Matemática aplicada - Appd Math, Sin categoría

Proceso aleatorio y estocástico

Un proceso ergódico debe ser estacionario, dado que sería imposible estimar una f.d.p. variante en el tiempo a partir de una única realización.

Dado que la idea subyacente del procesado de señales estocásticas es conocer algunos detalles acerca de la f.d.p. que define dicho proceso, un problema importante para el procesado de señales estocásticas es cómo estimar dicha f.d.p. a partir de una única realización de dicho proceso. En otras palabras, cuando tenemos datos de un proceso aleatorio sólo hacen referencia a una realización temporal de dicho proceso. Sin embargo, existen infinidad de posibles realizaciones como esa. Debido a que no podemos estudiarlas todas en la práctica, tenemos que estimar o aproximar el valor del proceso aleatorio global a la información que poseemos en nuestros datos.

La suposición que nos permite tomar esta aproximación se llama ergodicidad, que establece que “los promedios temporales convergen al valor que se pretende estimar del conjunto de todas las realizaciones”. Por ello, un proceso ergódico debe ser estacionario, dado que sería imposible estimar una f.d.p. variante en el tiempo a partir de una única realización.

Para el caso de un proceso aleatorio ergódico, se tendrá que cumplir que las características estadísticas de los promedios temporales sean iguales a sus correspondientes promedios de conjunto. Es decir, si al analizar las propiedades de media y función de autocorrelación (en la práctica se considera suficiente con estas dos) de cada una de las funciones muestrales coinciden con las propiedades de los promedios de conjunto (para un tiempo dado), hablaremos de un proceso aleatorio ergódico y de esta forma podremos conocer las características del proceso global a partir de una única realización del proceso aleatorio.

De la teoría sabemos que para que un proceso aleatorio sea estacionario en sentido amplio, se debe cumplir:

  • La media del conjunto debe ser independiente del tiempo:

null

  • La función de autocorrelación de conjunto depende sólo de la diferencia de tiempos de observación:

null

Para el caso de un proceso aleatorio ergódico, se tendrá que cumplir que las características estadísticas de los promedios temporales sean iguales a sus correspondientes promedios de conjunto. Es decir, si al analizar las propiedades de media y función de autocorrelación (en la práctica se considera suficiente con estas dos) de cada una de las funciones muestrales coinciden con las propiedades de los promedios de conjunto (para un tiempo dado), hablaremos de un proceso aleatorio ergódico y de esta forma podremos conocer las características del proceso global a partir de una única realización del proceso aleatorio.

Fuentes:

Practica 2. Procesos aleatorias, propiedades estadísticas, estacionariedad y ergodicidad

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Matemática aplicada - Appd Math

Histograma y función de densidad de probabilidad – Pasos para obtener la PDF

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la variable aleatoria resultante de observar el proceso en un cierto instante se podrá estimar contando el número de veces a lo largo del intervalo de observación en que la señal toma cada valor de amplitud.

Para caracterizar estadísticamente una señal aleatoria supuesta, procedente de un proceso ergódico, se pueden observar sus valores observados a lo largo del tiempo. Así, los promediados temporales (media, correlación) permiten estimar los correspondientes promediados del proceso (del conjunto de funciones muestrales).

Además, La función de densidad de probabilidad (PDF) de la variable aleatoria resultante de observar el proceso en un cierto instante se podrá estimar contando el número de veces a lo largo del intervalo de observación en que la señal toma cada valor de amplitud. La gráfica resultante de dividir el rango de amplitudes en distintos intervalos y contar el número de muestras de la señal que caen en cada intervalo se denomina histograma, y cuando el intervalo de observación sea muy grande, será una buena estimación de la PDF una vez normalizado.

Mtemáticamente, la PDF (f.d.p.) es:

null

Donde Fx(x) representa la probabilidad acumulativa de que una variable aleatoria x no supere un valor particular de la misma x. La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la f.d.p. de esta variable entre uno y otro límite de dicha región:

null

null

Los pasos para la obtención de la PDF son:

  1. Obtención del histograma: se divide el rango de valores de la señal en intervalos (bins) y se cuenta el número de muestras de la señal que se obtiene en cada intervalo de observación.
  2. Promedio del histograma y normalización: se promedian los histogramas correspondientes a distintos intervalos de observación, y el resultado, una vez integrado y normalizado a un valor máximo de 1, es una buena estimación de la función de densidad de probabilidad.

