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First-Order Open-Loop and Closed-Loop Systems

An open loop control system for a first order system allows us to increase or decrease the static gain k of the system, but it does not allow us to change its time constant T, which represents a great limitation for the design of a system that fulfill specific tasks where, perhaps, a faster response is necessary (for a review of the k and T parameters see Sistema de primer orden). In contrast, with a closed-loop control system for a first-order system, we can vary both parameters. Let’s see it by simulating the response of the system to the unit step input.

Let us assume both cases, represented by the following Block Diagrams for a control system consisting of a controller and a plant. The transfer function (FT) of the first order plant is Gp(s), while the FT of the adjustable proportional controller isGc(s):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-38.png

(See: Diagrama de Bloques)

Let’s see what happens considering the following values:

First-Order Open-Loop System

For the open-loop system it is satisfied that:

Atención: No confundir la K del controlador con la k (ganancia estática) del sistema (ver Sistema de primer orden).

The following Matlab script shows how the response (output) of the open-loop system to the unit step input varies as the gain of the K controller acquires the following values:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]);
K=[1 2 3 4];
G1=K(1)*G; G2=K(2)*G;
G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;
step(G1,G2,G3,G4)

legend(‘K=1′,’K=2′,’K=3′,’K=4’)

Gráfica 1. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo abierto, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

In graph 1 we can see how the output of the system varies as the gain K of the controller changes. We can see that the static gain k of the first order system increases as the K of the controller increases. However, in each case, the time constant T remains constant. According to the First-Order System, the value of the time constant T is equal to;

In graph 2 we can see that the constant T, the time each system reaches 63.2% of its final value, remains constant for the 4 values of K considered:

Gráfica 2. El valor de la constante de tiempo se mantiene constante para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

Graph 3 allows us to see that the static gain k of each system as the gain K of the proportional controller increases is:

Gráfica 3. La ganancia estática para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

Most simple systems are zero, first, or second order. But then these simple systems interact with each other, generating higher order systems (third order onwards). An example is a solenoid, considered as a hybrid (electromechanical) system, represented by the following block diagram, where the series connection of three systems of first degree (electrical part), zero degree (transducer) and second degree ( mechanical part), respectively. It is also a good example of where in practice, we can find a first order open loop system: Definición de Sistema Electromecánico

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-36.png
First-Order Closed-Loop System

For the closed loop system it is satisfied that:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image.png

The following Matlab script shows how the response (output) of the closed-loop system to the unit step input varies as the gain of the K controller acquires the values indicated above:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]); K=[1 2 3 4]; G1=K(1)*G; G2=K(2)*G; G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;

sys1=feedback(G1,1);
sys2=feedback(G2,1);
sys3=feedback(G3,1);
sys4=feedback(G4,1);
step(sys1,sys2,sys3,sys4)
legend(‘K1=1′,’K2=2′,’K3=3′,’K4=4’)

Gráfica 4. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo cerrado, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

Graph 4 shows how the system is faster as the gain K of the controller increases. That is, the time constant T of the closed-loop first-order system decreases as the gain K of the controller increases.:

The above results show that for the closed-loop system, we can use the gain K of the proportional controller to adjust the system in such a way that it responds at a given speed. Observe that the pole of the system moves to the left of the real axis as K increases.

sys=feedback(G1,1);
rlocus(sys)

Gráfica 5. El Lugar de las raíces para un sistema de primer orden a lazo cerrado. El polo del sistema se desplaza hacia la izquierda del eje real a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

Graph 6 shows the constant T of each system, the time each system reaches 63.2% of its final value:

Gráfica 6. Para un sistema de primer orden a lazo cerrado el valor de la constante de tiempo disminuye a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

Sources:

  • Introducción a los sistemas de control con Matlab – Ricardo Gaviño
  • Control Systems Engineering, Nise
  • Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  • Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Sistema de primer orden a lazo abierto y a lazo cerrado – Matlab Simulation

Un sistema de control a lazo abierto para un sistema de primer orden, nos permite aumentar o disminuir la ganancia estática k del sistema, pero no nos permite cambiar su constante de tiempo T, lo que representa una gran limitación para el diseño de un sistema que cumpla con tareas específicas donde, quizás, sea necesario una respuesta más rápida (para un repaso de los parámetros k y T ver Sistema de primer orden). En cambio, con un sistema de control a lazo cerrado para un sistema de primer orden, podemos variar ambos parámetros. Vamos a verlo mediante una simulación de la respuesta del sistema a la entrada escalón unitario.

