Análisis de sistemas de control, Convolución - respuesta al impulso, Procesamiento de señales digitales

Convolución de señales en tiempo discreto – Matlab

La salida y[n] de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI-system) puede ser determinada mediante la sumatoria siguiente:

La ecuación anterior se denomina Convolución entre las señales discretas x[n] y h[n], donde x[n] es la entrada al sistema y h[n] es la respuesta al impulso del sistema.

Por convención, la convolución entre x[n] y h[n] se expresa mediante al siguiente notación:

Ejemplo 1. 

El pulso rectangular x[n] definido por la siguiente ecuación es la entrada a un sistema LTI con respuesta l impulso h[n]:

Determine la salida y[n] del sistema.

Solucion:

En el link Graficar el escalón unitario hemos diseñado en Matlab la función stepseq para graficar , o cualquier combinación tal como la señal x[n] del ejemplo 1. El siguiente Script permite graficar x[n].

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Figure 1. Input sequence x[n], example 1.

Por su parte, el siguiente Script permite graficar h[n].

n=[0:40];
h=(0.9).^n;
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Figure 2. Impulse response h[n] for system in example 1.

Ahora, utilizamos la función conv del toolbox de Matlab para determinar y[n]:

y=conv(x,h);
n=[0:80];
stem(n,y);
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Figure 3. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Otra aproximación es utilizando la función filter (ver Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto):

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
h=(0.9).^n;
y=filter(h,1,x);
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)
grid

Este comando genera:

Figure 4. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Hay una diferencia en los resultados de estas dos implementaciones que debe tenerse en cuenta. Como puede ver en la Figura 3, la secuencia de salida de la función conv(x, h) tiene una longitud mayor que las secuencias x[n] y h[n]. Por otro lado, la secuencia de salida de la función filter(h, 1, x) en la Figura 4 tiene exactamente la misma longitud que la secuencia de entrada x[n]. En la práctica, se recomienda el uso de la función filter.

Nota: la función filter se ha utilizado para calcular la convolución indirectamente. Eso fue posible debido a que la respuesta al impulso en el ejemplo 1 era una secuencia exponencial de un solo lado (sólo definida pra n>=0), para la cual podríamos determinar una representación en forma de ecuación en diferencias. No todas las respuestas de impulso de longitud infinita se pueden convertir en ecuaciones en diferencias.

Convolución analíticamente

También podemos hacer la convolución entre x[n] y h[n] Analíticamente:

Aplicando la ecuación para la convolución obtenemos :

Ahora usamos la expresión para la suma de componentes de una serie geométrica (Serie geométrica):

En consecuencia, la ecuación (1) es equivalente a:

La ecuación (3) tiene la misma forma que la ecuación (2) excepto por el término u(n-k) el cual toma diferentes valores dependiendo de los valores que toman n y k. Existen tres posibilidades para u(n-k) que deben ser evaluadas por separado:

Cas0 1. n<0: Entonces u(n-k)=0 para 0 k 9. Por lo tanto:

Caso 2. En este caso, los valores son distintos de cero y no se superponen. Entonces, en el intervalo 0n<9, u(n-k)=1 para 0kn. Así:

Aplicando la fórmula de la ecuación (2):

Caso 3. En este caso la respuesta al impulso h[n] se superpone parcialmente con x[n]. Así, en el intervalo 9 n, u(n-k)=1 para 0 k 9. En consecuencia:

En el último caso h[n] se superpone completamente a la entrada x[n].

Método gráfico de convolución

Para desarrollar la convolución entre dos señales también podemos utilizar un método gráfico, como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2

The input signal x[n] to an LTI system with impulse response h[n]:

Determine graphically y[n] through:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-63.png

Solution:

Sequences x[k] and h[n-k], and the convolution of both signals can be seen as follows:

El método de convolución gráfica anterior involucra los siguientes pasos:

  1. La respuesta al impulso h[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h[-k]  y posteriormente se desplaza mediante n para formar h[n-k] = h[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
  2. Las dos secuencias x[k] y h[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
  3. El producto x[k]h[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y[n];
  4. Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y[n].
Ejemplo 3
Convolution Properties.

Otras propiedades de interés son:

Ante una entrada x[n], la respuesta y[n] de un sistema LTI es:

Se conoce que la respuesta al impulso h[n] del sistema:

Determinar x[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:

Respuesta:

Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:

Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:

Luego, si seleccionamos:

Entonces:

Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a). Vamos a demostrarlo con Matlab.

La respuesta al impulso h[n] y la opción a) para la entrada x[n] pueden ser graficadas en Matlab utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Figure 5. Impulse response h[n] for system in example 3.

n=[-3:10];
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Figure 6. Input signal x[n] for system in example 3.

