Cálculo, Límites, Matemática básica

Límites indeterminados – ejemplos

Las expresiones indeterminadas más habituales son:

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Polinomios en el infinito - Introducción

Para calcular el límite en el infinito de un polinomio, basta considerar el término de mayor grado. Ejemplos:

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Indeterminación ∞/∞. Cociente de polinomios en el infinito. 

Para deshacer la indeterminación ∞/∞, se puede dividir numerador y denominador por la potencia máxima de x que aparece en la fracción. Ejemplos:

null

El ejercicio anterior se puede resolver de manera equivalente considerando los términos de mayor grado. De esta manera el cálculo es más rápido. Ejemplos:

null

En el caso del cociente de polinomios, estas reglas se pueden resumir de la siguiente manera. Sean dos polinomio P y Q:

null

La regla también se aplica si en el cociente aparece la raíz n de cualquier orden de un polinomio. En ese caso se toma como “grado” el del polinomio dividido por el índice n.

null

Otros ejemplos:

Resolver:

null

null

Indeterminación +∞-∞ . 

Dadas las funciones P(x) y Q(x), donde:

null

O:

null

Se pueden presentar las siguientes situaciones:

  • En algunos casos se puede operar la expresión y eliminar así la indeterminación:

null

  • En otras ocasiones conviene multiplicar y dividir por la expresión conjugada

null

Indeterminación 0/0. Infinitésimos equivalentes - Trigonometría

Se dice que una función y=f(x) es un infinitésimo en x=a si se verifica que:

nullEjemplos:

null

Dados dos infinitésimos f(x) y g(x) en x=a:

null

En la siguiente tabla se muestran algunos infinitésimos equivalentes (herramientas de gran utilidad para resolver límites donde intervienen funciones senoidales):

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Cuando dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes, y uno de ellos aparece como factor en un límite, se puede sustituir por el otro. Ejemplos:

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Indeterminación 1. Expresiones indeterminadas exponenciales. 

Cuando se trata de polinomios, la indeterminación  puede resolverse manipulando algebraicamente la expresión y recordando la definición del número e:

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Ejemplo:

null

Para resolver este problema se manipula la expresión para obtener el número e:

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Observación:

null

Ejemplo:

null

Otros ejemplos:

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null

null

null

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Matemática básica, Polinomios

División de polinomios por el método de Ruffini – Ejemplos

La división de dos polinomios puede realizarse con mayor rapidez por un procedimiento que recibe el nombre de Regla de Ruffini. El primer caso es cuando el divisor es de la forma x + a

Binomio x + a

Ejemplo 1, efectuar:

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  1. El primer paso de la regla de Ruffini es encontrar la raíz del divisor. En la división del ejemplo 1, el divisor es el binomio x + 1. La raíz de este binomio es el valor de x para el cual se cumple que x + 1=0. Se procede entonces de la siguiente manera:

null

2. Con los coeficientes del dividendo y la raíz del divisor, formamos la siguiente tabla. Los coeficientes del dividendo son 1, 5, 0, -3, -2, 0, 6, -3 y 5. Mediante las operaciones de suma y multiplicación obtenemos los coeficientes del cociente (tercera fila en la siguiente tabla) y el resto (último número de la tercera fila). El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo, es decir, 1:

null

3. En la figura anterior, la segunda fila compuesta por -1, -4, 4, -1, 3, -3, -3, 6., se obtiene de multiplicar la raíz -1 por los componentes de la tercera fila, que es a su vez resultado de sumar los números en cada columna, según indican las flechas hacia debajo de la figura anterior. Primero se multiplica y después se suma, es decir:

null

Y así sucesivamente.

null

4. El cociente tendrá un grado menos que el dividendo. En este caso, el grado del dividendo es 8, y el grado del cociente es 7. El resultado de la división genera el cociente Q(x) y el residuo R:

null

Ejemplo 2, efectuar:

null

Utilizando Ruffini y aplicando los mismos procedimientos:

null

null

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta.

Ejemplo 3, efectuar:

null

Utilizando Ruffini y aplicando los mismos procedimientos:

null

Ejemplo 4, efectuar:

null

Debido a que los exponentes de la variable x en el dividendo, son múltiplos del exponente de la variable x en el divisor, podemos utilizar Ruffini, aplicando previamente una sustitución de variable:

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Fuente: Selección de temas de Matemática 5 – Jorge Gid Hoffmann

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Matemática básica

Símbolos matemáticos básicos más importantes – Tutor Larry

Lógica de predicados.

Cuantificadores.

  1. Cuantificador existencial (∃). Se utiliza para decretar que un elemento cualquiera, existe en las matemáticas, y exhibe tal o cual propiedad. Se lee existe.
  2. Cuantificador existencial con unicidad (∃!). Decreta que existe un único elemento que cumple con cierta propiedad. Se lee existe un único.
  3. Cuantificador universal (∀). Expresa que tal propiedad se cumple para la totalidad de un conjunto de elementos. Se lee para todos.
  4. Tal que (/). Todos los elementos tal que se verifique una propiedad particular. También se utiliza para este caso el símbolo (:)

Ejemplo:

  1. Supongamos que queremos resolver la siguiente ecuación:

Si sabemos que la ecuación tiene solución, y expresamos esa solución con palabras, diríamos:

Utilizando la notación Lógica de predicados, podemos escribir de forma matemática la declaración anterior de la siguiente manera:

También se puede escribir:

 

  1. La expresión ‘para todo x se cumple que x=x’ se puede escribir como:

 

 

Órdenes parciales.

Comparación.

  1. El símbolo significa menor que, por tanto, la expresión  significa: a menor que b.
  2. El símbolo significa mayor que, por tanto, la expresión  significa: a mayor que b.
  3. El símbolo significa menor o igual que, por tanto, la expresión  significa: a menor igual que b.
  4. El símbolo significa mayor que, por tanto, la expresión  significa: a mayor o igual que b.

 

Teoría de conjuntos.

Pertenencia.

  1. Pertenece a (). Se lee pertenece a. Lo contrario se escribe (). Supongam0s que tenemos un conjunto A, y tenemos un elemento que pertenece al conjunto A, podemos escribir esto como:

Lo cual se lee como  pertenece a A.

Inclusión de símbolos.

  1. Contenido en ().Se lee está contenido en. Lo contrario se escribe (). Supongam0s que tenemos un conjunto A, y tenemos otro conjunto Si el conjunto A está incluido en el conjunto B, podemos escribir esto como:

Lo cual se lee como A está incluido en B.

  1. Subconjunto o igual que ().Se lee es subconjunto de o es igual que. Lo contrario se escribe () que se lee ni subconjunto de o no es igual que.