Supongamos ambos casos, representados por los siguientes Diagramas de Bloques para un sistema de control constituidos por un controlador y una planta. La función de transferencia (FT) de la planta de primer orden es Gp(s), mientras que la FT del controlador proporcional ajustable es Gc(s):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-38.png

(Para un repaso de Diagramas de Bloques ver: Diagrama de Bloques)

Veamos que pasa considerando los siguientes valores:

Sistema de primer orden a lazo abierto

Para el sistema a lazo abierto se cumple que:

Atención: No confundir la K del controlador con la k (ganancia estática) del sistema (ver Sistema de primer orden).

El siguiente script en Matlab muestra como varía la respuesta (salida) del sistema en lazo abierto a la entrada escalón unitario a medida que la ganancia del controlador K adquiere los siguientes valores:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]);
K=[1 2 3 4];
G1=K(1)*G; G2=K(2)*G;
G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;
step(G1,G2,G3,G4)

legend(‘K=1′,’K=2′,’K=3′,’K=4’)

Gráfica 1. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo abierto, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

En la gráfica 1 podemos observar como varía la salida del sistema a medida que cambia la ganancia K del controlador. Podemos ver que aumenta la ganancia estática k del sistema de primer orden a medida que aumenta la K del controlador. Sin embargo, en cada caso, la constante de tiempo T se mantiene constante. De acuerdo con Sistema de primer orden, el valor de la constante de tiempo T es igual a:

En la gráfica 2 podemos comprobar que la constante T, el tiempo en que cada sistema alcanza el 63,2% de su valor final, se mantiene constante para los 4 valores de K considerados:

Gráfica 2. El valor de la constante de tiempo se mantiene constante para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

La gráfica 3 nos permite ver que la ganancia estática k de cada sistema a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional es:

Gráfica 3. La ganancia estática para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

La mayoría de los sistemas sencillos son de cero, primer o segundo orden. Pero luego dichos sistemas sencillos interactúan entre ellos, generando sistemas de orden superior (de tercer orden en adelante). Un ejemplo es un solenoide, considerado como un sistema híbrido (electromecánico), representado mediante el siguiente diagrama de bloques, donde se muestra la conexión en serie de tres sistemas de primer grado (parte eléctrica), cero grado (transductor) y segundo grado (parte mecánica), respectivamente. Es un buen ejemplo también de dónde en la práctica, podemos encontrar un sistema de primer orden a lazo abierto: Definición de Sistema Electromecánico

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-36.png
Sistema de primer orden a lazo cerrado

Para el sistema a lazo cerrado se cumple que:

El siguiente script en Matlab muestra como varía la respuesta (salida) del sistema en lazo cerrado a la entrada escalón unitario a medida que la ganancia del controlador K adquiere los valores antes señalados:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]); K=[1 2 3 4]; G1=K(1)*G; G2=K(2)*G; G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;

sys1=feedback(G1,1);
sys2=feedback(G2,1);
sys3=feedback(G3,1);
sys4=feedback(G4,1);
step(sys1,sys2,sys3,sys4)
legend(‘K1=1′,’K2=2′,’K3=3′,’K4=4’)

Gráfica 4. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo cerrado, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

La gráfica 4 muestra como el sistema es más rápido a medida que la ganancia K del controlador aumenta. Es decir, la constante de tiempo T del sistema de primer orden en lazo cerrado, disminuye a medida que la ganancia K del controlador aumenta:

Los resultados anteriores muestran que para el sistema a lazo cerrado, podemos utilizar la ganancia K del controlador proporcional para ajustar el sistema de tal manera que responda a una velocidad determinada. Observar que el polo del sistema se va desplazando hacia la izquierda del eje real a medida que aumenta K.

sys=feedback(G1,1);
rlocus(sys)

