Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

Serie de Fourier exponencial compleja – ejemplos

Las transformaciones de la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier convierten las señales en el dominio del tiempo en representaciones en el dominio de la frecuencia (o espectrales). El análisis de Fourier es esencial para describir ciertos tipos de sistemas y sus propiedades en el dominio de la frecuencia.

Representación en serie de Fourier de señales periódicas

Una señal x(t) de tiempo continuo es periódica si existe un valor positivo T distinto de cero para el cual se cumple que:

null

Para toda t. Dos ejemplos clásicos son la señal sinusoidal real y la exponencial compleja:

null

Representación en serie de Fourier exponencial compleja

La representación de la serie de Fourier exponencial compleja de una señal periódica con período fundamental To está dada por:

null

Para calcular los coeficientes ck se utilizan los intervalos 0 hasta To ó To /2 hasta To /2  para la integración. Al establecer k=0, obtenemos:

null

Lo cual indica que el coeficiente c0 es igual al valor promedio de x(t) sobre un período.

Ejemplos: 

Determine la representación de la serie de Fourier exponencial compleja para cada una de las siguientes señales:

  1. null

La fórmula de Euler establece que:nullPor tanto:

null

De donde:

null

  1. null

null

null

3. null

null

null

null

  1. null

La suma de dos señales periódicas con  períodos T1 y T2, es periódica sólo si la razón de sus períodos respectivos se puede expresar como un número racional:

null

Entonces, el período fundamental es el mínimo común múltiplo de T1 y T2, está dado por la ecuación:nullEn el ejemplo 4:

null

null

null

null

5. null

Por medio de la identidad trigonométrica podemos escribir que:

null

x1(t) es periódica, con período arbitrario, y x2(t)  es periódica con período :

En construcción…

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Señales y Sistemas

Respuesta de circuito RC para una entrada onda cuadrada

Problema 1. Se debe analizar el comportamiento del circuito de la Figura 1, para los valores R y C indicados en la Figura. El generador de onda cuadrada de la Figura 2 tiene una frecuencia de 1 KHz y oscila entre 10 V y 0V. El análisis incluye la resolución analítica de la tensión del condensador durante 1 período de la señal del generador.

null

Figura 1

null

Figura 2

Respuesta:

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Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – RC

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2. En el circuito de la Figura 3, el interruptor se abre en t=0. Se debe analizar el comportamiento del circuito para diferentes valores de la resistencia R. Este análisis incluye la resolución analítica de la corriente de la bobina.

null

Figura 3

Respuesta:

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Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – RLC

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Respuesta:

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Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – Guía completa

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Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Convolución de una señal LTI con su respuesta al impulso – Ejemplo con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
  2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

La salida y1(t) puede ser determinada mediante la siguiente convolución:

null

La función x1(t) es un pulso triangular de 4 segundos de ancho, 2 unidades de altura, centrado en t=2s, que puede representarse de la manera siguiente:

null

La gráfica para x1(t) en el tiempo 0≤t<4 en Matlab se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> x1=2*tripuls(t-2,4);

>> plot(t,x1)

null

Por su parte, h(t) es un pulso rectangular unitario de ancho a. El objetivo es darle diferentes valores al parámetro a para aplicar la ecuación (1) y determinar el valor de a para el cual el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s.

La gráfica de h(t) para a=1, que denominaremos h1(t), se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h1=rectpuls(t,2);

>> plot(t,h1)

null

La convolución de x1(t) y h1(t), genera la salida y11(t)  para a=1. Continuando con los comandos en Matlab utilizados para generar las gráficas anteriores, y11(t)  se puede obtener en mediante:

>> y11=conv(x1,h1)

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y11)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=2,5s.

La gráfica para h2(t), es decir a=2, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h2=rectpuls(t,4);

>> plot(t,h2)

null

La convolución de x1(t) y h2(t), genera la salida y12(t)  para a=2. y12(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y12=conv(x1,h2);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y12)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=3s.

