Categoría: Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace tiene la importante tarea de caracterizar las señales analógicas en el dominio de la frecuencia, y representar los sistemas analógicos mediante la función de transferencia.

La Transformada de Laplace X(s) es la Transformada Continua de Fourier después de multiplicarla por una señal exponencial real decreciente. Es por ello que se considera una generalización de la Transformada de Fourier. La notación y la ecuación utilizadas para determinar la Transformada de Laplace son las siguientes:

Es decir, Laplace adapta la Transformada de Fourier para que pueda ser aplicada a un conjunto más amplios de señales para las cuáles no existe la Transformada de Fourier.

Bajo ciertas condiciones iniciales, La Transformada de Laplace nos permite visualizar el efecto que un sistema LTI (causal, lineal e invariante en el tiempo) tiene sobre cualquier señal de entrada a dicho sistema.

La Transformada de Laplace a partir de la Transformada de Fourier

Dada una señal de tiempo continuo x(t) se define la Transformada de Fourier X(ω) de x(t) como:

La ecuación (1) genera las componentes de frecuencia que forman la señal x(t). Para algunas señales de uso común en la ingeniería, esta integral no existe. Para resolver este inconveniente, se añade un factor de convergencia exponencial  e^-σt a la integral de la ecuación (1), donde sigma (σ) es un número real. De esa manera obtenemos:

La cual puede escribirse como:

Para ser más prácticos, hacemos:

Así podemos escribir la ecuación (3) como:

La ecuación (4) es conocida como La Transformada de Laplace de una señal general x(t).

La transformada de Laplace convierte las funciones expresadas en término de la variable real t  en funciones de una variable completamente diferente, la variable compleja s. Nos mueve desde el dominio del tiempo a lo que a menudo se denomina el dominio de frecuencia.

La Transformada de Laplace comparte las propiedades algebraicas de La Transformada de Fourier: transforman una señal en el tiempo en la suma de varias señales en frecuencia. De allí su enorme utilidad para determinar, por ejemplo, la salida de un sistema a partir de la ecuación diferencial que describe la dinámica de dicho sistema, aplicando La transformada de Laplace y el conjunto de propiedades que se definen a continuación.

Por otra parte, no es necesario calcular la integral de la ecuación (4) en la mayoría de los casos de interés científico ya que se dispone de tablas para determinar la Transformada de Laplace de dichos casos.

Ejemplo 1: La Transformada de Laplace de una función exponencial

Considere la señal x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. Aplicando la ecuación (4), La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Donde Re{s}>-a es la región de convergencia de la transformada X(s). Sobre la región de convergencia hablamos a continuación. Entre las múltiples ventajas que tiene esta forma de representar la señal x(t), resalta el hecho de que podemos simular dicha señal mediante un simple programa escrito en Matlab, Octave, Scilab, entre otros. En el caso de Matlab, se cuenta con una herramienta muy poderosa: Control Toolbox. La simpleza del siguiente script para graficar la señal x(t) se extiende a señales y sistemas mucho más complicados. Supongamos que en la ecuación anterior, a=3, lo que significa que la señal tiene un polo en s= -3. Entonces:

>> X=tf([1],[1 3]);
>> impulse(X);
>> title(‘Señal x(t)=(e^-3t)*u(t)’)

Si en vez de una señal, tenemos una función de transferencia, podemos simular la respuesta del sistema para entradas típicas: el impulso, el escalón o la rampa. Para ver ejemplos recomiendo ver:

• Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab
• Respuesta transitoria de un sistema de control de posición

Región de Convergencia (ROC)

Sea una señal analógica x_(t) y su transformada de Laplace X_(s). Se denomina región de convergencia (ROC, por su denominación en inglés) de la transformada de Laplace de x_(t) a los valores de s para los cuales X_(s) está definida; es decir, al conjunto de valores de s para los que converge la integral de la ecuación de análisis de la transformada de Laplace aplicada a x_(t).

Por tanto, y en primer lugar, nunca es correcto afirmar que <<la transformada de Laplace de x_(t) es X_(s)>>, sino que <<la transformada de Laplace de x_(t) es X_(s) con una ROC  R>>:

Donde R es la ROC de X_(s).

En segundo lugar, y muy importante, la convergencia de la ecuación de análisis de la transformada de Laplace depende siempre de x_(t) y de Re{s}, pero nunca de Im{s}, puesto que es el módulo de las señales implicadas en la integral lo que determina si dicha integral converge o no y, como también sabemos, el módulo de una exponencial compleja de la forma  es siempre igual a 1.

Vemos, por tanto, que la ROC de X_(s) vendrá siempre determinada por Re{s}. Por tanto, X_(s) existirá para algunos valores de Re{s} y no existirá para otros. Cuáles serán estos valores dependerá de x_(t).

En general, la ROC se representa gráficamente sobre el plano complejo (el plano s). Así pues, si x_(t) es de longitud finita y absolutamente integrable, la ROC de X_(s) es todo el plano s:

Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Para más información ver la guía: La transformada de Laplace

Hay que tener en cuenta los siguientes conceptos siempre que se calcula una Transformada de Laplace:

• Que un cero sea un punto en que la expresión de la transformada sea igual a cero no quiere decir que los ceros de una transformada pertenezcan a su ROC;
• Muy posiblemente, habrá uno o más polos situados en las rectas frontera que delimitan la ROC. En todo caso, es seguro que nunca habrá polos en el interior de la ROC, puesto que, por definición, un polo es un punto en que la expresión de la transformada tiende a infinito (es decir, en que la transformada no converge);
• En general, una vez calculada la transformada, conviene siempre comprobar si los valores particulares s=0 y s=±∞ pertenecen o no pertenecen (típicamente por ser polos) a la ROC.