Gráfica 5. El Lugar de las raíces para un sistema de primer orden a lazo cerrado. El polo del sistema se desplaza hacia la izquierda del eje real a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

La gráfica 6 muestra la constante T de cada sistema, el tiempo en que cada sistema alcanza el 63,2% de su valor final:

Gráfica 6. Para un sistema de primer orden a lazo cerrado el valor de la constante de tiempo disminuye a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

Fuentes:

  • Introducción a los sistemas de control con Matlab – Ricardo Gaviño
  • Control Systems Engineering, Nise
  • Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  • Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Error de un sistema de control en régimen permanente

El error entrada-salida e(t) y la señal de error ε(t), son los conceptos más utilizados para analizar el error en régimen permanente de un sistema de control prototipo como el que se muestra en la Figura 1:

Figura 1. Sistema de control prototipo.

El error entrada-salida e(t): Diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida con los niveles ajustados a la entrada. Este ajuste de los rangos de señal a los rangos de la entrada equivale a multiplicar la señal de salida por la ganancia estática de la realimentación. Por lo tanto:

Señal de error ε(t): Es la señal que actúa sobre el sistema en cadena directa:

Si el sistema es estable, el error entrada-salida y la señal de error tendrán, ante una entrada determinada, un valor en régimen permanente que se podrá obtener por el teorema del valor final:

Si la función de transferencia H(s) es constante, entonces H(s)=H(0) con lo que la señal de error entrada-salida E(s) y la señal de error ε(s) coinciden. Se definen entonces las constantes de error de posición, velocidad y aceleración:

Dando como resultado los siguientes errores para cada entrada:

Se define el tipo de un sistema realimentado como el número de polos en el origen del sistema en cadena abierta G(s)H(s). Para sistemas con realimentación constante se cumple:

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El pulso rectangular en Matlab

Un pulso rectangular aislado de amplitud A y duración T se representa matemáticamente como:

Dónde:

El siguiente código simula un pulso rectangular con un ancho de pulso deseado y el gráfico resultante:

fs=500; %sampling frequency
T=0.2; %width of the rectangular pulse in seconds
t=0.5:1/fs:0.5; %time base
g=(t>-T/2).(t(t==T/2)+0.5(t==-T/2); g=(t>-T/2).(t<T/2)+0.5(t==T/2)+0.5(t==-T/2); %rectpuls(t,T); %using inbuilt function (signal proc toolbox)
plot(t,g); title([‘Pulso Rectangular de ancho=’,num2str(T),’s’])

Pulso Rectangular de ancho 0.2 segundos.

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Problema resuelto de Circuito C.A. y aparatos de medición – Régimen estacionario sinusoidal

El circuito de la Figura siguiente está alimentado por un generador de c.a. v(t)

Los aparatos de medida dan los siguientes resultados:

Además, se sabe que Z1 es completamente inductiva, Zaes una impedancia capacitiva con fase -70°, Z2 es una impedancia completamente resistiva y Zb es una impedancia con componente inductivo y resistivo.

Se pide:

  1. La lectura del amperímetro IT.
  2. La lectura del voltímetro V2.
  3. La lectura del vatímetro P1.

Solución:

  1. Lectura del amperímetro IT. Para hallar IT utilizamos la ley de corrientes de Kirchhoff y la siguiente relación:

Vamos a determinar Ia en primer lugar. Sabemos que la impedancia Za es capacitiva, con fase -70°. Conviene definir Va como el voltaje de referencia. Además, en el diagrama del circuito vemos claramente que Ia=Va/Za  y además Va = Vb. Entonces:

En consecuencia:

Además es importante saber que:

Para determinar Ib, determinaremos el valor de la fase de la impedancia Zb para luego aplicar:

Calcularemos la fase de la impedancia Zb mediante las siguientes fórmulas:

La potencia aparente Sb relativa a la impedancia Zb es la siguiente:

Luego:

Para calcular Pb, utilizamos la potencia medida por P2, que es la potencia activa consumida por los componentes  resistivos de las impedancias Za y Zb:

Este resultado nos permite determinar Qb:

Con estos datos, la impedancia Zb queda definida como:

En consecuencia:

Recordamos que:

Por lo tanto:

De donde:

En conclusión, la lectura del amperímetro es IT =28.09 A.

