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Problema resuelto de Circuito C.A. y aparatos de medición – Régimen estacionario sinusoidal

El circuito de la Figura siguiente está alimentado por un generador de c.a. v(t)

Los aparatos de medida dan los siguientes resultados:

Además, se sabe que Z1 es completamente inductiva, Zaes una impedancia capacitiva con fase -70°, Z2 es una impedancia completamente resistiva y Zb es una impedancia con componente inductivo y resistivo.

Se pide:

  1. La lectura del amperímetro IT.
  2. La lectura del voltímetro V2.
  3. La lectura del vatímetro P1.

Solución:

  1. Lectura del amperímetro IT. Para hallar IT utilizamos la ley de corrientes de Kirchhoff y la siguiente relación:

Vamos a determinar Ia en primer lugar. Sabemos que la impedancia Za es capacitiva, con fase -70°. Conviene definir Va como el voltaje de referencia. Además, en el diagrama del circuito vemos claramente que Ia=Va/Za  y además Va = Vb. Entonces:

En consecuencia:

Además es importante saber que:

Para determinar Ib, determinaremos el valor de la fase de la impedancia Zb para luego aplicar:

Calcularemos la fase de la impedancia Zb mediante las siguientes fórmulas:

La potencia aparente Sb relativa a la impedancia Zb es la siguiente:

Luego:

Para calcular Pb, utilizamos la potencia medida por P2, que es la potencia activa consumida por los componentes  resistivos de las impedancias Za y Zb:

Este resultado nos permite determinar Qb:

Con estos datos, la impedancia Zb queda definida como:

En consecuencia:

Recordamos que:

Por lo tanto:

De donde:

En conclusión, la lectura del amperímetro es IT =28.09 A.

2. Lectura del voltímetro V2. Podemos determinar V2 mediante la siguiente fórmula:

Como ya conocemos Vb vamos a calcular primero a V1, del cual gracias a los datos del problema ya conocemos su módulo:

Por la impedancia Z1 circula IT. Podemos utilizar este hecho para determinar la fase de V1, ya que en una impedancia puramente inductiva, la corriente se retrasa con respecto al voltaje en 90°. Por lo tanto:

Para determinar el módulo de V2, aprovechamos el hecho de que la impedancia Z2 es puramente resistiva. Esto significa que V2 está en fase con la corriente IT la cual atraviesa Z2. Es decir:

De los datos del problema sabemos que:

De esta manera:

Considerando el módulo de la expresión anterior, obtenemos que:

Simplificando:

De donde:

En conclusión, la lectura del voltímetro es V= 338.12 V

3. Lectura del potenciómetro P1: El amperímetro mide el consumo de potencia activa en la red. A parte de la potencia medida por P2, R2 es la única resistencia que consume potencia. Por tanto:

En conclusión, la lectura del potenciómetro es P= 16698 W.

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Transformada de Laplace – Problemas resueltos – Catálogo 12

La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de señales y sistemas para determinar la transformada de Laplace y su ROC. Cada problema tiene un costo de 8.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 16.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal.

Problema 1. Dada las señales x(t), y(t):

Se pide:

  1. Hallar la transformada de Laplace de la señal x(t) a partir de la definición de la transformada, incluyendo su ROC.
  2. Hallar la transformada de Laplace de la señal y(t) aplicando las propiedades de la transformada al resultado obtenido en el apartado anterior.

Problema 2. Dado el sistema LTI con respuesta impulsional y señal de entrada h(t), x(t):

  1. Determinar la transformada de Laplace de h(t) y x(t)  a partir de la definición de la transformada.
  2. Determinar la transformada de Laplace de la señal de salida Y(s) a partir de la propiedad de convolución de la transformada.

Problema 3. Obtenga la Transformada de Laplace de la siguiente señal, indicando la región de convergencia.

Problema 4. en construcción:

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The Z-Transform

The z-transform is an extension of the DTFT (The Discrete-Time Fourier Transform) to overcome two shortcomings of the DTFT approach: First, there are many important signals for which the DTFT does not exist. Take the case of the step u[n]. Second, the transient response of a system due to initial conditions or due to changing inputs cannot be computed using the DTFT approach.

