Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Transformada de Laplace

Expansión en fracciones parciales – Solución y(t) a partir de la función de transferencia – ejemplo

Hallar la solución y(t) a partir de la función de transferencia Y(s)/U(s) para una entrada escalón:null

Para hallar y(t) utilizaremos el método de expansión en fracciones parciales. El primer paso es presentar a Y(s)/U(s) en su forma factorizada:

null

La expansión en fracciones parciales es como sigue:

nullDónde:nullPor lo tanto:

null

Para calcular k21 primero derivamos:

nullPor lo tanto:

nullDe esta manera, Y(s)/U(s) se puede escribir como:

null

Al aplicar la antitransformada a la ecuación anterior, obtenemos que:

null

En consecuencia, y(t) para una entrada escalón es:

null

2. Graficar y(t) en Matlab y explicar a partir de la gráfica la estabilidad del sistema.

Para graficar y(t) para una entrada escalón unitario utilizamos la función de transferencia y el siguiente comando en Matlab:

>> sys=tf([1 3 7],[1 6 9 4]);

>> step(sys)

Así obtenemos:

null

En la gráfica anterior podemos ver claramente que el estado final del sistema es estable, ya que el valor de la salida y(t) se estabiliza en:

null

El valor final, o valor en estado estable, para y(t), y el tiempo de establecimiento en t=5.76 s, se pueden comprobar en la gráfica siguiente:

null

Además se le puede preguntar a la cónsola de Matlab si el sistema es estable mediante el siguiente comando (el número 1 significa verdadero):

>> isstable(sys)

ans = 1

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Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

Serie de Fourier exponencial compleja – ejemplos

Las transformaciones de la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier convierten las señales en el dominio del tiempo en representaciones en el dominio de la frecuencia (o espectrales). El análisis de Fourier es esencial para describir ciertos tipos de sistemas y sus propiedades en el dominio de la frecuencia.

Representación en serie de Fourier de señales periódicas

Una señal x(t) de tiempo continuo es periódica si existe un valor positivo T distinto de cero para el cual se cumple que:

null

Para toda t. Dos ejemplos clásicos son la señal sinusoidal real y la exponencial compleja:

null

Representación en serie de Fourier exponencial compleja

La representación de la serie de Fourier exponencial compleja de una señal periódica con período fundamental To está dada por:

null

Para calcular los coeficientes ck se utilizan los intervalos 0 hasta To ó To /2 hasta To /2  para la integración. Al establecer k=0, obtenemos:

null

Lo cual indica que el coeficiente c0 es igual al valor promedio de x(t) sobre un período.

Ejemplos: 

Determine la representación de la serie de Fourier exponencial compleja para cada una de las siguientes señales:

  1. null

La fórmula de Euler establece que:nullPor tanto:

null

De donde:

null

  1. null

null

null

3. null

null

null

null

  1. null

La suma de dos señales periódicas con  períodos T1 y T2, es periódica sólo si la razón de sus períodos respectivos se puede expresar como un número racional:

null

Entonces, el período fundamental es el mínimo común múltiplo de T1 y T2, está dado por la ecuación:nullEn el ejemplo 4:

null

null

null

null

5. null

Por medio de la identidad trigonométrica podemos escribir que:

null

x1(t) es periódica, con período arbitrario, y x2(t)  es periódica con período :

En construcción…

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Análisis de sistemas de control, Convolución - respuesta al impulso

La respuesta al impulso, la salida y la integral de Convolución de un sistema LIT

Sea T la salida de un sistema LIT (lineal e invariante en el tiempo) continuo en el tiempo, la respuesta al impulso h(t) de este sistema se define como la salida del sistema a la entrada impulso  (delta de Dirac):

null

Propiedad de muestreo del impulso

Para comprender la función de la función impulso en el análisis de señales es menester estudiar primero su propiedad de muestreo. Se puede demostrar que cualquier entrada x(t) se puede representar como:

null

La ecuación (2) es una de las aplicaciones más importantes de la función impulso. Hace posible representar cualquier función continua x(t)  en el tiempo como una sucesión continua de impulsos.

