Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Método gráfico de convolución – tiempo continuo

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución.

null

El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

null

Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

null

Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

null

Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

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Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

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Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Convolución en el tiempo continuo – ejemplos.

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

null

Para la convolución:

null

Cualquier entrada x(t) se puede representar como:

null

A partir de la ecuación (2) podemos pensar intuitivamente en cualquier señal x(t) como una “suma” de impulsos ponderados desplazados, donde el peso en el impulso δ(t-τ) es x(τ). Con esta interpretación, la ecuación (1) representa la superposición de las respuestas a cada una de estas entradas, y por linealidad, el peso en la respuesta hτ(t) al impulso desplazado también es x(τ). Definimos hτ(t)=h(t)  como la respuesta al impulso unitario .En este caso, la ecuación (1) se vuelve:

null

La ecuación (3) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) en términos de su respuesta al impulso unitario. La convolución de las señales x(t) y h(t) se representa simbólicamente mediante:

null

Un sistema LTI está absolutamente caracterizado por su respuesta al impulso unitario .

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

null

La operación de convolución es conmutativa, por lo que:

null

Si las dos señales x(t) y v(t) son cero para toda t<0:

null

Sea h(t)  la respuesta al impulso de un sistema LTI cuya salida es y(t).  Si es la entrada a dicho sistema, y x(t)=0 para t<0, entonces la salida y(t) la viene dada por:

null

Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LTI, y(t) = h(t).

Método gráfico de la convolución.

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución. El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

null

Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

null

Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

null

Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
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  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
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Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

Transformada de Fourier de señales importantes – Matlab (Gráfica) – Ejemplos

  • Consideramos ahora la señal exponencial:

null

Donde b es una constante real, y U(t) es un escalón unitario. Tomar en cuenta que x(t)= U(t) cuando b=0. Para cualquier valor de b, la transformada de Fourier X(ω) de x(t) está dada por:

null

Debido a que:

null

La ecuación (1) queda expresada como:

null

Es decir:

null

Obtenemos:

null

null

La gráfica de  se llama Espectro Continuo de Amplitud de x(t), y la gráfica de  se llama Espectro Continuo de Fase de x(t):

null

null

Ambas gráficas pueden generarse mediante el siguiente comando en Matlab:

>> w=0:0.2:50;
>> b=10;
>> X=1./(b+j*w);
>> subplot(211), plot (w,abs(X));%gráfica de magnitud de X
>> subplot(212), plot (w,angle(X));%gráfica del ángulo de X

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

The Fourier Transform – Definition and properties.

The Fourier Transform is a valuable instrument to analyze non-periodic functions. In this way, it complements the Fourier Series, which allows analyzing systems where periodic functions are involved.

That is, through the Fourier Series we can represent a periodic signal in terms of its sinusoidal components, each component with a particular frequency. The Fourier Transform allows you to do the same with non-periodic signals.

Definition

Fourier reasoned that an aperiodic signal can be considered as a periodic signal with an infinite period. More precisely, in the Fourier Series representation of a periodic signal, as the period increases, the fundamental frequency decreases and the harmonically related components become closer to the frequency. As the period becomes infinite, the frequency components form a continuum and the sum of the Fourier series becomes an integral.

Let f be a real function defined in the continuous domain, say f(t) defined in the t domain. Then, The Fourier Transform (FT) is defined as:

null

It is said that a signal f(t) has a Fourier Transform if the integral of equation (1) converges (that is, it exists). The integral converges if f(t) “behaves well” and is fully integrable; this last condition means that:

null

All real signals behave well, and therefore satisfy the previous condition. That is, most of the real signals have FT. However, the following is an example of a signal that does not have FT:

null

The signal of equation (3) is well known as a CD signal or constant signal. And it has no FT because it is not a real signal, that is, no signal that is different from zero all the time can be physically possible. If we substitute this signal in equation (1) we could verify that this integral does not converge just by observing that the area under the constant signal is infinite, so that integral does not have a finite value. Later, however, we will show that a constant signal does have FT in a generalized sense.