Ahora, podemos graficar y[n] utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
x1=stepseq(-2,-3,10)-stepseq(2,-3,10);
x2=stepseq(-1,-3,10)-stepseq(3,-3,10);
x3=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
y=x+x1+x2+x3;
stem(n,y)

Figure 7. Output sequence y[n] for example 3.

El mismo resultado lo hubiésemos obtenido utilizando:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-64.png

n=[-3:10];;
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
y=conv(h,x);
n=[0:26];
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Figure 8. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 3.

Fuente:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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Convolución - respuesta al impulso, Señales y Sistemas

Sumatoria de Convolución – Convolución en tiempo discreto

En general, cualquier señal discreta x[n] puede ser representada como una combinación lineal de deltas desplazadas. En general se cumple que:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-57.png

Ejemplo:

Sea la función x[n] representada por la siguiente gráfica:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-58.png

La función x[n] de la gráfica anterior puede ser representada mediante la siguiente sumatoria:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-59.png

A continuación se observa cada una de las gráficas que se suman para formar x[n]:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-60.png
Suma de convolución

En el ejemplo anterior se ve claramente la importancia de las propiedades de muestreo y selección definidas anteriormente para la función impulso unitario (El Impulso Unitario). Su importancia reside en el hecho de que x[n] se puede representar como una superposición de versiones escaladas de un conjunto muy sencillo de funciones elementales, es decir, de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. A partir de este simple hecho vamos a presentar ahora uno de los conceptos más importante del análisis de sistemas lineales, la idea de la sumatoria de convolución.

Decíamos antes que cualquier señal discreta x[n] puede representarse como una combinación lineal de deltas desplazadas:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-57.png

Supongamos ahora que x[n] representa toda entrada para un arbitrario Sistema A cuya salida es y[n]. Recordemos del párrafo anterior que en realidad x[n] es una suma de versiones escaladas (con peso x[k]) de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados.

Designemos a hk[n] como la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ[n-k]. Debido a que el sistema es un LTI  (cumple con la propiedad de linealidad y de invarianza en el tiempo) podemos expresar matemáticamente la salida y[n] del Sistema A como una sumatoria de las respuestas individuales del sistema a cada impulso unitarios δ[n-k] con peso x[k]:

Entonces, de acuerdo con la ecuación anterior, si conocemos la respuesta de un sistema lineal al conjunto de impulsos unitarios desplazados, podemos construir la respuesta a cualquier entrada arbitraria. Debido a que δ[n-k] es la versión desplazada de δ[n], así hk[n] es una versión desplazada de su versión en el origen h0[n]. Por lo tanto:

Por convención científica se obvia el subíndice en h0[n] y se deja simplemente como h[n]. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:

Este importante resultado se conoce como suma de convolución, y el miembro derecho de la ecuación se conoce como convolución de las secuencias x[n] y h[n].

Para la convolución de las secuencias x[n] y h[n] se utiliza el signo *. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:

Dónde:

La Figura siguiente presenta un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora:

La aplicación de este resultado lo podemos ver gráficamente mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sean la entrada x[n] a un sistema y su repuesta al impulso h[n], tal como se especifica a continuación:

Determinar la salida y[n]  del sistema.

Respuesta:

Pasos para aplicar la sumatoria de convolución

Repetimos este importante hallazgo, la salida y[n] de cualquier sistema LTI de tiempo discreto se puede obtener mediante la convolución de la entrada x[n]  con la respuesta al impulso h[n]. Es lo que manifiesta el siguiente esquema:

La suma de convolución anterior involucra los siguientes pasos:

  1. La respuesta al impulso h[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h[-k]  y posteriormente se desplaza mediante n para formar h[n-k] = h[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
  2. Las dos secuencias x[k] y h[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
  3. El producto x[k]h[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y[n];
  4. Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y[n].

Ejemplo 1:

La entrada x[n] y la respuesta al impulso h[n] de un sistema LTI están dadas por:

Calcule la salida y[n] mediante:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-70.png

Respuesta:

Las secuencias para x[k] y h[n-k], y el resultado de la multiplicación y posterior suma, se observan a continuación:

Propiedades de la convolución.

Las siguientes propiedades de la suma de convolución son análogas a las de la integral de convolución:

Otras propiedades de interés son:

También la solución a cierto problema se puede determinar de manera analítica, utilizando las propiedades de la convolución señaladas anteriormente. Tal es el caso del siguiente ejemplo.

Ejemplo 2:

Ante una entrada x[n], la respuesta y[n] de un sistema LTI es:

Se conoce que la respuesta al impulso h[n] del sistema:

Determinar x[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:

Respuesta:

Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:

Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:

Luego, si seleccionamos:

Entonces:

Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a).

Respuesta al escalón.

