Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier – Definición y propiedades.

La Transformada de Fourier es un instrumento de gran valor para analizar las funciones no periódicas. Complementa de esta manera a la Serie de Fourier, que permite analizar sistemas donde están involucradas las funciones periódicas.

Es decir, mediante la Serie de Fourier podemos representar una señal periódica en términos de sus componentes sinusoidales, cada componente con una frecuencia en particular. La Transformada de Fourier permite hacer esto mismo con señales no periódicas.

Definición

Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en Serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral.

Sea f una función real definida en el dominio continuo, dígase f(t) definida en el dominio t. Entonces, la Transformada de Fourier (TF) se define como:

null

Se dice que una señal f(t) tiene Transformada de Fourier si la integral de la ecuación (1) converge (es decir, existe). La integral converge si f(t)  “se comporta bien” y si es completamente integrable; esta última condición significa que:

null

Todas las señales reales se comportan bien, y por tanto satisfacen la condición anterior. Es decir, la mayoría de las señales reales tiene TF. Sin embargo, el siguiente es un ejemplo de una señal que no tiene TF:

null

La señal de la ecuación (3) es bien conocida como señal de CD o señal constante. Y no tiene TF porque no es una señal real, es decir, ninguna señal que es diferente de cero todo el tiempo puede ser físicamente posible. Si sustituimos esta señal en la ecuación (1) podríamos comprobar que esta integral no converge sólo con observar que el área bajo la señal constante es infinita, por lo que dicha integral no tiene un valor finito. Más adelante, sin embargo, mostraremos que una señal constante si tiene TF en un sentido generalizado.

El par de Transformada de Fourier

Podemos definir dos integrales que se llaman el par de Transforma de Fourier:

null

Para que exista la TF de f(t), se debe cumplir que:

null

F(ω) es la transformada del espectro de f(t). De aquí vemos que f(t) está siendo analizada en un número finito de componentes de frecuencia con amplitud infinitesimal igual a:

null

Consideraciones sobre la Transformada de Fourier

1. En general F(ω)  es una función compleja, que transforma una señal dada en sus componentes exponenciales;

2. F(ω) se llama la Transformada de Fourier directa de f(t), y representa las amplitudes relativas de varias componentes de frecuencia, así F(ω)  es la representación de f(t) en el dominio de la frecuencia:

null

3. La representación en el tiempo de f(t) especifica una función a cada valor del tiempo, mientras que F(ω)  especifica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la señal, para cada valor de frecuencia.

4. Así, F(ω)  es una función compleja con la siguiente forma:

null

F(ω) es una función compleja que puede ser representada gráficamente por la magnitud null y la fase Θ(ω)  versus la frecuencia. De esta manera, la gráfica de null  se llama Espectro Continuo de Amplitud de f(t), y la gráfica de Θ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de f(t). El espectro se dice que es un espectro continuo, ya que ambos, el de amplitud y el de fase de F(ω) , son funciones continuas de la frecuencia ω. Esta representación gráfica de ambos espectros se conoce como El Espectro de Frecuencia. Notar la diferencia que existe entre este espectro continuo y el espectro discreto generado por la Serie de Fourier.

5. En muchos casos F(ω) es real o imaginario puro. Por lo cual sólo se necesita una sola gráfica ya que:

null

Propiedades de la Transformada de Fourier

La relación entre una señal y su Transformada de Fourier se denotará de la siguiente manera:null

Lo siguiente es un resumen de las propiedades más resaltantes de la TF:

null

null

null

null

null

null

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Laplace

La antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace podemos identificar la señal que corresponde a una señal exponencial, por ejemplo, en la siguiente tabla:

null

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descomponiendo la transformada como combinación lineal de términos, método conocido como Descomposición en fracciones simples. Suponga que tenemos una función con la siguiente estructura:

null

Los términos z y p son conocidos como ceros y polos de X(s), respectivamente.