Las señales con las que un ingeniero de Telecomunicación trabaja en la práctica no son, la mayor parte de las veces, deterministas. Por ejemplo, una señal de voz no puede ser descrita por una ecuación, ya que los parámetros que la caracterizan cambian constantemente con el tiempo. Sin embargo, esta señal tiene ciertas características que la definen y distinguen de otras. De hecho, casi todas las señales que se manejan en comunicaciones y en otros muchos campos de la ingeniería y de la ciencia son de naturaleza estocástica (también llamada aleatoria).

La definición de una señal aleatoria se realiza por medio de sus propiedades estadísticas, como son: su función densidad de probabilidad, su función densidad de probabilidad conjunta, su media, su función de autocorrelación, etc.

Fuentes:

Práctica 1. Instrumentación, simulación y radio

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Matemática aplicada - Appd Math, Transformada Z

La Transformada Z – Análisis de sistemas discretos.

La Transformada Z (TZ) es una herramienta que proporciona un método para caracterizar las señales y los sistemas de tiempo discreto por medio de polos y ceros en el dominio Z transformado.

X(z), La Transformada Z, es el equivalente de la Transformada de Laplace para tiempo discreto. Puesto que z es una variable compleja, el dominio Z es un plano complejo.

La transformada Z directa X(z) de una señal x[n] se define como la serie de potencias:

null

Dónde z es el número complejo:

null

La ecuación (1) mapea la señal definida en el dominio del tiempo discreto, a la función definida en el dominio Z, lo que se denota como:

null

La notación para la relación entre ambos dominios es:

null

Como la ecuación (1) es la suma de una serie geométrica, solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que la suma no diverge. Esto nos lleva al concepto de región de convergencia (ROC – Region of Convergence).

La ROC de una transformada X(z) es el conjunto de todos los valores de la variable compleja z para los que X(z) es finita:

null

El par transformado no es único hasta que no se añade la información relativa a la ROC. Por ello, las tablas de pares z-transformados incluyen una tercera columna con su información de la ROC.

Ejemplos

Muchos ejercicios consisten en organizar la ecuación para buscar la coincidencia, la equivalencia, entre la ecuación del ejercicio en particular y algunos pares transformados  de uso generalizado que se muestran posteriormente en tablas, al igual que sucede en el caso de la transformada de Laplace. En particular, son muy utilizados los siguientes pares:

  1. Considere la señal x[n]:

null

A partir de la ecuación:

null

Podemos señalar que la transformada Z de x[n] es:

null

Para la convergencia de X(Z) se requiere que:

null

En consecuencia, la región de convergencia es el rango de valores de z para el cual:

null

Que es lo mismo que escribir:

null

Entonces, añadiendo la información relativa a la ROC, la transformada Z de x[n] es:

null

Entonces hablamos del siguiente par transformado:

null

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-7.png

Esta ecuación, al igual que la Transformada de Laplace, se puede caracterizar por sus ceros y polos. En este caso, z=0 es un cero, z=a es un polo. Observar que este es un ejemplo de una secuencia positiva. La ROC de una secuencia positiva es siempre la región fuera de un círculo de radio a. Observar además que si a=1, obtenemos la Transformada Z del escalón unitario. Es decir:

null

Es lo mismo que escribir:

null

Como decíamos antes, estos resultados pueden estar entre los primeros en nuestra tabla de resolución de problemas, porque son muy utilizados a la hora de determinar la Transformada Z de numerosas señales. Veamos el caso siguiente:

2. La transformada Z de una señal en el dominio de tiempo discreto es:

null

La señal correspondiente es:

null

Respuesta:

Usaremos las propiedades de linealidad y de desplazamiento en el tiempo (ver tabla más adelante):

null

Si aplicamos estas propiedades a la opción c, veremos que su transformada Z es:

null

Pero sabemos que:

null

Por lo tanto:

null

El resultado en consecuencia,  la opción c.

