulo y magnitud del LGR.

Son las condiciones de ángulo y magnitud del LGR las que nos permite cumplir con el procedimiento de diseño del compensador de adelanto descrito anteriormente. A continuación desarrollamos estas condiciones a partir de la ecuación (2):

Condición de ángulo del LGR:

Condición de magnitud del LGR:

Ahora, si G(s)H(s) tiene la forma de la ecuación (3):

Los ángulos de los polos y los ceros se miden en sentido contrario a las agujas del reloj, haciendo uso de un punto de prueba “s”, como se muestra en la Figura 2:

Figura 2. Diagrama sobre la medición de ángulos de los polos y ceros en lazo abierto con respecto al punto de prueba s.

Utilizando la ecuación (4) se cumple que:

Si, por ejemplo, nos interesa conocer el valor de algún ángulo en particular (cálculo muy utilizado en diseño de compensadores), utilizando el caso más sencillo, k=0, y 180° positivos, podemos utilizar la expresión anterior:

Si queremos además conocer el valor de la ganancia K, utilizamos la ecuación (5):

Lugares de las raíces con factor de amortiguamiento ζ y frecuencia natural ωn constantes.

En el plano complejo, la razón de amortiguamiento ζ de un par de polos complejos conjugados se puede expresar en función del ángulo Φ, el cual se mide desde el eje real negativo, como se muestra en la Figura 3:

Figura 3. Polos complejos y líneas de amortiguamiento ζ constante.

Se cumple que la razón de amortiguamiento ζ:

Por ejemplo, una razón de amortiguamiento ζ =0.5 requiere que los polos complejos conjugados se encuentren sobre las líneas que pasen por el origen con un ángulo de +-60° con el eje negativo. Otra forma de decirlo es que el factor de amortiguamiento determina la localización de los polos. Mientras, la distancia del polo al origen es determinada por la frecuencia natural ωn.  

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. 2.1 Respuesta transitoria
  5. Ingeniería de Control Moderna. Ogata, 5ta edición.

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Función de Transferencia, Régimen transitorio, Respuesta Transitoria, de Sistema Eléctrico. Problemas resueltos. Catálogo 15


La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de sistemas de control para el cálculo de la respuesta en tiempo, función de transferencia o régimen transitorio de un Sistema Eléctrico . 
Se facilita pago a través de Paypal. Costo de la guía completa: 21.5 €. Costo de un solo ejercicio: 12.5 €. A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía (también Resuelvo ejercicios particulares…atención inmediata!!..W+34633129287):

1. Determinar Vo(s) en el dominio transformado, y luego mediante anti transformada de Laplace, obtener vo(t), del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 78.

2. En el circuito de la Figura 82 el interruptor se encuentra cerrado el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor se abre, se pide:

  • Calcular para t=>0 las expresiones de la intensidad en la bobina, i(t) , y de la tensión que hay entre los contactos del interruptor, U(t).
  • Graficar ambas variables.

3. Determinar Vo(s) en el dominio transformado, y luego mediante anti transformada de Laplace, obtener vo(t) para t >0, del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 79. Es necesario calcular las condiciones iniciales no nulas de los componentes reactivos.

4. Calcule el equivalente Thevenin del sub circuito a la izquierda de los nudos A y B del circuito de la Figura 81, suponiendo condiciones iniciales nulas en los elementos reactivos. Determinar tipo de amortiguamiento.

5. En el circuito de la Figura 83 el interruptor se encuentra abierto el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor se cierra, se pide:

  • Calcular para t=>0 las expresiones de la intensidad que circula por el interruptor, i(t), y de la tensión, uc(t).
  • Graficar ambas variables.

6. Calcular para el circuito activo de la Figura 80, determinar la región de amortiguamiento de la función de transferencia Vo(s)/Vi(s). Determinar la respuesta en tiempo vo(t) para una entrada vi(t) escalón unitario.