La gráfica para h3(t), es decir a=3, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h3=rectpuls(t,6);

>> plot(t,h3)

null

La convolución de x1(t) y h3(t), genera la salida y13(t)  para a=3. y13(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y13=conv(x1,h3);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y13)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=3.5s.

La gráfica para h4(t), es decir a=4, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h4=rectpuls(t,8);

>> plot(t,h4)

null

La convolución de x1(t) y h4(t), genera la salida y14(t)  para a=4. y14(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y14=conv(x1,h4);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y14)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=4s.

Conclusión:

El valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s cuando el valor de a es 2 (a=2).

Utilizando el mismo procedimiento, podemos determinar que asignando un valor para a=8, el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=6s.

null

t=0:0.1:8;

h5=rectpuls(t,16);

plot(t,h5)

y15=conv(x1,h5);

t=0:0.1:12;

plot(t,y15)

Método gráfico

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

null

null

null

Te puede interesar:

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Método gráfico de convolución – tiempo continuo

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución.

null

El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

null

Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

null

Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

null

Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

null

Método de convolución con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
  2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

Para ver solución visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

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Convolución en el tiempo continuo – ejemplos.

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

null

Para la convolución:

null

Cualquier entrada x(t) se puede representar como:

null

A partir de la ecuación (2) podemos pensar intuitivamente en cualquier señal x(t) como una “suma” de impulsos ponderados desplazados, donde el peso en el impulso δ(t-τ) es x(τ). Con esta interpretación, la ecuación (1) representa la superposición de las respuestas a cada una de estas entradas, y por linealidad, el peso en la respuesta hτ(t) al impulso desplazado también es x(τ). Definimos hτ(t)=h(t)  como la respuesta al impulso unitario .En este caso, la ecuación (1) se vuelve:

null

La ecuación (3) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) en términos de su respuesta al impulso unitario. La convolución de las señales x(t) y h(t) se representa simbólicamente mediante:

null

Un sistema LTI está absolutamente caracterizado por su respuesta al impulso unitario .

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

null

La operación de convolución es conmutativa, por lo que:

null

Si las dos señales x(t) y v(t) son cero para toda t<0:

null

Sea h(t)  la respuesta al impulso de un sistema LTI cuya salida es y(t).  Si es la entrada a dicho sistema, y x(t)=0 para t<0, entonces la salida y(t) la viene dada por:

null

Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LTI, y(t) = h(t).

Método gráfico de la convolución.

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución. El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

null

Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

null

Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

null

Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

null

Método de convolución gráfica y con Matlab.

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

null

null

null

Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

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Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

Transformada de Fourier de señales importantes – Matlab (Gráfica) – Ejemplos

  • Consideramos ahora la señal exponencial:

null

Donde b es una constante real, y U(t) es un escalón unitario. Tomar en cuenta que x(t)= U(t) cuando b=0. Para cualquier valor de b, la transformada de Fourier X(ω) de x(t) está dada por:

null

Debido a que:

null

La ecuación (1) queda expresada como:

null

Es decir:

null

Obtenemos:

null

null

La gráfica de x(ω) se llama Espectro Continuo de Amplitud de x(t), y la gráfica de xθ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de x(t):

null

null

Ambas gráficas pueden generarse mediante el siguiente comando en Matlab:

>> w=0:0.2:50;
>> b=10;
>> X=1./(b+j*w);
>> subplot(211), plot (w,abs(X));%gráfica de magnitud de X
>> subplot(212), plot (w,angle(X));%gráfica del ángulo de X

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

The Fourier Transform – Definition and properties.

The Fourier Transform is a valuable instrument to analyze non-periodic functions. In this way, it complements the Fourier Series, which allows analyzing systems where periodic functions are involved.

That is, through the Fourier Series we can represent a periodic signal in terms of its sinusoidal components, each component with a particular frequency. The Fourier Transform allows you to do the same with non-periodic signals.

Definition

Fourier reasoned that an aperiodic signal can be considered as a periodic signal with an infinite period. More precisely, in the Fourier Series representation of a periodic signal, as the period increases, the fundamental frequency decreases and the harmonically related components become closer to the frequency. As the period becomes infinite, the frequency components form a continuum and the sum of the Fourier series becomes an integral.