Teoría completa:

  • La Transformada Z

Más ejemplos en:

Propiedades de la Transformada Z

null

null

Tablas de Pares Transformados

A continuación los pares transformados para las señales discretas más importantes en el área del procesamiento de señales:

null

null

null

Ejemplos:

null

Propiedades de la ROC.
  • La Transformada X(z) junto con la ROC definen de forma inequívoca la secuencia x[n], es decir, sin la información de la ROC, existe indeterminación en el cálculo de la antitransformada.
  • La ROC de cualquier secuencia tiene simetría circular en torno al origen sobre el plano Z, porque la convergencia sólo depende de .
  • La ROC no puede contener polos porque, por definición, la evaluación de X(z) sobre un polo produce divergencia.
  • La ROC de secuencias de duración finita (sin polos) es todo el plano complejo, con algunas excepciones.
  • La ROC de una secuencia (estrictamente) anticausal (con valores nulos en semieje n-positivo) es el interior de una circunferencia.
  • La ROC de una secuencia (estrictamente) causal (con valores nulos en semieje n-negativo) es el exterior de una circunferencia.
  • La ROC de una secuencia bilateral (combinación de causal o estrictamente no causal) puede ser:
    • Una corona circular (si radio parte causal menor que radio parte anticausal)
    • No existir (si radio parte causal mayor que radio parte anticausal y no hay intersección)
Ejemplos

null

null

Evaluación completa de Transformada Z

Objetivos:

  • Calcular la Transformada Z. Caracterizar su ROC
  • Determinar a partir de la ROC si existe o no transformada discreta de Fourier
  • Definir el diagrama de polos y ceros
  • Calcular la transformada inversa Z
  • Operar con señales en el dominio de la transformada Z
    • Evaluación completa Transformada Z
    • Evaluación completa 2 Transformada Z
    • Evaluación completa 3 Transformada Z

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Procesamiento de señales
  5. 1. Z_TRANSFORMADA_20_tt
  6. Senales y Sistemas – Shaum

Te puede interesar:

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Método gráfico de convolución – tiempo continuo

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución.

null

El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

null

Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de τ. La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

null

Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

null

Paso 4. En la gráfica anterior, v(t-τse desplaza hacia la derecha y se solapa con el pulso rectangular de x(τ) que va desde τ=0 a τ=1. Los límites de integración son desde τ=0 hasta τ=t. Al llegar la gráfica de v(t-τ) hasta 1 (t=1), dicha gráfica se encuentra con el pulso rectangular de x(τ) que va desde τ=1 a τ=2. En ese instante, v(t-τ) se encuentra entre dos regiones, por ello es necesario desarrollar dos integrales, como veremos más adelante. Por último, la parte inferior de v(t-τ) (t-1) supera el valor de 1, y solo hay solapamiento a partir de allí, y  los límites de integración son desde τ=t-1 hasta τ=2.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

null

null

La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

null

Método de convolución con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
  2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

Para ver solución visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

SIGUIENTE: Convolución de señales discretas en Matlab

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

Puedes consultar también:

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Convolución en el tiempo continuo – ejemplos.

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

null

Para la convolución:

null

Cualquier entrada x(t) se puede representar como:

null

A partir de la ecuación (2) podemos pensar intuitivamente en cualquier señal x(t) como una “suma” de impulsos ponderados desplazados, donde el peso en el impulso δ(t-τ) es x(τ). Con esta interpretación, la ecuación (1) representa la superposición de las respuestas a cada una de estas entradas, y por linealidad, el peso en la respuesta hτ(t) al impulso desplazado también es x(τ). Definimos hτ(t)=h(t)  como la respuesta al impulso unitario .En este caso, la ecuación (1) se vuelve:

null

La ecuación (3) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) en términos de su respuesta al impulso unitario. La convolución de las señales x(t) y h(t) se representa simbólicamente mediante:

null

Un sistema LTI está absolutamente caracterizado por su respuesta al impulso unitario .

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

null

La operación de convolución es conmutativa, por lo que:

null

Si las dos señales x(t) y v(t) son cero para toda t<0:

null

Sea h(t)  la respuesta al impulso de un sistema LTI cuya salida es y(t).  Si es la entrada a dicho sistema, y x(t)=0 para t<0, entonces la salida y(t) la viene dada por:

null

Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LTI, y(t) = h(t).

Método gráfico de la convolución.

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución. El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

null

Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

null

Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

null

Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

null

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

null

La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

null

Método de convolución gráfica y con Matlab.