Veamos como se obtiene la ROC del ejemplo 1.

Ejemplo 1: La ROC de la Transformada de Laplace de una función exponencial

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Para realizar este cálculo mediante Matlab ver: Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

Relación entre la ROC y la gráfica de polos y ceros

El diagrama de polos y ceros de la Transformada de Laplace X(s) de una función x(t) cualquiera, se construye según los principios siguientes:

El diagrama de polos y ceros de la Transformada de Laplace X(s) de una función x(t) cualquiera, está íntimamente ligado a la ROC de la de X(s).

Al respecto:

Propiedades de la Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace satisface un número de propiedades útiles en una gran variedad de aplicaciones. Las siguientes propiedades fundamentales permiten calcular sin necesidad de calcular la integral de la ecuación (4), la Transformada de Laplace de la mayoría de situaciones de interés para la ingeniería. Daremos algunos ejemplos de aplicación:

1. Linealidad. La Transformada de Laplace es una operación lineal, por tanto:

Ejemplo:

2. Desplazamiento en el tiempo por la derecha. Para cualquier número real positivo c:

Ejemplo: sea x(t) la función pulso rectangular en términos de la función escalón:

3. Escalamiento en el tiempo. Para cualquier número real positivo a:

Ejemplo: sea x(t) la función escalón escalada en el tiempo:

4. Multiplicación por una potencia de t. Para cualquier número entero positivo N:

Ejemplo: sea x(t) la función rampa unitaria:      5. Derivación en el dominio del tiempo.

La propiedad de derivación en el dominio del tiempo de la Transformada de Laplace es de suma importancia en el campo de la ingeniería ya que permite determinar la respuesta de un sistema LTI, o señal de salida y(t), a una entrada al sistema, o señal de excitación. Una vez determinada la Transformada de Laplace de la ecuación diferencial que representa la dinámica del sistema, se obtiene la expresión para la salida Y(s) y se aplica anti-transformada de Laplace. Pero existe una herramienta poderosa para observar el comportamiento de la salida en el dominio del tiempo. Veamos como funciona La Función de Transferencia de un sistema LTI.

Resumen de transformadas de importancia

Transformada de la exponencial

Transformada del coseno

Transformada del seno

Transformada de la rampa

Transformada de la rampa amortiguada

Transformada del coseno amortiguado

Transformada del seno amortiguado

Transformada del Delta de Dirac

A tabla siguiente ofrece un resumen del resto de las propiedades, junto con las ya mencionadas:

Ejemplos

Comparación entre la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier

A menudo se argumenta que la Transformada de Laplace es una herramienta excesivamente teórica y poco intuitiva, ya que implica una integración en el plano complejo y convierte una señal de variable real (el tiempo continuo) en una transformada de variable compleja (la variable s). Es decir, para representar la misma información es necesario utilizar dos variables en el dominio de Laplace, la parte real de s y la parte imaginaria de s, en lugar de solo una, tal y como se hace en el dominio temporal. A primera vista, no hay una razón evidente que justifique la necesidad de utilizar dos variables y ello hace que surjan alternativas para comprimir la redundancia que contiene la Transformada de Laplace y volverla a reducir a una sola dimensión. Una de estas alternativas se basa en la función exponencial e^st, que, como ya sabemos, presenta la propiedad de ser una autofunción de los sistemas LIT analógicos. Es decir, al excitar la entrada de un sistema analógico LIT de respuesta impulsional ℎ(𝑡) con la señal 𝑥(𝑡)= e^st, el sistema presenta una señal 𝑦(𝑡) a su salida dada por:

Dónde H(s)  es la función de transferencia del sistema. El resultado anterior muestra cómo la señal exponencial que hay en la entrada vuelve a aparecer en la salida acompañada de un factor de escala, dado por la función de transferencia, el cual resume el comportamiento del sistema en función de la variable compleja s.

De entre todas las posibles señales exponenciales, hay una de ellas que es de especial interés para nosotros y que no es otra que la señal exponencial compleja: esto es, e ^jωt, en donde se ha llevado a cambio el cambio de variable s=𝒋ω . Este cambio es interesante porque la señal exponencial compleja tiene un significado físico más tangible, al poder ser interpretada como un fasor en el plano complejo rotando a una velocidad angular constante ω, cuya proyección en los ejes real e imaginario da lugar a las funciones cos(ω𝒕) y sen(ω𝒕), respectivamente. Estas señales co/sinusoidales son fácilmente generables en un laboratorio y corresponden, haciendo un símil acústico, a tonos de frecuencia pura.

Esto hace que, de todo el plano complejo definido por la variable de Laplace s, en la práctica nos interese restringirnos al caso s=𝒋ω. Esta particularización no solo hace más intuitivo el análisis en el dominio transformado a partir del uso de exponenciales complejas, sino que, además, reduce la Transformada de Laplace a una nueva transformada de una sola variable, ω. Para más, ver: La Transformada de Fourier 

Referencias:

1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
2. Oppenheim – Señales y Sistemas
3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
4. TRANSFORMACION DE LAPLACE
5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
6. Transform Lap – Diagram Bloq
7. Ingeniería de control moderna – Ogata – 5a edición

Anexos

Tabla 1

Tabla 2

Tabla 3

Tabla 4

SIGUIENTE:

• Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab
• Transformada de Laplace del Pulso Rectangular

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