1. En el caso de nm (función racional propia) y siendo los n polos simples, la descomposición que se puede hacer es de la forma:

null

Siendo k1, k2, …., kn, los residuos asociados  a cada polo. De esta forma reconocemos cada término como la transformada de una señal exponencial de la forma:

null

El residuo ki se puede evaluar mediante el siguiente algoritmo:

null

2. Si el polo p es complejo, irá acompañado de un polo complejo p*:

null

El residuo de estos polos será también complejo conjugado. Las antitranformadas de estos polos se combinan generando una sinusoide amortiguada:

null

Para una mejor discusión de este caso, ver: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Ejemplo 1

null

null

3. Si n=m, es decir, la transformada es una función racional impropia, antes de descomponer en fracciones simples haremos la división:

null

Ejemplo 2

null

SIGUIENTE:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID

Señales elementales en el tiempo continuo – Ejemplos y Simulación en Matlab

Las señales periódicas, exponenciales, escalón unitario y rampa unitaria, son algunas de las funciones del tiempo continuo más utilizadas para el análisis de sistemas en ingeniería. 

Una señal x(t) es una función con valor real o escalar de la variable de tiempo t, si para cualquier valor fijo de la variable t, el valor asumido por la señal en ese tiempo t es un número real. Cuando la variable t toma sus valores del conjunto de los números reales, se dice que t es una variable de tiempo continuo, y que la señal x(t) es una señal de tiempo continuo o una señal analógica.

Señales periódicas

Sea T un número real positivo fijo. Se dice que una señal continua x(t) es periódica con período T si se cumple que:

Si x(t)  es periódica con período T, entonces  también es periódica con período qT, donde q es cualquier entero positivo. El período fundamental T es el número más pequeño para el cual se cumple la ecuación (1).

La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. En la siguiente ecuación sinusoidal, A es la amplitud, ω es la frecuencia en radianes por segundo, y θ es la fase en radianes, aunque también suele expresarse en grados:

La frecuencia f  en Hertz, y el período T en rad/s, de la función en la ecuación(2) son:

Al aplicar trigonometría podemos constatar que la ecuación (2) cumple la condición de la ecuación (1), es decir, la función coseno es periódica:

La sinusoide de la Figura (1) representa el caso en que:

Figura 1.

Ejemplo y simulación de la Señal sinusoidal

La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. El caso de un circuito eléctrico es de relevante importancia. Los circuitos de corriente alterna tienen voltajes y corrientes sinusoidales. Suponga que se tiene el circuito de la Figura (2):

Figura 2. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).

Hemos calculado la corriente y el voltaje en este sistema en el artículo siguiente: La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico. La solución para el voltaje eo(t) es:

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:10;

>> x=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

El resultado se puede observar en la Figura (3):

null
Figura 3. Simulación en Matlab de e(t)=4.48cos(4t-0.7048)
Señales exponenciales

Las señales exponenciales son extremadamente importantes en el análisis de señales y sistemas, ya que ellas sirven como bloques fundamentales a partir de los cuales podemos construir muchas otras señales.

En la Figura (4) vemos el caso de una función exponencial ascendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.

Figura 4. Función exponencial ascendente

En la Figura (5) vemos el caso de una función exponencial descendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.

null
Figura 5. Función exponencial descendente.

Ejemplo y simulación de la Señal exponencial

La función exponencial también representa muchos procesos de la naturaleza, como por ejemplo, el crecimiento de una comunidad de bacterias. Es de gran utilidad la función exponencial para representar el caso de movimientos amortiguados en el campo de la mecánica. La Figura (6) muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador simple:

null
Figura 6. Sistema masa-resorte-amortiguador

La dinámica del sistema de la Figura (6) se describe mediante una sola ecuación diferencial:

null

En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.

La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:

null

Con el fin de utilizar el mismo código de Matlab utilizado en el ejemplo de la función sinusoidal, supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)

null
Figura 7. Movimiento armónico amortiguado

En la siguiente Figura vemos remarcada la influencia de la función exponencial de color naranja, denominada “envolvente”:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> y=5*exp(-0.1*t);

>> plot(t,x,t,y)

 

Figura 8. Función exponencial envolvente en color naranja.

Para mayor información en este tema ver: Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguado, función de transferencia.

Funciones escalón y rampa

Dos señales ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería son el escalón unitario u(t) y la función rampa unitaria r(t), mostradas en la Figura 9:

Figura 9.

En particular, para el análisis de sistemas, estas funciones son ideales. A veces es posible predecir el comportamiento de tales sistemas, o el tipo de entrada que tendrán que procesar con mayor frecuencia. Si se prevé que la entrada a un sistema será un cambio instantáneo, como por ejemplo una entrada al sistema de suspensión de un automóvil, lo más razonable es probar ese sistema con una entrada escalón unitario (step). Si por el contrario, esa entrada cambia proporcionalmente con el tiempo, el sistema debe probarse con una entrada rampa unitaria.