The Fourier Transform Pair

We can define two integrals called the Fourier Transform pair:

null

For the TF of f(t) to exist, it must be fulfilled that:

null

F(ω) is the transform of the spectrum of f(t). From here we see that f(t) is being analyzed in a finite number of frequency components with infinitesimal amplitude equal to:

null

Fourier Transform Considerations

1. In general F(ω) is a complex function, which transforms a given signal into its exponential components;

2. F(ω) is called the Direct Fourier Transform of f(t), and represents the relative amplitudes of several frequency components, so F(ω) is the representation of f(t) in the frequency domain:

null

3. The time representation of f(t) specifies a function at each time value, while F(ω) specifies the relative amplitudes of the frequency components of the signal, for each frequency value.

4. Thus, F(ω) is a complex function with the following form

null

F(ω) is a complex function that can be represented graphically by the magnitude null and phase Θ(ω) versus frequency. In this way, the graph of null is called Continuous Spectrum of Amplitude of f(t), and the graph of Θ(ω) is called Continuous Spectrum of Phase of f(t). The spectrum is said to be a continuous spectrum, since both the amplitude and the phase of F(ω) are continuous functions of the frequency ω. This graphic representation of both spectra is known as the Frequency Spectrum. Note the difference between this continuous spectrum and the discrete spectrum generated by the Fourier Series

5. In many cases F(ω) is real or imaginary pure. Therefore, only one graph is needed since:

null

Fourier Transform Properties

The relationship between a signal and its Fourier Transform will be denoted as follows:

null

The following is a summary of the most prominent properties of the TF:

null

null

null

null

null

null

null

Sources:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier – Definición y propiedades.

La Transformada de Fourier es un instrumento de gran valor para analizar las funciones no periódicas. Complementa de esta manera a la Serie de Fourier, que permite analizar sistemas donde están involucradas las funciones periódicas.

Es decir, mediante la Serie de Fourier podemos representar una señal periódica en términos de sus componentes sinusoidales, cada componente con una frecuencia en particular. La Transformada de Fourier permite hacer esto mismo con señales no periódicas.

Definición

Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en Serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral.

Sea f una función real definida en el dominio continuo, dígase f(t) definida en el dominio t. Entonces, la Transformada de Fourier (TF) se define como:

null

Se dice que una señal f(t) tiene Transformada de Fourier si la integral de la ecuación (1) converge (es decir, existe). La integral converge si f(t)  “se comporta bien” y si es completamente integrable; esta última condición significa que:

null

Todas las señales reales se comportan bien, y por tanto satisfacen la condición anterior. Es decir, la mayoría de las señales reales tiene TF. Sin embargo, el siguiente es un ejemplo de una señal que no tiene TF:

null

La señal de la ecuación (3) es bien conocida como señal de CD o señal constante. Y no tiene TF porque no es una señal real, es decir, ninguna señal que es diferente de cero todo el tiempo puede ser físicamente posible. Si sustituimos esta señal en la ecuación (1) podríamos comprobar que esta integral no converge sólo con observar que el área bajo la señal constante es infinita, por lo que dicha integral no tiene un valor finito. Más adelante, sin embargo, mostraremos que una señal constante si tiene TF en un sentido generalizado.

El par de Transformada de Fourier

Podemos definir dos integrales que se llaman el par de Transforma de Fourier:

null

Para que exista la TF de f(t), se debe cumplir que:

null

F(ω) es la transformada del espectro de f(t). De aquí vemos que f(t) está siendo analizada en un número finito de componentes de frecuencia con amplitud infinitesimal igual a:

null

Consideraciones sobre la Transformada de Fourier

1. En general F(ω)  es una función compleja, que transforma una señal dada en sus componentes exponenciales;

2. F(ω) se llama la Transformada de Fourier directa de f(t), y representa las amplitudes relativas de varias componentes de frecuencia, así F(ω)  es la representación de f(t) en el dominio de la frecuencia:

null

3. La representación en el tiempo de f(t) especifica una función a cada valor del tiempo, mientras que F(ω)  especifica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la señal, para cada valor de frecuencia.