7. Calcular para el circuito activo de la Figura 84, la función de transferencia V2(s)/V1(s)

8. Para el circuito RCL paralelo de la Figura 85, deducir cuál es la correspondiente región de amortiguamiento y calcular una expresión para v(t) (t>0) suponiendo que las condiciones iniciales vc(t=0)=10 V; iL(t=0)=1 A.

9. En el circuito de la Figura 86 el interruptor se encuentra en la posición A el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor pasa a la posición B, se pide:

  • Que tipo de respuesta transitoria presenta el circuito.
  • Calcular para t=>0 la expresión de la tensión, u(t) en el condensador.
  • Graficar la variable u(t).

10. En el circuito de la Figura 87 el interruptor se encuentra abierto el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor se cierra, se pide:

  • Que tipo de respuesta transitoria presenta el circuito.
  • Calcular para t=>0 la expresión de la tensión, u(t) en el condensador, y de la intensidad que suministra la fuente de tensión, i(t).

Sistema Eléctrico – Problemas resueltos – Función de Transferencia – Catálogo 15.

Guía de Sistema Eléctrico. Pago por toda la guía ( 21.5 euros). Luego de pagar por favor solicitar la entrega de la solución en PDF al WhatsApp +34633129287

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Sistema Eléctrico – Problemas resueltos – Función de Transferencia- Catálogo 15

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Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos

En este libro encontrará ejercicios de sistemas MRA, eléctricos, electrónicos, nivel de líquido, electromecánicos, etc. Su compra incluye una hora de clase online para asesorar sobre el tema o sobre el método utilizado para hallar la función de transferencia de cada sistema. Una vez realizado el pago, por favor enviar copia de recibo de pago al whatsapp +34633129287 para recibir el producto por esa vía. (o por email dademuch@gmail.com en su defecto).

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Atención: Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.  Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales.  INDICE Capítulo 1———————————————————- 1 Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional) Capítulo 2———————————————————- 51 Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional) Capítulo 3———————————————————- 76 Sistema Mecánico con engranajes Capítulo 4———————————————————- 89 Sistema eléctrico, electrónico Capítulo 5———————————————————-114 Sistema Electromecánico – Motor DC Capítulo 6——————————————————— 144 Sistema del nivel de líquido Capítulo 7——————————————————— 154 Linealización de sistemas no lineales



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Aplicar control PID a Función de Transferencia – 1er grado ó 2do grado – Catálogo 14

Este catálogo ofrece la solución analítica completa a prácticas de configuración y diseño de sistemas de control para Función de Transferencia de primer orden o de segundo orden, generalmente aplicando un controlador PID, álgebra de bloques, y la teoría que forma parte de la cátedra de sistemas de control, señales y sistemas, ingeniería industrial, mecatrónica, etc. Además, la solución implica el uso de Matlab y/o Simulink. Cada laboratorio tiene un costo de 14.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal. También el autor ofrece servicio para resolver prácticas y laboratorios a particulares: +34633129287.

Práctica 1

Para la función de transferencia:

Función de Transferencia de 1er orden.
  • Graficar la respuesta para una entrada de 250 sin control en lazo abierto y sin control en lazo cerrado;
  • Graficar la salida aplicando control PID con las siguientes constantes de Kp=60; Ki=400; Kd=10 y con una entrada escalón unitario. Ejecutar ambas: Solución analítica y Solución haciendo uso de la herramienta sisotool de Matlab para configurar el controlador.

Aplicar control a función de transferencia de 1er-2do orden – Catálogo 14

Pago por una (1) práctica de configuración y diseño de sistemas de control PID para Función de Transferencia de primer orden o de segundo orden. Luego de pagar por favor comunicarse a Whatsapp +34633129287

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Práctica 2…en construcción

Para la función de transferencia:

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Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos

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Block Diagram – Solved problems – Catalog 8 – Mass-spring-damper system and electrical system

In this PDF file, the Block Diagram and the Transfer Function are determined by applying block algebra, from the exercises that are part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks, etc. Each problem has a cost of 12.5 euros. The complete workshop costs 27.5 euros. Payment through Paypal is facilitated.