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

null

null

null

Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

Fuentes:

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  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise
  11. Convolución LTI

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Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

Transformada de Fourier de señales importantes – Matlab (Gráfica) – Ejemplos

  • Consideramos ahora la señal exponencial:

null

Donde b es una constante real, y U(t) es un escalón unitario. Tomar en cuenta que x(t)= U(t) cuando b=0. Para cualquier valor de b, la transformada de Fourier X(ω) de x(t) está dada por:

null

Debido a que:

null

La ecuación (1) queda expresada como:

null

Es decir:

null

Obtenemos:

null

null

La gráfica de x(ω) se llama Espectro Continuo de Amplitud de x(t), y la gráfica de xθ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de x(t):

null

null

Ambas gráficas pueden generarse mediante el siguiente comando en Matlab:

>> w=-50:0.2:50;
>> b=10;
>> X=1./(b+j*w);
>> subplot(211), plot (w,abs(X));%gráfica de magnitud de X
>> subplot(212), plot (w,angle(X));%gráfica del ángulo de X

null

Este resultado concuerda con los textos que señalan que la gráfica de módulo y de fase de la Transformada de Fourier de la función compleja exponencial e-atU(t) para a>0 real, tiene la forma siguiente:

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

The Fourier Transform – Definition and properties.

The Fourier Transform is a valuable instrument to analyze non-periodic functions. In this way, it complements the Fourier Series, which allows analyzing systems where periodic functions are involved.

That is, through the Fourier Series we can represent a periodic signal in terms of its sinusoidal components, each component with a particular frequency. The Fourier Transform allows you to do the same with non-periodic signals.

Definition

Fourier reasoned that an aperiodic signal can be considered as a periodic signal with an infinite period. More precisely, in the Fourier Series representation of a periodic signal, as the period increases, the fundamental frequency decreases and the harmonically related components become closer to the frequency. As the period becomes infinite, the frequency components form a continuum and the sum of the Fourier series becomes an integral.

Let f be a real function defined in the continuous domain, say f(t) defined in the t domain. Then, The Fourier Transform (FT) is defined as:

null

It is said that a signal f(t) has a Fourier Transform if the integral of equation (1) converges (that is, it exists). The integral converges if f(t) «behaves well» and is fully integrable; this last condition means that:

null

All real signals behave well, and therefore satisfy the previous condition. That is, most of the real signals have FT. However, the following is an example of a signal that does not have FT:

null

The signal of equation (3) is well known as a CD signal or constant signal. And it has no FT because it is not a real signal, that is, no signal that is different from zero all the time can be physically possible. If we substitute this signal in equation (1) we could verify that this integral does not converge just by observing that the area under the constant signal is infinite, so that integral does not have a finite value. Later, however, we will show that a constant signal does have FT in a generalized sense.

The Fourier Transform Pair

We can define two integrals called the Fourier Transform pair:

null

For the TF of f(t) to exist, it must be fulfilled that:

null

F(ω) is the transform of the spectrum of f(t). From here we see that f(t) is being analyzed in a finite number of frequency components with infinitesimal amplitude equal to:

null

Fourier Transform Considerations

1. In general F(ω) is a complex function, which transforms a given signal into its exponential components;

2. F(ω) is called the Direct Fourier Transform of f(t), and represents the relative amplitudes of several frequency components, so F(ω) is the representation of f(t) in the frequency domain:

null

3. The time representation of f(t) specifies a function at each time value, while F(ω) specifies the relative amplitudes of the frequency components of the signal, for each frequency value.

4. Thus, F(ω) is a complex function with the following form

null

F(ω) is a complex function that can be represented graphically by the magnitude null and phase Θ(ω) versus frequency. In this way, the graph of null is called Continuous Spectrum of Amplitude of f(t), and the graph of Θ(ω) is called Continuous Spectrum of Phase of f(t). The spectrum is said to be a continuous spectrum, since both the amplitude and the phase of F(ω) are continuous functions of the frequency ω. This graphic representation of both spectra is known as the Frequency Spectrum. Note the difference between this continuous spectrum and the discrete spectrum generated by the Fourier Series

5. In many cases F(ω) is real or imaginary pure. Therefore, only one graph is needed since:

null

Fourier Transform Properties

The relationship between a signal and its Fourier Transform will be denoted as follows:

null

The following is a summary of the most prominent properties of the TF:

null

null

null

null

null

null

null

Sources:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier – Definición y propiedades.