4. Así, F(ω)  es una función compleja con la siguiente forma:

null

F(ω) es una función compleja que puede ser representada gráficamente por la magnitud null y la fase Θ(ω)  versus la frecuencia. De esta manera, la gráfica de null  se llama Espectro Continuo de Amplitud de f(t), y la gráfica de Θ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de f(t). El espectro se dice que es un espectro continuo, ya que ambos, el de amplitud y el de fase de F(ω) , son funciones continuas de la frecuencia ω. Esta representación gráfica de ambos espectros se conoce como El Espectro de Frecuencia. Notar la diferencia que existe entre este espectro continuo y el espectro discreto generado por la Serie de Fourier.

5. En muchos casos F(ω) es real o imaginario puro. Por lo cual sólo se necesita una sola gráfica ya que:

null

Propiedades de la Transformada de Fourier

La relación entre una señal y su Transformada de Fourier se denotará de la siguiente manera:null

Lo siguiente es un resumen de las propiedades más resaltantes de la TF:

null

null

null

null

null

null

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Transformada de Laplace

Ejemplo de antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace (o antitransformada) podemos identificar la señal que corresponde en la tabla 1:

null
Tabla 1.

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descompondremos la transformada como combinación lineal de términos (descomposición en fracciones simples), cada uno de los cuales aparezca en la tabla 1. En el caso de que en las fracciones simples aparezcan polos complejos, se recomienda aplicar el siguiente procedimiento, en el cual se utiliza la fórmula de Euler para el coseno:

null

Ejemplo

Un ejemplo de F(s) con raíces complejas en el denominador es:

null

Descomponemos en fracciones simples:

null

Calculamos el valor de cada constante k:

null

null

null

null

Sustituimos estos valores en X(s) y aplicamos la antitransformada utilizando la línea en rojo de la Tabla 1, la exponencial. Factorizamos hasta donde sea posible:

null

Debido a que:nullObtenemos:

null

Por tanto:

null

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Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

Puedes consultar también:

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La antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace podemos identificar la señal que corresponde a una señal exponencial, por ejemplo, en la siguiente tabla:

null

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descomponiendo la transformada como combinación lineal de términos, método conocido como Descomposición en fracciones simples. Suponga que tenemos una función con la siguiente estructura:

null

Los términos z y p son conocidos como ceros y polos de X(s), respectivamente.

1. En el caso de nm (función racional propia) y siendo los n polos simples, la descomposición que se puede hacer es de la forma:

null

Siendo k1, k2, …., kn, los residuos asociados  a cada polo. De esta forma reconocemos cada término como la transformada de una señal exponencial de la forma:

null

El residuo ki se puede evaluar mediante el siguiente algoritmo:

null

2. Si el polo p es complejo, irá acompañado de un polo complejo p*:

null

El residuo de estos polos será también complejo conjugado. Las antitranformadas de estos polos se combinan generando una sinusoide amortiguada:

null

Para una mejor discusión de este caso, ver: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Ejemplo 1

null

null

3. Si n=m, es decir, la transformada es una función racional impropia, antes de descomponer en fracciones simples haremos la división:

null

Ejemplo 2

null

SIGUIENTE:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

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Señales elementales en el tiempo continuo – Ejemplos y Simulación en Matlab

Las señales periódicas, exponenciales, escalón unitario y rampa unitaria, son algunas de las funciones del tiempo continuo más utilizadas para el análisis de sistemas en ingeniería. 

Una señal x(t) es una función con valor real o escalar de la variable de tiempo t, si para cualquier valor fijo de la variable t, el valor asumido por la señal en ese tiempo t es un número real. Cuando la variable t toma sus valores del conjunto de los números reales, se dice que t es una variable de tiempo continuo, y que la señal x(t) es una señal de tiempo continuo o una señal analógica.

Señales periódicas

Sea T un número real positivo fijo. Se dice que una señal continua x(t) es periódica con período T si se cumple que:

Si x(t)  es periódica con período T, entonces  también es periódica con período qT, donde q es cualquier entero positivo. El período fundamental T es el número más pequeño para el cual se cumple la ecuación (1).