1. Obtain the transfer function G(s)=Y(s)/R(s) of Figure 1, by two methods: using block algebra reduction techniques and using Mason’s formula.

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2. Obtain the transfer function G(s)=C(s)/R(s) of Figure 2, by two methods: using block algebra reduction techniques and using Mason’s formula.

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3. Obtain the transfer function G(s)=C(s)/R(s) of Figure 3, by using block algebra reduction techniques .

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4. Obtain the transfer function G(s)=Y(s)/R(s) of the next Figure, by using block algebra reduction techniques . .  

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5. Find the equations of the system in Figure 7 and represent it using state variables. From there determine the block diagram of the system. Then, using block diagram algebra, find the transfer function X(s)/U(s). Consider x(t) as the output and u(t) as the input. Check the result using Laplace transform.

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6. Find the equations of the system in Figure 8. Find the matrix representation of the system (state variables). Consider x1(t) as the output, and u(t) as the input. Construct the block diagram of the system and use block algebra to determine the transfer function  X1(s)/U(s).

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7. Find the equations of the system in Figure 22. Determine the transfer function X1(s)/U(s). Determine the block diagram of the system from the transfer function obtained.

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8. Find the equations of the System in Figure 24. Find the state space representation of the system, considering Θ1(t) as the output and T(t) as the input. Find the block diagram of the system and from there, using block algebra, determine the transfer function Θ1(s)/T(s).

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9. Find the equations of the system in Figure 25. Determine the transfer function X1(s)/F(s). Obtain the block diagram of the system from the transfer function obtained (Explain step by step). Graph the response of the system to a step function input using Matlab. Consider k1= k2= k3= 1 N/m, b1= b2= b3=1 N-s/m, m1= m2= m3=1 Kg.

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Response graph to the unit step of exercise 9.

10. Determine the differential equations that represent the model of the system in Figure 75. Use the node analysis method. Find the transfer function Vo(s)/V(s). Make the representation of the system in block diagram from the transfer function Vo(s)/V(s). Consider R1=1Ω,  R2= R3=1 Ω, L=1 H, C1=C2=1 pF.

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11. Obtain the transfer function Vo(s)/V(s) of the electrical system in figure 75, from the block diagram of the system obtained in problem 10, using block algebra. Simulate and analyze in Matlab the response of the system to a unit step input

12. Find the state space representation of the System shown in Figure 39 assuming that Θ4(t) is the output and T(t) is the input. Draw the block diagram of the system and find the transfer function Θ4(t)/T(t). Consider k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4  Kg-m2

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13. Find the transfer function ΘL(s)/Ei(s) of the system shown in Figure 56. Find the state space representation of the system, assuming that ΘL(t) is the output and that ei(t) is the input . Represent the System by means of a block diagram. From the block diagram of the system, determine again and by means of block algebra the transfer function ΘL(s)/Ei(s).

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14. Find the transfer function ΘL(s)/Θr(s) of the system shown in Figure 59. Design the block diagram of the system.

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15. Find the transfer function Q2(s)/Q1(s) of the Liquid Level System shown in Figure 68. Find the state space representation of the System taking q2(t) as the output, and q1(t) as the input. Obtain the block diagram of the system and determine the same transfer function using block algebra.