Let f be a real function defined in the continuous domain, say f(t) defined in the t domain. Then, The Fourier Transform (FT) is defined as:

null

It is said that a signal f(t) has a Fourier Transform if the integral of equation (1) converges (that is, it exists). The integral converges if f(t) “behaves well” and is fully integrable; this last condition means that:

null

All real signals behave well, and therefore satisfy the previous condition. That is, most of the real signals have FT. However, the following is an example of a signal that does not have FT:

null

The signal of equation (3) is well known as a CD signal or constant signal. And it has no FT because it is not a real signal, that is, no signal that is different from zero all the time can be physically possible. If we substitute this signal in equation (1) we could verify that this integral does not converge just by observing that the area under the constant signal is infinite, so that integral does not have a finite value. Later, however, we will show that a constant signal does have FT in a generalized sense.

The Fourier Transform Pair

We can define two integrals called the Fourier Transform pair:

null

For the TF of f(t) to exist, it must be fulfilled that:

null

F(ω) is the transform of the spectrum of f(t). From here we see that f(t) is being analyzed in a finite number of frequency components with infinitesimal amplitude equal to:

null

Fourier Transform Considerations

1. In general F(ω) is a complex function, which transforms a given signal into its exponential components;

2. F(ω) is called the Direct Fourier Transform of f(t), and represents the relative amplitudes of several frequency components, so F(ω) is the representation of f(t) in the frequency domain:

null

3. The time representation of f(t) specifies a function at each time value, while F(ω) specifies the relative amplitudes of the frequency components of the signal, for each frequency value.

4. Thus, F(ω) is a complex function with the following form

null

F(ω) is a complex function that can be represented graphically by the magnitude null and phase Θ(ω) versus frequency. In this way, the graph of null is called Continuous Spectrum of Amplitude of f(t), and the graph of Θ(ω) is called Continuous Spectrum of Phase of f(t). The spectrum is said to be a continuous spectrum, since both the amplitude and the phase of F(ω) are continuous functions of the frequency ω. This graphic representation of both spectra is known as the Frequency Spectrum. Note the difference between this continuous spectrum and the discrete spectrum generated by the Fourier Series

5. In many cases F(ω) is real or imaginary pure. Therefore, only one graph is needed since:

null

Fourier Transform Properties

The relationship between a signal and its Fourier Transform will be denoted as follows:

null

The following is a summary of the most prominent properties of the TF:

null

null

null

null

null

null

null

Sources:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier – Definición y propiedades.

La Transformada de Fourier es un instrumento de gran valor para analizar las funciones no periódicas. Complementa de esta manera a la Serie de Fourier, que permite analizar sistemas donde están involucradas las funciones periódicas.

Es decir, mediante la Serie de Fourier podemos representar una señal periódica en términos de sus componentes sinusoidales, cada componente con una frecuencia en particular. La Transformada de Fourier permite hacer esto mismo con señales no periódicas.

Definición

Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en Serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral.

Sea f una función real definida en el dominio continuo, dígase f(t) definida en el dominio t. Entonces, la Transformada de Fourier (TF) se define como:

null

Se dice que una señal f(t) tiene Transformada de Fourier si la integral de la ecuación (1) converge (es decir, existe). La integral converge si f(t)  “se comporta bien” y si es completamente integrable; esta última condición significa que:

null

Todas las señales reales se comportan bien, y por tanto satisfacen la condición anterior. Es decir, la mayoría de las señales reales tiene TF. Sin embargo, el siguiente es un ejemplo de una señal que no tiene TF:

null

La señal de la ecuación (3) es bien conocida como señal de CD o señal constante. Y no tiene TF porque no es una señal real, es decir, ninguna señal que es diferente de cero todo el tiempo puede ser físicamente posible. Si sustituimos esta señal en la ecuación (1) podríamos comprobar que esta integral no converge sólo con observar que el área bajo la señal constante es infinita, por lo que dicha integral no tiene un valor finito. Más adelante, sin embargo, mostraremos que una señal constante si tiene TF en un sentido generalizado.