In consequence, the bilateral version of the z-transform provides another domain in which a larger class of sequences and systems can be analyzed. Meanwhile, the unilateral version of the z-transform can be used to obtain the response of systems with initial conditions or changing inputs.  

THE BILATERAL Z-TRANSFORM

The z-transform of an arbitrary sequence x[n] is given by:

where z is a complex variable called the complex frequency:

The set  of values for which X[z] exists is called the region of convergence (ROC) and is given by:

For some non-negative numbers Rx- and Rx+. Since the ROC defined in terms of the module of z, the shape of the ROC is an open ring, as show in Figure 1:

Figure 1. A general region of convergence.

Another way of defining the ROC is:

null

When:

Hence, the DTFT X[e] may be viewed as a special case of the z-transform X[z].

The inverse z-transform of a complex function X[z] is given by:

where C is a counterclockwise contour encircling the origin and lying in the ROC.  

Example 1. 

Let x1[n] a positive-time sequence:

Then:

Note: in example 1:

That is, has a zero at the origin (z=0) and a pole in z=a.

Summarizing:

Example 1 is s special case of a right-side sequences, defined as a sequence x[n]  that is zero for some n<n0. The ROC of a right-side sequence is always outside of a circle of radius Rx-. In the case of example 1, Rx-=a. If n0 0, then the right-side sequence is also called a casual sequence. Note that if a=1, example 1 is the z-transform of the unit step. That is to say:

Example 2

Let x2[n] a negative-time sequence:

Then:

Example 2 is s special case of a left-side sequences, defined as a sequence x[n]  that is zero for some n>n0. The ROC of a left-side sequence is always inside of a circle of radius Rx+. In the case of example 2, Rx+=b. If n0<=0, then the right-side sequence is also called an anticasual sequence.

Example 3

Let x3[n] a two-side sequence:

Then:

Example 3 is s special case of a two-side sequences. The ROC of a two-side sequence is always an open ring Rx+ <IzI<Rx+ if it exist.

Another considerations about ROC are as follows:

  • The sequences that are zero for n<n1 and n>n2 are called finite-duration sequences. The ROC of such sequences is the entire z-plane. If n1<0, then z=+∞ is not in the ROC. If n2>0, then z=0 is not in the ROC.
  • The ROC cannot include a pole since X(z) converges uniformly in there.
  • There is at least one pole on the boundary of a ROC of a rational X(z).
  • The ROC is one contiguous region; that is, the ROC does not come in pieces.

In digital signal processing, signals are assumed to be casual since almost every digital data is acquired in real time. Therefore, the only ROC of interest is those of the same type of example 1.

Previous: The Discrete-Time Fourier TransformThe Frequency Response of an LTI system

Source:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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La Respuesta en Frecuencia de un sistema LTI discreto

La Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT – Discrete-Time Fourier Transform) de la respuesta al impulso de un sistema (respuesta impulsiva) se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de Transferencia) de un sistema LTI.

Anterioirmente habíamos manifestado queLa Transformada de Fourier es la representación más útil para un sistema LTI (La Transformada de Fourier de Tiempo DiscretoDTFT). Esto es debido a la siguiente razón:

RESPUESTA A LA EXPONENCIAL COMPLEJA ejωon

Sea ejωon  la entrada a un sistema LTI con respuesta impulsiva h[n]:

Entonces:

Definición:

RESPUESTA EN FRECUENCIA: La Transformada de Fourier de tiempo discreto de La Respuesta al Impulso se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de transferencia) de un sistema LTI y se denota por:

En consecuencia, si x[n] es la entrada a un sistema LTI:

El sistema puede ser representado por:

Lo que es equivalente a escribir:

y la salida y[n] del sistema es:

Por tanto, la secuencia de salida es la secuencia de entrada modificada por la respuesta del sistema a la frecuencia ω0. Esto justifica la definición de H[e] como la respuesta en frecuencia porque es lo que se multiplica el exponencial complejo ejωon para obtener la salida y[n]. Este es un resultado poderoso que puede extenderse a una combinación lineal de exponenciales complejas utilizando la propiedad de linealidad de los sistemas LTI:

Respuesta a secuencias sinusoidales

Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x[n] being an input to an LTI system h[n]:

La ecuación (2) también es un resultado poderoso debido a la forma en que facilita una determinación más rápida de la salida a cualquier señal de entrada capaz de ser representada por una combinación de exponenciales complejas, como secuencias sinusoidales. Tomemos el caso siguiente en que la entrada x[n] un sistema LTI con h[n] es de la forma:

You already know how to use Euler to represent x[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y[n]:

Ya sabemos como utilizar Euler para representar la x[n] de este ejercicio, como una combinación de exponenciales complejos. Entonces, directamente podemos utilizar el poder de las ecuaciones (2) y (3) para determinar rápidamente la salida y[n] del sistema:

En general, la respuesta en frecuencia es una función compleja de ω. Esto significa que tiene una magnitud y una fase. En otras palabras, se puede representar como un fasor:

En consecuencia:

Ejemplo 1

Determine la salida y[n] de un sistema LTI descrito por su Respuesta al Impulso h[n], cuando la entrada es x[n]:

Graficar la amplitud y la fase de la Respuesta en Frecuencia H[e].

Solución:

Utilizando la ecuación (1) obtenemos la Respuesta en frecuencia H[e] del sistema:

Utilizando ala ecuación 3.1, podemos obtener la amplitud y la fase de H[e]:

En consecuencia:

Para graficar ampitud y fase de H[e] en Matlab, podemos utilizar el siguiente script:

w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,magH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘|H[e^jω ]|’);
title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);

w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,angH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘<H[e^jω’);
title (‘Angle of H[e^jω ]’);

Respuesta a entradas arbitrarias

Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x[n] and its DTFT X[e]. Take any system described by its Transfer Function H[e], then the response y[n]  of this system to the input x[n]  can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[e], where Y[e]  is:

Finalmente, la Ecuación (2) se puede aplicar a cualquier secuencia arbitraria absolutamente sumable que se presente en la entrada del sistema. Suponga una secuencia arbitraria x[n] y su DTFT X[e]. Tome cualquier sistema, descrito por su Respuesta en Frecuencia H[e], entonces la salida y[n] de este sistema a la entrada x[n] se puede obtener aplicando la IDTFT (transformada inversa de Fourier en tiempo discreto) a Y[e], donde Y[e] es:

Por lo tanto, cualquier sistema LTI puede ser representado en el dominio de la frecuencia, por el siguiente diagrama:

Las consecuencias de la ecuación (5) son monumentales en Ingeniería !!! A partir de allí, podemos construir la Transformada de Laplace (Laplace Transform) en el tiempo continuo, así como la Transformada Z (Z-Transform) en el tiempo discreto, lo cual es nuestro siguiente tema.

La Transformada Z es una poderosa herramienta que nos permite evitar el uso de integrales, operación obligada para determinar la IDTFT de Y[e]. Es decir, podremos obtener y[n] de manera algebraica más sencilla.

Anterior: La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto

Fuentes:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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Convolución – Problemas resueltos – Matlab – Catálogo 11

La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de señales y sistemas para aplicar convolución. Cada solución además ofrece un código de Matlab para graficar las señales y la simulación de la salida. Cada problema tiene un costo de 8.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 16.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal.

Problema 1. Un sistema LTI de tiempo continuo tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

  1. Determinar los instantes inicial y final de la señal de salida sin evaluar la integral de convolución. Graficar ambas señales.
  2. Realizando ahora la integral de convolución, determinar la salida del sistema y(t) a la entrada x(t). Ejecutar analíticamente y mediante simulación en Matlab.