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16. A very simplified model of the dynamics of a rocket is shown in Figure 1. A uniform bar of mass m and length 2L, subjected to the force of gravity G (center of gravity of the bar) and to two external forces applied at its lower end: a vertical V(t) and a horizontal H(t). It is requested: i) Draw the input and output variables diagram. Characterize the equilibrium point determined by x(0)=0, y(0)=0. Ii) Obtain the system of equations linearized around the equilibrium point. iii) Draw the block diagram of the system. iV) Obtain the transfer functions from it

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17. Determine the expression for the output C(s) of the system of Figure 90

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Figure 90

ATTENTION: If you cannot find what you are looking for… .I can solve exercises and block diagram problems for you right away. Please send a message to my WhatsApp and I will give you the solution as soon as possible… +34633129287… you can pay with Paypal and TC

To solve this guide the following rules will be used:

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Block diagram – Catalog 8- payment for a single exercise

Payment for a single exercise (1 exercise). Block Diagram and the Transfer Function through the application of block algebra, of the exercises that are part of the chair of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks. Once the payment is made, please send a copy of the payment receipt to whatsapp +34633129287 to receive the product in this way. (or by email dademuch@gmail.com).

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Block diagram – Catalog 8- payment for the entire workshop

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Obtener la función de transferencia de un sistema a partir de su curva de respuesta real

Si ya se dispone de una gráfica de la señal de salida del sistema ante una entrada escalón, es posible obtener la representación analítica del sistema en forma de función de transferencia G(s). Veremos a continuación varios métodos según sea el caso.

Sistema de primer orden

Obtención de G(s) a partir de la curva de la señal de salida en respuesta a un escalón.

Supongamos que la curva de respuesta real de un sistema al escalón unitario es la siguiente:

Figura 1. Respuesta real al escalón unitario de un sistema de primer orden.

En este caso, disponemos de dos métodos:

  1. Método de la constante de tiempo τ: Debemos aquí considerar que la curva alcanza el 63,212% del valor final cuando ha transcurrido un tiempo t=τ. En la gráfica observamos que el valor final de la curva y es 1. En otras palabras, y(∞)=1. Por lo tanto, debemos identificar sobre la gráfica el momento en que la curva alcanza el valor 0.63212. Es decir, el tiempo t para que y(t)=0.63212. En ese instante se cumple que t=τ. Se procede entonces a trazar una recta paralela al eje de las abscisas (eje t en este caso) que corresponda al 63,212% del valor final de y(t). En ese punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ.
  • Método de la pendiente máxima: Se traza una recta con pendiente máxima desde el origen sobre la curva de respuesta, hasta que intercepta la recta de prolongación que coincide con el valor final (y(∞)=1 en este caso). En este punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ. Es de utilidad Notar que la recta paralela al eje de las ordenadas corta la curva cuando su valor es del 63,212% del valor final.

De acuerdo con la gráfica, el valor de τ=2s  y la ganancia estática k=1(y(∞)=1), sustituimos ambos valores en la ecuación prototipo para un sistema de primer orden y obtenemos la función de transferencia G(s) del sistema (de la planta):

Comprobamos este resultado con el simulador de Matlab y vemos que el resultado se corresponde con el enunciado:

G=tf([0.5],[1 0.5]);
step(G)

Figura 2. Simulación en Matlab de al respuesta al escalón unitario de G(s)=0.5/(s+0.5)
Sistema de grado superior

Una forma de determinar la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, a partir de la gráfica de la curva real de su respuesta al escalón, es considerar que el sistema de grado n está formado por n subsistemas de primer grado interconectados en serie. Es decir, la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, se puede aproximar mediante la ecuación:

En la gráfica siguiente podemos observar respuesta críticamente amortiguadas de sistemas de grado 2 hasta grado 7:

Respuestas normalizadas críticamente amortiguadas para entradas escalón unitario de sistemas de grado 2 a grado 7.

En la gráfica anterior se observa la semejanza entre la respuesta del sistema de segundo grado con respecto a la respuesta de sistemas de grados superiores, salvo que conforme se incrementa el grado del sistema, la respuesta tiende a retrasarse cada vez más (tiempo de atraso) en su despegue para empezar a alcanzar su valor final (tiempo de crecimiento exponencial).

Definimos los parámetros:

Tiempo de atraso Ta y tiempo de crecimiento exponencial Tce para un sistema críticamente amortiguado de grado n.