Ejemplo y simulación de la Señal Escalón Unitario

Ambas señales, escalón unitario y rampa unitaria, son ampliamente utilizadas en sistemas de control, porque permiten visualizar la respuesta transitoria del sistema y el error en estado estable.

Suponga que se solicita determinar la respuesta transitoria a una entrada escalón unitario, del siguiente Sistema mecánico rotacional:

Figura 10. Sistema mecánico rotacional..

Dónde:

Se sabe que la función de transferencia del sistema es la siguiente:

Determinar la respuesta transitoria implica determinar el valor de los siguientes parámetros:

  • Sobrepaso máximo, tiempo de levantamiento, tiempo de asentamiento, entre otros.

En Matlab, podemos responder esta  pregunta mediante el siguiente comando:

>> numg=1/J;

>> deng=[1   D/J   K/J];

>> G=tf(numg,deng)

G =

3.846

—————–

s^2 + 4 s + 19.23

>> stepinfo(G)

RiseTime (tiempo de levantamiento): 0.3554 s

SettlingTime (tiempo de asentamiento): 1.8989 s

Overshoot (Sobrepaso máximo): 19.9891 %

Peak: 0.2400

El analista obtiene una excelente representación gráfica de esta respuesta mediante:

>> step(G)

Figura 11. Respuesta transitoria a la entrada escalón unitario.

El diagrama siguiente esquema muestra lo que hemos hecho. Hemos colocado una función escalón unitario en la entrada del sistema que tiene la función de transferencia G(s) y hemos obtenido la respuesta mostrada a la salida:

Figura 12.

Para más información en este tema ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Análisis de sistemas de control, Circuit Analysis, Control System Analysis, Electrical Engineer, Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Time Domain

UNDERDAMPED SECOND-ORDER SYSTEM

We define two physically meaningful specifications for second-order systems: Natural Frequency (Wn) and Damping Ratio (ζ).

Introduction

Now that we have become familiar with second-order systems and their responses, we generalize the discussion and establish quantitative specifications defined in such a way that the response of a second-order system can be described to a designer without the need for sketching the response. We define two physically meaningful specifications for second-order systems. These quantities can be used to describe the characteristics of the second-order transient response just as time constants describe the first-order system response.

Natural Frequency, Wn

The natural frequency of a second-order system is the frequency of oscillation of the system without damping. For example, the frequency of oscillation of a series RLC circuit with the resistance shorted would be the natural frequency.

Damping Ratio,

We have already seen that a second-order system’s underdamped step response is characterized by damped oscillations. Our definition is derived from the need to quantitatively describe this damped oscillations regardless of the time scale.Thus, a system whose transient response goes through three cycles in a millisecond before reaching the steady state would have the same measure as a system that went through three cycles in a millennium before reaching the steady state. For example, the underdamped curve in Figure 4.10 has an associated measure that defines its shape. This measure remains the same even if we change the time base from seconds to microseconds or to millennia.

 A viable definition for this quantity is one that compares the exponential decay frequency of the envelope to the natural frequency. This ratio is constant regardless of the time scale of the response. Also, the reciprocal, which is proportional to the ratio of the natural period to the exponential time constant, remains the same regardless of the time base.

We define the damping ratio, , to be:

Consider the general system:

Without damping, the poles would be on the jw-axis, and the response would be an undamped sinusoid. For the poles to be purely imaginary, a = 0. Hence:

Assuming an underdamped system, the complex poles have a real part, , equal to -a/2. The magnitude of this value is then the exponential decay frequency described in Section 4.4. Hence,

from which

Our general second-order transfer function finally looks like this:

Now that we have defined and Wn, let us relate these quantities to the pole location. Solving for the poles of the transfer function in Eq. (4.22) yields:

From Eq. (4.24) we see that the various cases of second-order response:

Underdamped Second-Order System

Now that we have generalized the second-order transfer function in terms of and Wn, let us analyze the step response of an underdamped second-order system.

Not only will this response be found in terms of and Wn, but more specifications
indigenous to the underdamped case will be defined. The underdamped second order system, a common model for physical problems, displays unique behavior that
must be itemized; a detailed description of the underdamped response is necessary
for both analysis and design. Our first objective is to define transient specifications
associated with underdamped responses. Next we relate these specifications to the
pole location, drawing an association between pole location and the form of the
underdamped second-order response. Finally, we tie the pole location to system
parameters, thus closing the loop: Desired response generates required system
components.