2. Lectura del voltímetro V2. Podemos determinar V2 mediante la siguiente fórmula:

Como ya conocemos Vb vamos a calcular primero a V1, del cual gracias a los datos del problema ya conocemos su módulo:

Por la impedancia Z1 circula IT. Podemos utilizar este hecho para determinar la fase de V1, ya que en una impedancia puramente inductiva, la corriente se retrasa con respecto al voltaje en 90°. Por lo tanto:

Para determinar el módulo de V2, aprovechamos el hecho de que la impedancia Z2 es puramente resistiva. Esto significa que V2 está en fase con la corriente IT la cual atraviesa Z2. Es decir:

De los datos del problema sabemos que:

De esta manera:

Considerando el módulo de la expresión anterior, obtenemos que:

Simplificando:

De donde:

En conclusión, la lectura del voltímetro es V= 338.12 V

3. Lectura del potenciómetro P1: El amperímetro mide el consumo de potencia activa en la red. A parte de la potencia medida por P2, R2 es la única resistencia que consume potencia. Por tanto:

En conclusión, la lectura del potenciómetro es P= 16698 W.

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Transformada de Laplace – Problemas resueltos – Catálogo 12

La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de señales y sistemas para determinar la transformada de Laplace y su ROC. Cada problema tiene un costo de 8.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 16.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal.

Problema 1. Dada las señales x(t), y(t):

Se pide:

  1. Hallar la transformada de Laplace de la señal x(t) a partir de la definición de la transformada, incluyendo su ROC.
  2. Hallar la transformada de Laplace de la señal y(t) aplicando las propiedades de la transformada al resultado obtenido en el apartado anterior.

Problema 2. Dado el sistema LTI con respuesta impulsional y señal de entrada h(t), x(t):

  1. Determinar la transformada de Laplace de h(t) y x(t)  a partir de la definición de la transformada.
  2. Determinar la transformada de Laplace de la señal de salida Y(s) a partir de la propiedad de convolución de la transformada.

Problema 3. Obtenga la Transformada de Laplace de la siguiente señal, indicando la región de convergencia.

Problema 4. en construcción:

Método de pago: Paypal

Puedes consultar también:

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The Z-Transform

The z-transform is an extension of the DTFT (The Discrete-Time Fourier Transform) to overcome two shortcomings of the DTFT approach: First, there are many important signals for which the DTFT does not exist. Take the case of the step u[n]. Second, the transient response of a system due to initial conditions or due to changing inputs cannot be computed using the DTFT approach.

In consequence, the bilateral version of the z-transform provides another domain in which a larger class of sequences and systems can be analyzed. Meanwhile, the unilateral version of the z-transform can be used to obtain the response of systems with initial conditions or changing inputs.  

THE BILATERAL Z-TRANSFORM

The z-transform of an arbitrary sequence x[n] is given by:

where z is a complex variable called the complex frequency:

The set  of values for which X[z] exists is called the region of convergence (ROC) and is given by:

For some non-negative numbers Rx- and Rx+. Since the ROC defined in terms of the module of z, the shape of the ROC is an open ring, as show in Figure 1:

Figure 1. A general region of convergence.

Another way of defining the ROC is:

null

When:

Hence, the DTFT X[e] may be viewed as a special case of the z-transform X[z].

The inverse z-transform of a complex function X[z] is given by:

where C is a counterclockwise contour encircling the origin and lying in the ROC.  

Example 1. 

Let x1[n] a positive-time sequence:

Then:

Note: in example 1:

That is, has a zero at the origin (z=0) and a pole in z=a.

Summarizing:

Example 1 is s special case of a right-side sequences, defined as a sequence x[n]  that is zero for some n<n0. The ROC of a right-side sequence is always outside of a circle of radius Rx-. In the case of example 1, Rx-=a. If n0 0, then the right-side sequence is also called a casual sequence. Note that if a=1, example 1 is the z-transform of the unit step. That is to say:

Example 2

Let x2[n] a negative-time sequence:

Then:

Example 2 is s special case of a left-side sequences, defined as a sequence x[n]  that is zero for some n>n0. The ROC of a left-side sequence is always inside of a circle of radius Rx+. In the case of example 2, Rx+=b. If n0<=0, then the right-side sequence is also called an anticasual sequence.