En la gráfica anterior, una vez medidos los valores de Ta y Tce, nos interesa saber el valor del cociente Tce/Ta. Gracias a la siguiente tabla podemos relacionar el valor del cociente Tce/Ta con el orden del sistema y además hallar el valor de la constante de tiempo:

Aproximación de la constante de tiempo de un sistema críticamente amortiguado de grado n.

Al aplicar el método, lo conveniente es simular el resultado, para luego ajustar los valores obtenidos para la ganancia y la constante de tiempo (en el caso de un sistema de primer grado) hasta alcanzar un resultado óptimo.

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise

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Método Ziegler-Nichols – Ajuste experimental de un PID

En primer lugar utilizamos como referencia el esquema básico de un sistema de control con un Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID):

Esquema de Controlador PID

Para asignar valores a los parámetros del controlador PID sin conocer la función de transferencia de la planta que se desea controlar, se han propuesto una serie de tablas que utilizan varios parámetros que se obtienen de forma experimental. El método más utilizado es el que propusieron John Ziegler y Nataniel Nichols para el control de servomecanismos hidráulicos en baterías antiaéreas empleadas en la segunda guerra mundial.

El ajuste de Ziegler-Nichols propone unos parámetros para el PID de forma que el sistema controlado posea un buen rechazo a las perturbaciones que se puedan introducir en el sistema. En muchos procesos industriales un buen rechazo a las perturbaciones es mucho más interesante que un buen seguimiento a la referencia.

Existen dos formas de ajuste. Una emplea los parámetros a y L de la respuesta de la planta ante una entrada escalón (Basado en la respuesta transitoria experimental en lazo abierto de la planta a una entrada escalón). Otra forma emplea los parámetros de ganancia crítica KCR y período de oscilación crítico TCR (Basado en la respuesta oscilatoria experimental en lazo cerrado de la planta). Los valores de los parámetros del PID se obtienen con la siguiente tabla:

Tabla 1. Cuadro de ajuste del PID por el método Z-N
Método basado en los parámetros a y L:  

En la figura siguiente se muestra como obtener los parámetros a y L de la respuesta de la planta ante una entrada escalón unidad:

Respuesta de la planta a un escalón unitario.

Este método se puede utilizar Si la planta:

  • No posee integradores;
  • Polos dominantes complejos conjugados;
  • La respuesta no tiene oscilaciones;
  • Posee un retardo de tal forma que se forma una “s”.

Se obtiene de forma experimental la respuesta de la planta a una entrada escalón, y si cumple las condiciones anteriores, pueden obtenerse los parámetros del controlador PID mediante el método mencionado.

Figura 1. Curva de reacción y recta tangente. Parámetros L y T.

Existe variedad de notación. Alternativamente, para aplicar el criterio Ziegler-Nichols a la curva de reacción de la planta ante el escalón unitario, podemos considerar la Tabla 2, que utiliza los parámetros Ta (tiempo de atraso) y m (pendiente máxima) para la modulación de los controladores P, PI y PID:

Tabla 2. Cuadro de ajuste del PID por el método Z-N
Figura 2. Curva de reacción de la planta ante entrada escalón unitario. Parámetros Ta y m.
Método basado en ganancia crítica KCR y período de oscilación crítico TCR     

En primer lugar se debe utilizar un controlador únicamente proporcional, incrementando Kp hasta un valor crítico Kcr, para el que la planta presenta oscilaciones sostenidas de amplitud constante (sistema de segundo orden no amortiguado – si la planta no presenta respuesta oscilatoria para ningún valor de Kp, este método no se puede utilizar). De dicha respuesta experimental en lazo cerrado se extrae el período de la oscilación, Tcr.