Problema 2. Un sistema LTI de tiempo discreto tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

  1. Sin evaluar la convolución, determinar los instantes inicial y final de la señal de salida. Graficar ambas señales.
  2. Obtener la salida del sistema mediante la operación de convolución. Ejecutar analíticamente y mediante simulación en Matlab.
  3. A partir del resultado obtenido en el apartado anterior evaluar la salida del sistema cuando la entrada es:

Problema 3. Sea el sistema LTI de tiempo discreto tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

  1. Indique el instante inicial y final de la salida del sistema;
  2. Aplicando convolución, evalúe la salida del sistema.

Método de pago

Convolución – Problemas Resueltos – Catálogo 11, pago por un solo ejercicio.

Ejercicio de Convolución. Pago por un solo ejercicio. Luego de pagar, por favor solicitar la solución en PDF al WhatsApp +34633129287

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Convolución – Problemas Resueltos – Catálogo 11, pago por la guía completa.

Ejercicio de Convolución. Pago por la guía completa, tres ejercicios. Luego de pagar, por favor solicitar la solución en PDF al WhatsApp +34633129287

16,50 €

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Señal analógica y señal digital – Definición y diferencia

Una señal de tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo de tiempo continuo. En dicha señal, la amplitud puede tener un intervalo continuo de valores o solamente un número finito de valores distintos.

Por su parte, una señal analógica es una señal definida de tiempo continuo cuya amplitud adopta un intervalo continuo de valores. En consecuencia, una señal analógica es un caso especial de señal de tiempo continuo. Por ello, en rigor, “la señal de tiempo continuo no es necesariamente una señal analógica… no son sinónimos”.

Luego, el proceso de representar una variable por medio de un conjunto de valores  distintos se denomina cuantificación. Por ende, si representamos una señal de tiempo continuo por medio de un conjunto de valores distintos de su amplitud, podemos llamarla señal cuantificada en amplitud en tiempo continuo. Note la diferencia entre esta última señal y una señal analógica, mediante la siguiente figura:

La amplitud de la señal cuantificada sólo cambia en un número finito de valores.

Por otra parte, una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo (es decir, t, la variable independiente de una señal en tiempo discreto, está cuantificada). Luego, si la amplitud de una señal de tiempo discreto puede adoptar valores en un intervalo continuo, esa señal se denomina señal de datos muestreados. Por el contrario, si la amplitud de una señal de tiempo discreto sólo puede adoptar valores de un conjunto finito (es decir, la amplitud está cuantificada), entonces estamos en presencia de una señal digital. En consecuencia:

“Una señal digital es una señal en tiempo discreto con amplitud cuantificada”

En la siguiente gráfica se ilustra la diferencia entre una señal de datos muestreados y una señal digital:

Fuentes:

  1. Sistemas de Control en tiempo discreto – Katsuhiko Ogata
  2. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  3. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  4. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  5. Oppenheim – Señales y Sistemas
  6. Señales y circuitos lineales

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Transformada de Fourier en tiempo discreto – DTFT

Cuando un sistema en tiempo discreto es lineal y invariante en el tiempo (sistema LIT), solo una representación se destaca como la más útil. Se llama Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y se basa en el conjunto de señales exponenciales complejas {ejωn}.

THE  DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT)

Si x[n] es absolutamente sumable, esto es:

Entonces, la DTFT de x[n] está dada por:

Ejemplo 1.

Determine the DTFT of x[n]:

Solution.

Dado que X(e) es una función de valor complejo, deberá trazar su magnitud y su ángulo (o la parte real y la parte imaginaria) con respecto a ω por separado para poder graficar, es decir, describir visualmente X(e). Ahora ω es una variable real entre –∞ y +∞, lo que significa que solo podemos graficar una parte de la función X(e). Usando dos propiedades importantes de la DTFT, podemos reducir este dominio al intervalo [0, π] para secuencias de valores reales.

Los siguientes scripts de Matlab nos permite graficar cada parte de X(e) del ejemplo 1:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
magX=abs(X);angX=angle(X);
plot(w/pi,magX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Magnitude’);
title(‘Magnitude Part’)

This script yields:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
angX=angle(X);
plot(w/pi,angX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Radians’);
title(‘Angle Part’)

This script yields:

Ejemplo 2.