La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. En la siguiente ecuación sinusoidal, A es la amplitud, ω es la frecuencia en radianes por segundo, y θ es la fase en radianes, aunque también suele expresarse en grados:

La frecuencia f  en Hertz, y el período T en rad/s, de la función en la ecuación(2) son:

Al aplicar trigonometría podemos constatar que la ecuación (2) cumple la condición de la ecuación (1), es decir, la función coseno es periódica:

La sinusoide de la Figura (1) representa el caso en que:

Figura 1.

Ejemplo y simulación de la Señal sinusoidal

La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. El caso de un circuito eléctrico es de relevante importancia. Los circuitos de corriente alterna tienen voltajes y corrientes sinusoidales. Suponga que se tiene el circuito de la Figura (2):

Figura 2. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).

Hemos calculado la corriente y el voltaje en este sistema en el artículo siguiente: La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico. La solución para el voltaje eo(t) es:

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:10;

>> x=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

El resultado se puede observar en la Figura (3):

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Figura 3. Simulación en Matlab de e(t)=4.48cos(4t-0.7048)
Señales exponenciales

Las señales exponenciales son extremadamente importantes en el análisis de señales y sistemas, ya que ellas sirven como bloques fundamentales a partir de los cuales podemos construir muchas otras señales.

En la Figura (4) vemos el caso de una función exponencial ascendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.

Figura 4. Función exponencial ascendente

En la Figura (5) vemos el caso de una función exponencial descendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.

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Figura 5. Función exponencial descendente.

Ejemplo y simulación de la Señal exponencial

La función exponencial también representa muchos procesos de la naturaleza, como por ejemplo, el crecimiento de una comunidad de bacterias. Es de gran utilidad la función exponencial para representar el caso de movimientos amortiguados en el campo de la mecánica. La Figura (6) muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador simple:

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Figura 6. Sistema masa-resorte-amortiguador

La dinámica del sistema de la Figura (6) se describe mediante una sola ecuación diferencial:

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En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.

La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:

null

Con el fin de utilizar el mismo código de Matlab utilizado en el ejemplo de la función sinusoidal, supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)

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Figura 7. Movimiento armónico amortiguado

En la siguiente Figura vemos remarcada la influencia de la función exponencial de color naranja, denominada “envolvente”:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> y=5*exp(-0.1*t);

>> plot(t,x,t,y)

 

Figura 8. Función exponencial envolvente en color naranja.

Para mayor información en este tema ver: Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguado, función de transferencia.

Funciones escalón y rampa

Dos señales ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería son el escalón unitario u(t) y la función rampa unitaria r(t), mostradas en la Figura 9:

Figura 9.

En particular, para el análisis de sistemas, estas funciones son ideales. A veces es posible predecir el comportamiento de tales sistemas, o el tipo de entrada que tendrán que procesar con mayor frecuencia. Si se prevé que la entrada a un sistema será un cambio instantáneo, como por ejemplo una entrada al sistema de suspensión de un automóvil, lo más razonable es probar ese sistema con una entrada escalón unitario (step). Si por el contrario, esa entrada cambia proporcionalmente con el tiempo, el sistema debe probarse con una entrada rampa unitaria.

Ejemplo y simulación de la Señal Escalón Unitario

Ambas señales, escalón unitario y rampa unitaria, son ampliamente utilizadas en sistemas de control, porque permiten visualizar la respuesta transitoria del sistema y el error en estado estable.

Suponga que se solicita determinar la respuesta transitoria a una entrada escalón unitario, del siguiente Sistema mecánico rotacional:

Figura 10. Sistema mecánico rotacional..

Dónde:

Se sabe que la función de transferencia del sistema es la siguiente:

Determinar la respuesta transitoria implica determinar el valor de los siguientes parámetros:

  • Sobrepaso máximo, tiempo de levantamiento, tiempo de asentamiento, entre otros.