Figura 3. Respuesta oscilatoria experimental en lazo cerrado de la planta

Este criterio de ajuste se denomina método de sintonización en lazo cerrado, ya que el controlador permanece en la trayectoria directa como elemento activo, según la configuración de la Figura 3:

Figura 3 Esquema de Controlador PID

En el siguiente ejemplo, lograremos los siguientes objetivos:

Ejercicio 1.
  1. De acuerdo con la siguiente gráfica:
Figura 3. Curva de reacción de la planta ante entrada escalón unitario.
  • Obtener la Función de Transferencia G(s) de la planta a partir de la curva real de respuesta al escalón por método de aproximación analítica.
  • Sintonizar los controladores P, PI, PID, mediante los dos métodos de Ziegler-Nichols:
    • Curva de reacción (respuesta de planta ante una entrada escalón);
    • Utilizando la función de transferencia de la planta;
    • Ganancia crítica (o ganancia máxima).
  • Simulación en Matlab de cada métodos. Análisis de la respuesta del sistema al aplicar los controladores diseñados.
  • El costo del ejercicio incluye:
    • Solución paso a paso en PDF;
    • Una hora de clase online (opcional) para explicar y asesorar en cuanto a la teoría y solución de este u otros ejercicios parecidos.

Solución:

Ejercicio 1. – Solución – Método Ziegler-Nichols –

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Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Diagrama de polos y ceros de la Transformada Z

Sea x[n] una señal analógica y sea X(z)  su transformada z.

Un cero de X(z) es todo valor de z para el que la expresión de X(z) es igual a 0.

Un polo de X(z) es todo valor de z para el que la expresión de X(z) es igual a infinito.

El diagrama de polos y ceros de X(z) es una representación gráfica sobre el plano z de los polos y ceros de X(z), en la cual:

  • La ubicación de un cero en plano z se simboliza mediante un círculo (O).
  • La coincidencia de dos o más ceros en la misma ubicación (ci= cj,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido al círculo (O2, O3,…, ON).
  • La ubicación de un polo en el plano z se simboliza mediante una cruz (×).
  • La coincidencia de dos o más polos en la misma ubicación (pi= pj,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido a la cruz (×2, ×3,…, ×N).

Ejemplo:

  1. Calcular ceros y polos y representar gráficamente su diagrama de polos y ceros. Considere la señal x[n]:

A partir de la ecuación:

Podemos señalar que la transformada Z de x[n] es:

Para la convergencia de X(Z) se requiere que:

En consecuencia, la región de convergencia es el rango de valores de z ara el cual:

Entonces, añadiendo la información relativa a la ROC, la transformada Z de x[n] es:

Entonces hablamos del siguiente par transformado:

Al tratarse de una señal racional, el cálculo de los polo y ceros de X(Z) pasa por evaluar los valores de z que o bien anulan o bien hacen tender a infinito al numerador, por un lado, y al denominador, por otro. Así pues:

  • Un cero de un X(Z) racional se corresponde o bien con un cero del numerador o bien con un valor de z para el que el denominador tienda a infinito.
  • Un polo de un X(Z) racional se corresponde o bien con un cero del denominador o bien con un valor de z para el que el numerador tienda a infinito.

En el caso de la X(Z) del ejemplo, la función presenta un cero en el origen (z=0), mientras presenta un polo en z=a. Para la representación gráfica se asume arbitrariamente que a es una constante real positiva, de modo tal que:

Entonces el diagrama de X(Z) es:

Es importante tener presente que la ROC de una transformada z y los ceros y los polos de la misma están íntimamente relacionadas entre sí. Por ello, es de gran utilidad la representación conjunta del diagrama de polos y ceros y la ROC de X(Z):

ROC de la transformada z de una señal infinita orientada a la derecha que presenta un
cero en z = 0 y un polo en z = a

Este ejemplo ilustra bien algunos conceptos a tomar en cuenta siempre que se calcula una Transformada z:

  • Que un cero sea un punto en que la transformada sea igual a cero no quiere decir que los ceros de una transformada pertenezcan a su ROC
  • Posiblemente habrá uno o más polos situados en las circunferencias fronteras que delimitan la ROC. En todo caso, es seguro que nunca habrá  polos en el interior de la ROC.
  • Una vez calculada la transformada, conviene siempre comprobar si los valores particulares z=0 y z→∞, pertenecen o no a la ROC.