Example 3

Let x3[n] a two-side sequence:

Then:

Example 3 is s special case of a two-side sequences. The ROC of a two-side sequence is always an open ring Rx+ <IzI<Rx+ if it exist.

Another considerations about ROC are as follows:

  • The sequences that are zero for n<n1 and n>n2 are called finite-duration sequences. The ROC of such sequences is the entire z-plane. If n1<0, then z=+∞ is not in the ROC. If n2>0, then z=0 is not in the ROC.
  • The ROC cannot include a pole since X(z) converges uniformly in there.
  • There is at least one pole on the boundary of a ROC of a rational X(z).
  • The ROC is one contiguous region; that is, the ROC does not come in pieces.

In digital signal processing, signals are assumed to be casual since almost every digital data is acquired in real time. Therefore, the only ROC of interest is those of the same type of example 1.

Previous: The Discrete-Time Fourier TransformThe Frequency Response of an LTI system

Source:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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La Respuesta en Frecuencia de un sistema LTI discreto

La Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT – Discrete-Time Fourier Transform) de la respuesta al impulso de un sistema (respuesta impulsiva) se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de Transferencia) de un sistema LTI.

Anterioirmente habíamos manifestado queLa Transformada de Fourier es la representación más útil para un sistema LTI (La Transformada de Fourier de Tiempo DiscretoDTFT). Esto es debido a la siguiente razón:

RESPUESTA A LA EXPONENCIAL COMPLEJA ejωon

Sea ejωon  la entrada a un sistema LTI con respuesta impulsiva h[n]:

Entonces:

Definición:

RESPUESTA EN FRECUENCIA: La Transformada de Fourier de tiempo discreto de La Respuesta al Impulso se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de transferencia) de un sistema LTI y se denota por:

En consecuencia, si x[n] es la entrada a un sistema LTI:

El sistema puede ser representado por:

Lo que es equivalente a escribir:

y la salida y[n] del sistema es:

Por tanto, la secuencia de salida es la secuencia de entrada modificada por la respuesta del sistema a la frecuencia ω0. Esto justifica la definición de H[e] como la respuesta en frecuencia porque es lo que se multiplica el exponencial complejo ejωon para obtener la salida y[n]. Este es un resultado poderoso que puede extenderse a una combinación lineal de exponenciales complejas utilizando la propiedad de linealidad de los sistemas LTI:

Respuesta a secuencias sinusoidales

Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x[n] being an input to an LTI system h[n]:

La ecuación (2) también es un resultado poderoso debido a la forma en que facilita una determinación más rápida de la salida a cualquier señal de entrada capaz de ser representada por una combinación de exponenciales complejas, como secuencias sinusoidales. Tomemos el caso siguiente en que la entrada x[n] un sistema LTI con h[n] es de la forma:

You already know how to use Euler to represent x[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y[n]:

Ya sabemos como utilizar Euler para representar la x[n] de este ejercicio, como una combinación de exponenciales complejos. Entonces, directamente podemos utilizar el poder de las ecuaciones (2) y (3) para determinar rápidamente la salida y[n] del sistema:

En general, la respuesta en frecuencia es una función compleja de ω. Esto significa que tiene una magnitud y una fase. En otras palabras, se puede representar como un fasor:

En consecuencia:

Ejemplo 1

Determine la salida y[n] de un sistema LTI descrito por su Respuesta al Impulso h[n], cuando la entrada es x[n]:

Graficar la amplitud y la fase de la Respuesta en Frecuencia H[e].