La Transformada de Fourier es un instrumento de gran valor para analizar las funciones no periódicas. Complementa de esta manera a la Serie de Fourier, que permite analizar sistemas donde están involucradas las funciones periódicas.

Es decir, mediante la Serie de Fourier podemos representar una señal periódica en términos de sus componentes sinusoidales, cada componente con una frecuencia en particular. La Transformada de Fourier permite hacer esto mismo con señales no periódicas.

Definición

Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en Serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral.

Sea f una función real definida en el dominio continuo, dígase f(t) definida en el dominio t. Entonces, la Transformada de Fourier (TF) se define como:

null

Se dice que una señal f(t) tiene Transformada de Fourier si la integral de la ecuación (1) converge (es decir, existe). La integral converge si f(t)  “se comporta bien” y si es completamente integrable; esta última condición significa que:

null

Todas las señales reales se comportan bien, y por tanto satisfacen la condición anterior. Es decir, la mayoría de las señales reales tiene TF. Sin embargo, el siguiente es un ejemplo de una señal que no tiene TF:

null

La señal de la ecuación (3) es bien conocida como señal de CD o señal constante. Y no tiene TF porque no es una señal real, es decir, ninguna señal que es diferente de cero todo el tiempo puede ser físicamente posible. Si sustituimos esta señal en la ecuación (1) podríamos comprobar que esta integral no converge sólo con observar que el área bajo la señal constante es infinita, por lo que dicha integral no tiene un valor finito. Más adelante, sin embargo, mostraremos que una señal constante si tiene TF en un sentido generalizado.

El par de Transformada de Fourier

Podemos definir dos integrales que se llaman el par de Transforma de Fourier:

null

Para que exista la TF de f(t), se debe cumplir que:

null

F(ω) es la transformada del espectro de f(t). De aquí vemos que f(t) está siendo analizada en un número finito de componentes de frecuencia con amplitud infinitesimal igual a:

null

Para ver más: La transformada de Fourier

Consideraciones sobre la Transformada de Fourier

1. En general F(ω)  es una función compleja, que transforma una señal dada en sus componentes exponenciales;

2. F(ω) se llama la Transformada de Fourier directa de f(t), y representa las amplitudes relativas de varias componentes de frecuencia, así F(ω)  es la representación de f(t) en el dominio de la frecuencia:

null

3. La representación en el tiempo de f(t) especifica una función a cada valor del tiempo, mientras que F(ω)  especifica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la señal, para cada valor de frecuencia.

4. Así, F(ω)  es una función compleja con la siguiente forma:

null

F(ω) es una función compleja que puede ser representada gráficamente por la magnitud null y la fase Θ(ω)  versus la frecuencia. De esta manera, la gráfica de null  se llama Espectro Continuo de Amplitud de f(t), y la gráfica de Θ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de f(t). El espectro se dice que es un espectro continuo, ya que ambos, el de amplitud y el de fase de F(ω) , son funciones continuas de la frecuencia ω. Esta representación gráfica de ambos espectros se conoce como El Espectro de Frecuencia. Notar la diferencia que existe entre este espectro continuo y el espectro discreto generado por la Serie de Fourier.

5. En muchos casos F(ω) es real o imaginario puro. Por lo cual sólo se necesita una sola gráfica ya que:

null

Ejemplo

1. La gráfica de módulo y de fase de la Transformada de Fourier de la función compleja exponencial e-atU(t) para a>0 real, tiene la forma siguiente:

null

Para la deducción de este gráfico, ver:

2. Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal x(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-53.png

3. Considere la señal genérica x(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-54.png

3.1 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-56.png

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-55.png

3.2 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-57.png

3.3 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-58.png

3.4 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-59.png

Propiedades de la Transformada de Fourier

La relación entre una señal y su Transformada de Fourier se denotará de la siguiente manera:null