Teoría completa:

Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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First-Order Open-Loop and Closed-Loop Systems

An open loop control system for a first order system allows us to increase or decrease the static gain k of the system, but it does not allow us to change its time constant T, which represents a great limitation for the design of a system that fulfill specific tasks where, perhaps, a faster response is necessary (for a review of the k and T parameters see Sistema de primer orden). In contrast, with a closed-loop control system for a first-order system, we can vary both parameters. Let’s see it by simulating the response of the system to the unit step input.

Let us assume both cases, represented by the following Block Diagrams for a control system consisting of a controller and a plant. The transfer function (FT) of the first order plant is Gp(s), while the FT of the adjustable proportional controller isGc(s):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-38.png

(See: Diagrama de Bloques)

Let’s see what happens considering the following values:

First-Order Open-Loop System

For the open-loop system it is satisfied that:

Atención: No confundir la K del controlador con la k (ganancia estática) del sistema (ver Sistema de primer orden).

The following Matlab script shows how the response (output) of the open-loop system to the unit step input varies as the gain of the K controller acquires the following values:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]);
K=[1 2 3 4];
G1=K(1)*G; G2=K(2)*G;
G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;
step(G1,G2,G3,G4)

legend(‘K=1′,’K=2′,’K=3′,’K=4’)

Gráfica 1. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo abierto, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

In graph 1 we can see how the output of the system varies as the gain K of the controller changes. We can see that the static gain k of the first order system increases as the K of the controller increases. However, in each case, the time constant T remains constant. According to the First-Order System, the value of the time constant T is equal to;

In graph 2 we can see that the constant T, the time each system reaches 63.2% of its final value, remains constant for the 4 values of K considered:

Gráfica 2. El valor de la constante de tiempo se mantiene constante para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

Graph 3 allows us to see that the static gain k of each system as the gain K of the proportional controller increases is:

Gráfica 3. La ganancia estática para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

Most simple systems are zero, first, or second order. But then these simple systems interact with each other, generating higher order systems (third order onwards). An example is a solenoid, considered as a hybrid (electromechanical) system, represented by the following block diagram, where the series connection of three systems of first degree (electrical part), zero degree (transducer) and second degree ( mechanical part), respectively. It is also a good example of where in practice, we can find a first order open loop system: Definición de Sistema Electromecánico

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-36.png
First-Order Closed-Loop System

For the closed loop system it is satisfied that:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image.png

The following Matlab script shows how the response (output) of the closed-loop system to the unit step input varies as the gain of the K controller acquires the values indicated above:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]); K=[1 2 3 4]; G1=K(1)*G; G2=K(2)*G; G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;

sys1=feedback(G1,1);
sys2=feedback(G2,1);
sys3=feedback(G3,1);
sys4=feedback(G4,1);
step(sys1,sys2,sys3,sys4)
legend(‘K1=1′,’K2=2′,’K3=3′,’K4=4’)

Gráfica 4. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo cerrado, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

Graph 4 shows how the system is faster as the gain K of the controller increases. That is, the time constant T of the closed-loop first-order system decreases as the gain K of the controller increases.:

The above results show that for the closed-loop system, we can use the gain K of the proportional controller to adjust the system in such a way that it responds at a given speed. Observe that the pole of the system moves to the left of the real axis as K increases.

sys=feedback(G1,1);
rlocus(sys)

Gráfica 5. El Lugar de las raíces para un sistema de primer orden a lazo cerrado. El polo del sistema se desplaza hacia la izquierda del eje real a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

Graph 6 shows the constant T of each system, the time each system reaches 63.2% of its final value:

Gráfica 6. Para un sistema de primer orden a lazo cerrado el valor de la constante de tiempo disminuye a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

Sources:

  • Introducción a los sistemas de control con Matlab – Ricardo Gaviño
  • Control Systems Engineering, Nise
  • Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  • Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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