Determine the DTFT of the following finite-duration sequence:

Solution.

Dos propiedades importamtes

Las siguientes dos propiedades son esenciales para el análisis DTFT:

Algunos pares DTFT de gran importancia

A partir de las propiedades anteriormente mencionadas, la DTFT de las siguientes secuencias, Tabla 1, revelan ser muy útiles:

Propiedades de la DTFT

Ahora presentamos el resto de las propiedades de la DTFT en la Tabla 2:

These properties will be of remarkable value for the next application of the DTFT: The z-Transformation. Estas propiedades serán de notable valor para la próxima aplicación de la DTFT: la transformada z.

Relacionado: Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto con Matlab

Fuentes:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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The Discrete-Time Fourier Transform (DTFT)

When the system is linear and discrete time-invariant (LIT system), only one representation stands out as the most useful. It is called The Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) and is based on the complex exponential signal set {ejωn}.

THE  DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT)

If x[n] is absolutely summable, that is:

Then, the Discrete-Time Fourier Transform of x[n] is given by:

Example 1.

Determine the DTFT of x[n]:

Solution.

Since X[e] is a complex-valued function, will have to plots its magnitude and its angle (or the real part and imaginary part) with respect to ω separately to visually describe X[e]. Now ω is a real variable between –∞ and +, which would mean that we can plot only a part of the X[e] function. Using two important properties of the DTFT, we can reduce this domain to the [0,π] interval for real-valued sequences.

The following Matlab script allows us to plot every part of X(e) of example 1:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
magX=abs(X);angX=angle(X);
plot(w/pi,magX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Magnitude’);
title(‘Magnitude Part’)

This script yields:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
angX=angle(X);
plot(w/pi,angX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Radians’);
title(‘Angle Part’)

This script yields:

Example 2.

Determine the DTFT of the following finite-duration sequence:

Solution.

Two important properties

The following two properties are essential for DTFT analysis:

Some common DTFT Pairs

Derived from the previous properties, the DTFT of the following sequences, Table 1, are very useful:

Properties of the DTFT

We now present the complete properties of the DTFT in Table 2:

These properties will be of remarkable value for the next application of the DTFT: The z-Transformation.

We early stated that the Fourier Transform representation is the most useful signal representation for LTI systems. That is true due to the following reason:

RESPONSE TO A COMPLEX EXPONENTIAL ejωon

Let  be the input to an LTI system represented by the impulse response h[n]:

Then:

Definition: The FREQUENCY RESPONSE

FREQUENCY RESPONSE: The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system and is denoted by:

In consequence, if x[n] is the input to an LTI system:

The system can be represented by:

and the output is as follows:

… Next: The Frequency Response of an LTI system

Source:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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Filtros Digitales – Filtros FIR, IIR, AR, MA, ARMA – Procesamiento de señales

Filtro es un nombre genérico que se le da a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI por sus siglas en inglés) diseñado para un trabajo específico de selección de frecuencia o discriminación de frecuencia. Por lo tanto, los sistemas LTI de tiempo discreto también se denominan filtros digitales. Hay dos tipos de filtros digitales: filtros FIR y filtros IIR.

Introducción

Un sistema discreto LTI también se puede describir mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes lineales de la forma:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-75.png

Esta ecuación describe un enfoque recursivo para calcular la salida para la muestra n (o n muestras) dados los valores de entrada y los valores de salida calculados previamente. En la práctica, esta ecuación se calcula hacia adelante en el tiempo, desde n=-∞ a n=+∞. Por tanto, otra forma de escribir la ecuación (1) es:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-49.png
Filtro FIR 

Si la respuesta al impulso unitario de un sistema LTI es de duración finita, el sistema se denomina filtro de respuesta de impulso de duración finita (o FIR: finite-duration impulse response). Por tanto, para un filtro FIR h[n]=0 para n<n1 y para n>n2. La siguiente parte de la ecuación de diferencia (2) describe un filtro FIR causal:

Además, h[0]=bo , h[1]=b1 ,… h[M]=bM. mientras que todos los demás h[n]’s valen 0. Los filtros FIR también se denominan filtros no recursivos o de promedio móvil (MA: non-recursive or moving average). En Matlab, los filtros FIR se representan como valores de respuesta de impulso {h[n]} o como coeficientes de ecuación de diferencia {bm} y {a0 =1}. Por lo tanto, para implementar filtros FIR en Matlab, podemos usar la función conv(x,h) o la función filter(b,1,x). Vea el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1. 

Let the following rectangular pulse x[n] be an input to an LTI system with impulse response h[n]:

Determine the output y[n] of the system.

Solution:

In Elementary sequences we have implemented the function stepseq for plotting the unit step function in discrete time, or any combination as example 1. Next Script allows plotting x[n].

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Figure 1. Input sequence x[n], example 1.

Next Script allows plotting h[n].

n=[0:40];
h=(0.9).^n;
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Figure 2. Impulse response h[n] for system in example 1.

Now, we use conv Matlab function to determine y[n]:

y=conv(x,h);
n=[0:80];
stem(n,y);
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Figure 3. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Another approach is by using the filter function:

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
h=(0.9).^n;
y=filter(h,1,x);
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)
grid

What yields:

Figure 4. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Hay una diferencia en los resultados de estas dos implementaciones que debe tenerse en cuenta. Como puede ver en la Figura 3, la secuencia de salida de la función conv(x,h) tiene una longitud mayor que las secuencias x[n] y h[n]. Por otro lado, la secuencia de salida de la función de filter(h,1,x) en la Figura 4 tiene exactamente la misma longitud que la secuencia de entrada x[n]. En la práctica, para la convolución de señales digitales se recomienda el uso de la función filter.

Cuidado: la función filter se puede utilizar para calcular la convolución indirectamente. Eso fue posible debido a que la respuesta al impulso en el ejemplo 1 era una secuencia exponencial infinita orientada a un lado para la cual podríamos determinar una representación de ecuación de diferencia. No todas las respuestas impulsionales de longitud infinita se pueden convertir en ecuaciones en diferencias.

IIR Filter

If the impulse response of an LTI system is of infinite duration, then the system is called an infinite-duration impulse response (or IIR) filter. The following part of the difference equation (2):

Si la respuesta al impulso de un sistema LTI es de duración infinita, entonces el sistema se denomina filtro de respuesta al impulso de duración infinita (o IIR: infinite-duration impulse response). Considere la siguiente parte de la ecuación en diferencias (2):

La ecuación previa describe un filtro recursivo en el que la salida y[n] se calcula de forma recursiva a partir de sus valores calculados previamente y se denomina filtro autorregresivo (AR: autoregressive). La respuesta al impulso de dicho filtro es de duración infinita y, por lo tanto, representa un filtro IIR. La ecuación general (2) también describe un filtro IIR. Tiene dos partes: una parte AR y una parte MA. Dicho filtro IIR se denomina promedio móvil autorregresivo o filtro ARMA. En Matlab, los filtros IIR se describen mediante los coeficientes de ecuación de diferencia {bm} y {ak} y se implementan mediante la función de filter(b,a,x). Vea el siguiente ejemplo:

Example 2

Given the following difference equation:

  1. Calculate and plot the impulse response h[n] at n=-20,…,100
  2. Calculate and plot the unit step response s[n] at n=-20,…,100
  3. Is the system specified by h[n] stable?

Solution:

  1. To determine h[n] we use the following script:

n=[-20:120];
a=[1,-1,0.9];
b=[1];
h=impz(b,a,n);
stem(n,h)
grid
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

The script yields:

Figure 1. Impulse response h[n] for example 1.
  1. 2. To determine s[n] we use the following script:

n=[-20:120];
a=[1,-1,0.9];
b=[1];
x=stepseq(0,-20,120);
s=filter(b,a,x);
stem(n,s)
xlabel(‘n’); ylabel(‘s[n]’);

The script yields:

Figure 2. Step response s[n] for example 1.
  1. Is the system specified by h[n] stable?