Let us begin by finding the step response for the general second-order system of Eq. (4.22). The transform of the response, C(s), is the transform of the input times the transfer function, or:

where it is assumed that < 1 (the underdamped case). Expanding by partial fractions, using the methods described, yields:

Taking the inverse Laplace transform, which is left as an exercise for the student, produces:

where:

A plot of this response appears in Figure 4.13 for various values of , plotted along a time axis normalized to the natural frequency.

We now see the relationship between the value of and the type of response obtained: The lower the value of , the more oscillatory the response.

The natural frequency is a time-axis scale factor and does not affect the nature of the response other than to scale it in time.

Other parameters associated with the underdamped response are rise time, peak time, percent overshoot, and settling time. These specifications are defined as follows (see also Figure 4.14):

  1. Rise time, Tr. The time required for the waveform to go from 0.1 of the final value to 0.9 of the final value.
  2. Peak time, TP. The time required to reach the first, or maximum, peak.
  3. Percent overshoot, %OS. The amount that the waveform overshoots the steady-state, or final value at the peak time, expressed as a percentage of the steady-state value.
  4. Settling time, Ts. The time required for the transient’s damped oscillations to reach and stay within 2% of the steady-state value.

All definitions are also valid for systems of order higher than 2, although analytical expressions for these parameters cannot be found unless the response of the higher-order system can be approximated as a second-order system.

Rise time, peak time, and settling time yield information about the speed of the transient response. This information can help a designer determine if the speed and the nature of the response do or do not degrade the performance of the system.

For example, the speed of an entire computer system depends on the time it takes for a hard drive head to reach steady state and read data; passenger comfort depends in part on the suspension system of a car and the number of oscillations it goes through after hitting a bump.

Evaluation of Tp

Tp is found by differentiating c(t) in Eq. (4.28) and finding the first zero crossing after t = 0.

Evaluation of %OS.

From Figure 4.14 the percent overshoot, %OS, is given by:

 Evaluation of Ts

In order to find the settling time, we must find the time for which c(t) in Eq. (4.28) reaches and stays within ₎±2% of the steady-state value, C final.

 Evaluation of Tr

A precise analytical relationship between rise time and damping ratio cannot be found. However, using a computer and Eq. (4.28), the rise time can be found. Let us look at an example.

We now have expressions that relate peak time, percent overshoot, and settling time to the natural frequency and the damping ratio. Now let us relate these quantities to the location of the poles that generate these characteristics. The pole plot for a general, underdamped second-order system is reproduced in Figure 4.17.

Now, comparing Eqs. (4.34) and (4.42) with the pole location, we evaluate peak time and settling time in terms of the pole location. Thus:

where is the imaginary part of the pole and is called the damped frequency of oscillation, and is the magnitude of the real part of the pole and is the exponential damping frequency part.

At this point, we can understand the significance of Figure 4.18 by examining the actual step response of comparative systems. Depicted in Figure 4.19(a) are the step responses as the poles are moved in a vertical direction, keeping the real part the same. As the poles move in a vertical direction, the frequency increases, but the envelope remains the same since the real part of the pole is not changing.

Let us move the poles to the right or left. Since the imaginary part is now constant, movement of the poles yields the responses of Figure 4.19(b). Here the frequency is constant over the range of variation of the real part. As the poles move to the left, the response damps out more rapidly.

Moving the poles along a constant radial line yields the responses shown in Figure 4.19(c). Here the percent overshoot remains the same. Notice also that the responses look exactly alike, except for their speed. The farther the poles are from the origin, the more rapid the response.

Sources:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

 

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Sources:

Control Systems Engineering, Norman Nise

    1. Introduction Chapter 4 pp 162 (162)
    2. Poles and Zeros 4.1 pp 162 –
    3. First Order System 4.3 pp 165-168
    4. Second Order System 4.4 pp 168-177
    5. Underdamped Second-Order System 4.6 pp 177-186
  1. Modern_Control_Engineering__4t
    1. Introduction Chapter 5 pp 219 (232)
    2. First Order Systems 221 (234)-224
    3. Second Order System pp 224 (237)-234

Literature Review, Martes 14 noviembre 2017, 05:07 am – Caracas, Quito, Guayaquil.