Lo siguiente es un resumen de las propiedades más resaltantes de la TF:

null

null

null

null

null

null

null

Comparación entre la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier

A menudo se argumenta que la Transformada de Laplace es una herramienta excesivamente teórica y poco intuitiva, ya que implica una integración en el plano complejo y convierte una señal de variable real (el tiempo continuo) en una transformada de variable compleja (la variable s). Es decir, para representar la misma información es necesario utilizar dos variables en el dominio de Laplace, la parte real de s y la parte imaginaria de s, en lugar de solo una, tal y como se hace en el dominio temporal. A primera vista, no hay una razón evidente que justifique la necesidad de utilizar dos variables y ello hace que surjan alternativas para comprimir la redundancia que contiene la Transformada de Laplace y volverla a reducir a una sola dimensión. Una de estas alternativas se basa en la función exponencial est, que, como ya sabemos, presenta la propiedad de ser una autofunción de los sistemas LIT analógicos. Es decir, al excitar la entrada de un sistema analógico LIT de respuesta impulsional ℎ(𝑡) con la señal 𝑥(𝑡)= est, el sistema presenta una señal 𝑦(𝑡) a su salida dada por:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-52.png

Dónde H(s)  es la función de transferencia del sistema. El resultado anterior muestra cómo la señal exponencial que hay en la entrada vuelve a aparecer en la salida acompañada de un factor de escala, dado por la función de transferencia, el cual resume el comportamiento del sistema en función de la variable compleja s.

De entre todas las posibles señales exponenciales, hay una de ellas que es de especial interés para nosotros y que no es otra que la señal exponencial compleja: esto es, e jωt, en donde se ha llevado a cambio el cambio de variable s=𝒋ω . Este cambio es interesante porque la señal exponencial compleja tiene un significado físico más tangible, al poder ser interpretada como un fasor en el plano complejo rotando a una velocidad angular constante ω, cuya proyección en los ejes real e imaginario da lugar a las funciones cos(ω𝒕) y sen(ω𝒕), respectivamente. Estas señales co/sinusoidales son fácilmente generables en un laboratorio y corresponden, haciendo un símil acústico, a tonos de frecuencia pura.

Esto hace que, de todo el plano complejo definido por la variable de Laplace s, en la práctica nos interese restringirnos al caso s=𝒋ω. Esta particularización no solo hace más intuitivo el análisis en el dominio transformado a partir del uso de exponenciales complejas, sino que, además, reduce la Transformada de Laplace a una nueva transformada de una sola variable, ω.

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Transformada de Laplace

Ejemplo de antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace (o antitransformada) podemos identificar la señal que corresponde en la tabla 1:

null
Tabla 1.

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descompondremos la transformada como combinación lineal de términos (descomposición en fracciones simples), cada uno de los cuales aparezca en la tabla 1. En el caso de que en las fracciones simples aparezcan polos complejos, se recomienda aplicar el siguiente procedimiento, en el cual se utiliza la fórmula de Euler para el coseno:

null

Ejemplo

Un ejemplo de F(s) con raíces complejas en el denominador es:

null

Descomponemos en fracciones simples:

null

Calculamos el valor de cada constante k:

null

null

null

null

Sustituimos estos valores en X(s) y aplicamos la antitransformada utilizando la línea en rojo de la Tabla 1, la exponencial. Factorizamos hasta donde sea posible:

null

Debido a que:nullObtenemos:

null

Por tanto:

null

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  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

Puedes consultar también:

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La antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace podemos identificar la señal que corresponde a una señal exponencial, por ejemplo, en la siguiente tabla:

null

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descomponiendo la transformada como combinación lineal de términos, método conocido como Descomposición en fracciones simples. Suponga que tenemos una función con la siguiente estructura:

null

Los términos z y p son conocidos como ceros y polos de X(s), respectivamente.

1. En el caso de nm (función racional propia) y siendo los n polos simples, la descomposición que se puede hacer es de la forma:

null

Siendo k1, k2, …., kn, los residuos asociados  a cada polo. De esta forma reconocemos cada término como la transformada de una señal exponencial de la forma:

null

El residuo ki se puede evaluar mediante el siguiente algoritmo:

null

2. Si el polo p es complejo, irá acompañado de un polo complejo p*:

null

El residuo de estos polos será también complejo conjugado. Las antitranformadas de estos polos se combinan generando una sinusoide amortiguada:

null

Para una mejor discusión de este caso, ver: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Ejemplo 1

null

null

3. Si n=m, es decir, la transformada es una función racional impropia, antes de descomponer en fracciones simples haremos la división:

null

Ejemplo 2

null

SIGUIENTE:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
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  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
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