From Figure 1 we see that h[n] is practically zero n>120. Hence the sum:

Can be determined with the following script:

sum(abs(h))

This yields:

ans = 14.8785

That is to say:

This result implies that the system is stable. An alternate approach is to use the stability condition of the roots:

z=roots(a);
magz=abs(z)

magz =

0.9487
0.9487

Dado que la magnitud de ambas raíces es menor que uno, el sistema es estable.

En realidad, hay dos formas de resolver una ecuación en diferencias con coeficientes constantes lineales: encontrar la solución particular y la homogénea; encontrar las respuestas de entrada cero y de estado cero (the zero-input and the zero-state responses). Es mediante el uso de la transformada z que podemos derivar un método para obtener ambos.

Relacionado: Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto con Matlab

Fuentes:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

Revisión literaria hecha por:

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Graficar el pulso rectangular en Matlab utilizando la transformada de Laplace

Considere la función pulso:

null

Donde A y t0 son constantes.

Esta función pulso puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, sobreimpuesta por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

null

En este caso, la transformada de f(t) se obtiene mediante:

null

Aplicando la tabla para transformadas de Laplace (anexo) obtenemos:

null

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso es:

null

Para el pulso rectangular, simplemente debemos considerar que:

null
Ejemplo 1. Gráfica en Matlab 

Suponga un pulso rectangular f(t) de altura A=1 y ancho t0=1. El siguiente script representa la forma más inmediata de graficar f(t) en Matlab (en este ejemplo f(t)=h1(t) es la respuesta al impulso unitario de un sistema cualquiera):

>> t=0:0.1:4;

>> h1=rectpuls(t,2);

>> plot(t,h1)

null

El script anterior utiliza el tiempo t para graficar la señal. Sin embargo, representar el pulso rectangular mediante la transformada de Laplace (representación en frecuencia) y utilizar dicha representación en Matlab, ofrece enormes ventajas para el análisis de sistemas lineales, y para la misma programación en Matlab, el cual ofrece un exuberante Control Toolbox para el caso en que una función está representada en frecuencia (como la función step, o la función impulse utilizada más tarde). Por ejemplo, la convolución entre dos señales en el dominio del tiempo, es un simple producto entre dos señales en el dominio de la frecuencia. Es por ello que procedemos de la siguiente manera.

La función pulso rectangular f(t) de ancho t0 puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, y es luego anulada (no sobreimpuesta como el caso anterior) por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

null

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso rectangular es:

null
Ejemplo 2. Gráfica en Matlab 

Suponga el pulso rectangular f(t) de altura A=1 y ancho t0=1 del ejemplo 1. El siguiente script utiliza la transformada de Laplace la función pulso rectangular en combinación con la respuesta al impulso de un sistema cualquiera, para graficar el pulso rectangular:

s=tf(‘s’);
f1=tf([1],[1 0]);
f2=exp(-s)*tf([1],[1 0]);
f=f1-f2;
impulse(f)
xlabel(‘t’); ylabel(‘f(t)’)
title(‘Gráfica del pulso rectangular f(t)’)

Es de gran valor recordar que la respuesta al impulso en el dominio de la frecuencia nos permite obtener de manera inmediata la Función de Transferencia del sistema.

Con la ecuación (2) en la mano podemos adaptar este resultado a situaciones particulares. Suponga el caso de un pulso rectangular como el mostrado en la siguiente Figura:

null

Al aplicar el mismo procedimiento vemos que:

null

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función de la Figura es como en la ecuación (3):

null
Gráfica en Matlab 

En la ecuación anterior considere T=1, A=3. Es decir, dos pulsos rectangulares de ancho 1 y amplitud 3, que inicia en t=0. El siguiente script permite obtener la gráfica de f(t) en Matlab:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-9.png

Referencia:

  • Ingeniería de control moderna (Ogata)

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