En Matlab, podemos responder esta  pregunta mediante el siguiente comando:

>> numg=1/J;

>> deng=[1   D/J   K/J];

>> G=tf(numg,deng)

G =

3.846

—————–

s^2 + 4 s + 19.23

>> stepinfo(G)

RiseTime (tiempo de levantamiento): 0.3554 s

SettlingTime (tiempo de asentamiento): 1.8989 s

Overshoot (Sobrepaso máximo): 19.9891 %

Peak: 0.2400

El analista obtiene una excelente representación gráfica de esta respuesta mediante:

>> step(G)

Figura 11. Respuesta transitoria a la entrada escalón unitario.

El diagrama siguiente esquema muestra lo que hemos hecho. Hemos colocado una función escalón unitario en la entrada del sistema que tiene la función de transferencia G(s) y hemos obtenido la respuesta mostrada a la salida:

Figura 12.

Para más información en este tema ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Análisis de sistemas de control, Señales y Sistemas

La Función de Transferencia

La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo t=0 :Dónde:Observación: La Función de Transferencia sólo se expresa como una función de la variable compleja s. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero.

Observación: Conociendo la Función de Transferencia H(s) de un sistema, podemos conocer la salida y(t) en el dominio del tiempo para cualquier entrada x(t), aplicando los siguientes pasos:

Veremos un par de comandos en Matlab que ilustran este importante resultado.

Observación: La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.

Observación: La Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.

Observación: La Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.

Observación: La Función de Transferencia H(s) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como h(t), entonces:

La Función de Transferencia se obtiene a partir  de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema.  Se hace uso intensivo de la propiedad de La Transformada de Laplace definida como “derivación n-ésima de una función en el dominio del tiempo”. Dicha propiedad sirve de fundamento para el método que permite separar algebraicamente la salida de la entrada, y obtener la Función de Transferencia.

Ejemplo.

Hallar la Función de Transferencia X(s)/P(s) del siguiente sistema mecánico:

Para obtener la ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico de este sistema, aplicamos la Ley de Newton:

Suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, y que se trata de un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo (LTI), aplicamos superposición y determinamos las fuerzas que actúan sobre la masa m, así obtenemos:

Esta es la ecuación diferencial del sistema, su modelo matemático. Por ser un sistema LTI, los coeficientes de la ecuación son constantes. Se procede ahora a aplicar la Transformada de Laplace a esta ecuación. Sabemos de La Transformada de Laplace que la manera más práctica es actuar sobre cada término de la ecuación por separado:

Así la ecuación del sistema luego de aplicarle Laplace es:

que podemos expresar como:

con el fin de despejar y obtener la Función de Transferencia del sistema:

La Función de Transferencia y el Diagrama de Bloques.

La Función de Transferencia permite representar un sistema mediante una herramienta gráfica que muestra el flujo de información a través de todos los componentes del mismo: El diagrama de bloques.

Ver :

 

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sin categoría, Transformada de Laplace

Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

En general, La Transformada de Laplace de una función x(t) es:

Considere la señal exponencial x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Cálculo de la Transformada de Laplace en Matlab 

Continuando con el caso x(t):

Symbolic Math Toolbox de Matlab calcula la Transformada de Laplace mediante el siguiente comando:

>> syms x a t
>> x=exp(-a*t);
>> X=laplace(x)

X =

1/(a + s)

De igual manera podemos calcular Laplace para la función escalón unitario mediante:

>> x=sym(1);
>> X=laplace(x)

X =

1/s

Teniendo la Transformada de Laplace X(s) podemos aplicar la antitransformada para obtener su equivalente en el dominio del tiempo:

>> X=1/(a + s)

>> x=ilaplace(X)

x =

exp(-a*t)

Por poner un caso más complicado, considere el siguiente ejemplo:

>> syms X s x
>> X=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s);

>> x=ilaplace(X)

x =

2/3 – exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2

Además puedo graficar este resultado mediante:

>> ezplot(x,[0,10])

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas

ANTERIOR: La Transformada de Laplace

Te puede interesar:

  1. Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador
  2. Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico
  3. Ejemplo 1 – Función de transferencia de un sistema de nivel de líquidos

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