El par de Transformada de Fourier

Podemos definir dos integrales que se llaman el par de Transforma de Fourier:

null

Para que exista la TF de f(t), se debe cumplir que:

null

F(ω) es la transformada del espectro de f(t). De aquí vemos que f(t) está siendo analizada en un número finito de componentes de frecuencia con amplitud infinitesimal igual a:

null

Consideraciones sobre la Transformada de Fourier

1. En general F(ω)  es una función compleja, que transforma una señal dada en sus componentes exponenciales;

2. F(ω) se llama la Transformada de Fourier directa de f(t), y representa las amplitudes relativas de varias componentes de frecuencia, así F(ω)  es la representación de f(t) en el dominio de la frecuencia:

null

3. La representación en el tiempo de f(t) especifica una función a cada valor del tiempo, mientras que F(ω)  especifica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la señal, para cada valor de frecuencia.

4. Así, F(ω)  es una función compleja con la siguiente forma:

null

F(ω) es una función compleja que puede ser representada gráficamente por la magnitud null y la fase Θ(ω)  versus la frecuencia. De esta manera, la gráfica de null  se llama Espectro Continuo de Amplitud de f(t), y la gráfica de Θ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de f(t). El espectro se dice que es un espectro continuo, ya que ambos, el de amplitud y el de fase de F(ω) , son funciones continuas de la frecuencia ω. Esta representación gráfica de ambos espectros se conoce como El Espectro de Frecuencia. Notar la diferencia que existe entre este espectro continuo y el espectro discreto generado por la Serie de Fourier.

5. En muchos casos F(ω) es real o imaginario puro. Por lo cual sólo se necesita una sola gráfica ya que:

null

Propiedades de la Transformada de Fourier

La relación entre una señal y su Transformada de Fourier se denotará de la siguiente manera:null

Lo siguiente es un resumen de las propiedades más resaltantes de la TF:

null

null

null

null

null

null

null

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Transformada de Laplace

Ejemplo de antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace (o antitransformada) podemos identificar la señal que corresponde en la tabla 1:

null
Tabla 1.

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descompondremos la transformada como combinación lineal de términos (descomposición en fracciones simples), cada uno de los cuales aparezca en la tabla 1. En el caso de que en las fracciones simples aparezcan polos complejos, se recomienda aplicar el siguiente procedimiento, en el cual se utiliza la fórmula de Euler para el coseno:

null

Ejemplo

Un ejemplo de F(s) con raíces complejas en el denominador es:

null

Descomponemos en fracciones simples:

null

Calculamos el valor de cada constante k:

null

null

null

null

Sustituimos estos valores en X(s) y aplicamos la antitransformada utilizando la línea en rojo de la Tabla 1, la exponencial. Factorizamos hasta donde sea posible:

null

Debido a que:nullObtenemos:

null

Por tanto:

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Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

Puedes consultar también:

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Laplace

La antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace podemos identificar la señal que corresponde a una señal exponencial, por ejemplo, en la siguiente tabla:

null

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descomponiendo la transformada como combinación lineal de términos, método conocido como Descomposición en fracciones simples. Suponga que tenemos una función con la siguiente estructura:

null

Los términos z y p son conocidos como ceros y polos de X(s), respectivamente.

1. En el caso de nm (función racional propia) y siendo los n polos simples, la descomposición que se puede hacer es de la forma:

null

Siendo k1, k2, …., kn, los residuos asociados  a cada polo. De esta forma reconocemos cada término como la transformada de una señal exponencial de la forma:

null

El residuo ki se puede evaluar mediante el siguiente algoritmo:

null

2. Si el polo p es complejo, irá acompañado de un polo complejo p*:

null

El residuo de estos polos será también complejo conjugado. Las antitranformadas de estos polos se combinan generando una sinusoide amortiguada:

null

Para una mejor discusión de este caso, ver: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Ejemplo 1

null

null

3. Si n=m, es decir, la transformada es una función racional impropia, antes de descomponer en fracciones simples haremos la división:

null

Ejemplo 2

null

SIGUIENTE:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
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  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

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