La respuesta y[n] al escalón u[n] de un sistema LTI de tiempo discreto cuya respuesta al impulso es h[n], se obtiene fácilmente mediante:

Notar que, de acuerdo con la ecuación anterior:

Notar la estrecha relación que tiene este resultado con el hecho demostrado en El Impulso Unitario de que:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-49.png

Es decir, podemos conocer la respuesta al impulso de un sistema LTI discreto, a partir de su respuesta a la función escalón, mediante:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-74.png

SIGUIENTE……..Convolución de señales discretas en Matlab

Relacionado:

Te puede interesar:

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas
  5. Señales y sistemas – Shaum

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Análisis de sistemas de control, Convolución - respuesta al impulso

La respuesta al impulso, la salida y la integral de Convolución de un sistema LIT

Sea T la salida de un sistema LIT (lineal e invariante en el tiempo) continuo en el tiempo, la respuesta al impulso h(t) de este sistema se define como la salida del sistema a la entrada impulso  (delta de Dirac):

null

Propiedad de muestreo del impulso

Para comprender la función de la función impulso en el análisis de señales es menester estudiar primero su propiedad de muestreo. Se puede demostrar que cualquier entrada x(t) se puede representar como:

null

La ecuación (2) es una de las aplicaciones más importantes de la función impulso. Hace posible representar cualquier función continua x(t)  en el tiempo como una sucesión continua de impulsos.

null

De esta manera, la ecuación (2) representa a x(t)  como la suma (integral) de una serie de impulsos continuos, donde la magnitud de cada impulso es igual al valor de la función en este instante (propiedad de muestreo). Se utiliza entonces la función impulso para muestrear la función x(t). Además, las propiedades de la función impulso que aparecen en la Tabla 1, serán muy utilizadas en el procesamiento de señales y el análisis de sistemas lineales:

null

TABLA 1

Respuesta de un sistema a cualquier entrada

Haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2), podemos ahora derivar una expresión para la salida de un sistema a cualquier entrada arbitraria. Puesto que el sistema es lineal, la respuesta y(t) del sistema a cualquier entrada arbitraria x(t) puede expresarse como:

null

Ya vimos que la respuesta al impulso se define como:

null

Sustituyendo este desplazamiento en la ecuación (3) obtenemos que:

null

La ecuación (4) pone de manifiesto que, por medio de la respuesta al impulso, se puede obtener la salida y(t) de un sistema para cualquier entrada x(t). En otras palabras, la respuesta al impulso caracteriza completamente al sistema….De hecho, la función de transferencia del sistema es igual a la transformada de Laplace de la respuesta al impulso..Nota importante: Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LIT, y(t) = h(t).

La ecuación (4) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LIT en términos de su respuesta al impulso, y también se puede representar simbólicamente como:

null

null

Respuesta al impulso a partir de la respuesta al escalón unitario

Nota importante: Existen varios métodos para obtener la respuesta al impulso de un sistema. Por su simplicidad, uno de los que se utiliza con mayor frecuencia es obtener dicha respuesta a partir de la respuesta al escalón unitario u(t), ya que, como reza la propiedad 4 de la Tabla 1:

nullEjemplo:

Supóngase que la respuesta de un sistema al escalón unitario (step), es yu(t):

nullEntonces h(t):

null

Operación de la integral de convolución

Antes de aplicar la ecuación (4) para obtener la salida de un sistema mediante la integral de convolución, se debe decidir que es más fácil obtener….h(t-τ) ó x(t-τ)  . Porque:

null

Una vez decidido sobre este asunto (supóngase que se decide por la primera opción), la integral de convolución involucra cuatro pasos:

  1. La respuesta al impulso h(τ) se invierte en el tiempo (se refleja en el origen) para obtener h(-τ). Después se desplaza en t para formar h(t-τ), la cual es una función de τ  con parámetro t;
  2. Las señales x(τ) y h(t-τ) se multiplican entre sí para todos los valores de  con la t fija para algún valor;
  3. El producto x(τ)h(t-τ) se integra sobre todas las τ para producir un único valor de salida y(t);
  4. Se repiten los pasos 1 al 3 a medida que t varía en el intervalo de [-∞,+∞], para producir la salida completa y(t).

Ejemplo:

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t) por ambos métodos:

Solución:

null

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t):

nullSolución:

null

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t) por métodos analíticos y por método gráfico:

Solución:

Podemos expresar las funciones de la siguiente manera:

null

Analíticamente:

null

Gráficamente:

null

null

  1. Considere un sistema LIT cuya respuesta a la entrada escalón está dada por:

null

Determinar la salida y(t) para la siguiente entrada:

nullSolución:

Podemos expresar x(t) como:

null

Puesto que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la salida y(t)  se obtiene directamente como:

null

null

5. La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

null

null

null

Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

6. Para las siguientes respuestas al impulso, determinar la salida.

null

Fuente:

  • Nota 7 Respuesta Impulsiva Sistema Continuo
  • Shaum – Señales y Sistemas

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