Solución:

Utilizando la ecuación (1) obtenemos la Respuesta en frecuencia H[e] del sistema:

Utilizando ala ecuación 3.1, podemos obtener la amplitud y la fase de H[e]:

En consecuencia:

Para graficar ampitud y fase de H[e] en Matlab, podemos utilizar el siguiente script:

w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,magH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘|H[e^jω ]|’);
title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);

w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,angH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘<H[e^jω’);
title (‘Angle of H[e^jω ]’);

Respuesta a entradas arbitrarias

Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x[n] and its DTFT X[e]. Take any system described by its Transfer Function H[e], then the response y[n]  of this system to the input x[n]  can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[e], where Y[e]  is:

Finalmente, la Ecuación (2) se puede aplicar a cualquier secuencia arbitraria absolutamente sumable que se presente en la entrada del sistema. Suponga una secuencia arbitraria x[n] y su DTFT X[e]. Tome cualquier sistema, descrito por su Respuesta en Frecuencia H[e], entonces la salida y[n] de este sistema a la entrada x[n] se puede obtener aplicando la IDTFT (transformada inversa de Fourier en tiempo discreto) a Y[e], donde Y[e] es:

Por lo tanto, cualquier sistema LTI puede ser representado en el dominio de la frecuencia, por el siguiente diagrama:

Las consecuencias de la ecuación (5) son monumentales en Ingeniería !!! A partir de allí, podemos construir la Transformada de Laplace (Laplace Transform) en el tiempo continuo, así como la Transformada Z (Z-Transform) en el tiempo discreto, lo cual es nuestro siguiente tema.

La Transformada Z es una poderosa herramienta que nos permite evitar el uso de integrales, operación obligada para determinar la IDTFT de Y[e]. Es decir, podremos obtener y[n] de manera algebraica más sencilla.

Anterior: La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto

Fuentes:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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Convolución – Problemas resueltos – Matlab – Catálogo 11

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Problema 1. Un sistema LTI de tiempo continuo tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

  1. Determinar los instantes inicial y final de la señal de salida sin evaluar la integral de convolución. Graficar ambas señales.
  2. Realizando ahora la integral de convolución, determinar la salida del sistema y(t) a la entrada x(t). Ejecutar analíticamente y mediante simulación en Matlab.

Problema 2. Un sistema LTI de tiempo discreto tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

  1. Sin evaluar la convolución, determinar los instantes inicial y final de la señal de salida. Graficar ambas señales.
  2. Obtener la salida del sistema mediante la operación de convolución. Ejecutar analíticamente y mediante simulación en Matlab.
  3. A partir del resultado obtenido en el apartado anterior evaluar la salida del sistema cuando la entrada es:

Problema 3. Sea el sistema LTI de tiempo discreto tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

  1. Indique el instante inicial y final de la salida del sistema;
  2. Aplicando convolución, evalúe la salida del sistema.

Método de pago

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Señal analógica y señal digital – Definición y diferencia

Una señal de tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo de tiempo continuo. En dicha señal, la amplitud puede tener un intervalo continuo de valores o solamente un número finito de valores distintos.

Por su parte, una señal analógica es una señal definida de tiempo continuo cuya amplitud adopta un intervalo continuo de valores. En consecuencia, una señal analógica es un caso especial de señal de tiempo continuo. Por ello, en rigor, “la señal de tiempo continuo no es necesariamente una señal analógica… no son sinónimos”.

Luego, el proceso de representar una variable por medio de un conjunto de valores  distintos se denomina cuantificación. Por ende, si representamos una señal de tiempo continuo por medio de un conjunto de valores distintos de su amplitud, podemos llamarla señal cuantificada en amplitud en tiempo continuo. Note la diferencia entre esta última señal y una señal analógica, mediante la siguiente figura:

La amplitud de la señal cuantificada sólo cambia en un número finito de valores.

Por otra parte, una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo (es decir, t, la variable independiente de una señal en tiempo discreto, está cuantificada). Luego, si la amplitud de una señal de tiempo discreto puede adoptar valores en un intervalo continuo, esa señal se denomina señal de datos muestreados. Por el contrario, si la amplitud de una señal de tiempo discreto sólo puede adoptar valores de un conjunto finito (es decir, la amplitud está cuantificada), entonces estamos en presencia de una señal digital. En consecuencia:

“Una señal digital es una señal en tiempo discreto con amplitud cuantificada”

En la siguiente gráfica se ilustra la diferencia entre una señal de datos muestreados y una señal digital:

Fuentes:

  1. Sistemas de Control en tiempo discreto – Katsuhiko Ogata
  2. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  3. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  4. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  5. Oppenheim – Señales y Sistemas
  6. Señales y circuitos lineales

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