null

De esta manera, la ecuación (2) representa a x(t)  como la suma (integral) de una serie de impulsos continuos, donde la magnitud de cada impulso es igual al valor de la función en este instante (propiedad de muestreo). Se utiliza entonces la función impulso para muestrear la función x(t). Además, las propiedades de la función impulso que aparecen en la Tabla 1, serán muy utilizadas en el procesamiento de señales y el análisis de sistemas lineales:

null

TABLA 1

Respuesta de un sistema a cualquier entrada

Haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2), podemos ahora derivar una expresión para la salida de un sistema a cualquier entrada arbitraria. Puesto que el sistema es lineal, la respuesta y(t) del sistema a cualquier entrada arbitraria x(t) puede expresarse como:

null

Ya vimos que la respuesta al impulso se define como:

null

Sustituyendo este desplazamiento en la ecuación (3) obtenemos que:

null

La ecuación (4) pone de manifiesto que, por medio de la respuesta al impulso, se puede obtener la salida y(t) de un sistema para cualquier entrada x(t). En otras palabras, la respuesta al impulso caracteriza completamente al sistema….De hecho, la función de transferencia del sistema es igual a la transformada de Laplace de la respuesta al impulso..Nota importante: Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LIT, y(t) = h(t).

La ecuación (4) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LIT en términos de su respuesta al impulso, y también se puede representar simbólicamente como:

null

null

Respuesta al impulso a partir de la respuesta al escalón unitario

Nota importante: Existen varios métodos para obtener la respuesta al impulso de un sistema. Por su simplicidad, uno de los que se utiliza con mayor frecuencia es obtener dicha respuesta a partir de la respuesta al escalón unitario u(t), ya que, como reza la propiedad 4 de la Tabla 1:

nullEjemplo:

Supóngase que la respuesta de un sistema al escalón unitario (step), es yu(t):

nullEntonces h(t):

null

Operación de la integral de convolución

Antes de aplicar la ecuación (4) para obtener la salida de un sistema mediante la integral de convolución, se debe decidir que es más fácil obtener….h(t-τ) ó x(t-τ)  . Porque:

null

Una vez decidido sobre este asunto (supóngase que se decide por la primera opción), la integral de convolución involucra cuatro pasos:

  1. La respuesta al impulso h(τ) se invierte en el tiempo (se refleja en el origen) para obtener h(-τ). Después se desplaza en t para formar h(t-τ), la cual es una función de τ  con parámetro t;
  2. Las señales x(τ) y h(t-τ) se multiplican entre sí para todos los valores de  con la t fija para algún valor;
  3. El producto x(τ)h(t-τ) se integra sobre todas las τ para producir un único valor de salida y(t);
  4. Se repiten los pasos 1 al 3 a medida que t varía en el intervalo de [-∞,+∞], para producir la salida completa y(t).

Ejemplo:

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t) por ambos métodos:

Solución:

null

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t):

nullSolución:

null

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t) por métodos analíticos y por método gráfico:

Solución:

Podemos expresar las funciones de la siguiente manera:

null

Analíticamente:

null

Gráficamente:

null

null

  1. Considere un sistema LIT cuya respuesta a la entrada escalón está dada por:

null

Determinar la salida y(t) para la siguiente entrada:

nullSolución:

Podemos expresar x(t) como:

null

Puesto que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la salida y(t)  se obtiene directamente como:

null

null

5. La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

null

null

null

Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

6. Para las siguientes respuestas al impulso, determinar la salida.

null

 

Fuente:

  • Nota 7 Respuesta Impulsiva Sistema Continuo
  • Shaum – Señales y Sistemas

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Señales y Sistemas

Respuesta de circuito RC para una entrada onda cuadrada

Problema 1. Se debe analizar el comportamiento del circuito de la Figura 1, para los valores R y C indicados en la Figura. El generador de onda cuadrada de la Figura 2 tiene una frecuencia de 1 KHz y oscila entre 10 V y 0V. El análisis incluye la resolución analítica de la tensión del condensador durante 1 período de la señal del generador.

null

Figura 1

null

Figura 2

Respuesta:

Problema 1. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC.

Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – RC

Observación: Pago por un ejercicio. Solicitar la entrega en PDF al whatsapp +34633129287

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2. En el circuito de la Figura 3, el interruptor se abre en t=0. Se debe analizar el comportamiento del circuito para diferentes valores de la resistencia R. Este análisis incluye la resolución analítica de la corriente de la bobina.

null

Figura 3

Respuesta:

Problema 2. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC.

Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – RLC

Observación: Pago por un ejercicio. Solicitar la entrega en PDF al whatsapp +34633129287

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Respuesta:

Problemas 1 y 2. Para adquirir ambas soluciones se facilita pago a través de Paypal o con TC.

Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – Guía completa

Observación: Pago por ejercicios 1 y 2. Solicitar la entrega en PDF al whatsapp +34633129287

€25,00

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Análisis de sistemas de control, Matemática aplicada - Appd Math, Transformada de Laplace

Transformada de Laplace del Pulso Rectangular

Considere la función pulso:

null

Donde A y t0 son constantes.

Esta función pulso puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, sobreimpuesta por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

null

En este caso, la transformada de f(t) se obtiene mediante:

null

Aplicando la tabla para transformadas de Laplace (anexo) obtenemos:

null

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso es:

null

Para el pulso rectangular, simplemente debemos considerar que:

null

Esta función pulso rectangular de ancho t0 puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, y es luego anulada (no sobreimpuesta como el caso anterior) por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

null

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso rectangular es:

null

Con la ecuación (2) en la mano podemos adaptar este resultado a situaciones particulares. Suponga el caso de un pulso rectangular como el mostrado en la siguiente Figura:

null

Al aplicar el mismo procedimiento vemos que:

null

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función de la Figura es como en la ecuación (3):

null

ANEXO

null

Referencia:

  • Ingeniería de control moderna (Ogata)

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Convolución de una señal LTI con su respuesta al impulso – Ejemplo con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
  2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

La salida y1(t) puede ser determinada mediante la siguiente convolución:

null

La función x1(t) es un pulso triangular de 4 segundos de ancho, 2 unidades de altura, centrado en t=2s, que puede representarse de la manera siguiente:

null

La gráfica para x1(t) en el tiempo 0≤t<4 en Matlab se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> x1=2*tripuls(t-2,4);

>> plot(t,x1)

null

Por su parte, h(t) es un pulso rectangular unitario de ancho a. El objetivo es darle diferentes valores al parámetro a para aplicar la ecuación (1) y determinar el valor de a para el cual el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s.

La gráfica de h(t) para a=1, que denominaremos h1(t), se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h1=rectpuls(t,2);

>> plot(t,h1)

null

La convolución de x1(t) y h1(t), genera la salida y11(t)  para a=1. Continuando con los comandos en Matlab utilizados para generar las gráficas anteriores, y11(t)  se puede obtener en mediante:

>> y11=conv(x1,h1)

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y11)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=2,5s.

La gráfica para h2(t), es decir a=2, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h2=rectpuls(t,4);

>> plot(t,h2)

null

La convolución de x1(t) y h2(t), genera la salida y12(t)  para a=2. y12(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y12=conv(x1,h2);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y12)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=3s.

La gráfica para h3(t), es decir a=3, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h3=rectpuls(t,6);

>> plot(t,h3)

null

La convolución de x1(t) y h3(t), genera la salida y13(t)  para a=3. y13(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y13=conv(x1,h3);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y13)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=3.5s.

La gráfica para h4(t), es decir a=4, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h4=rectpuls(t,8);

>> plot(t,h4)

null

La convolución de x1(t) y h4(t), genera la salida y14(t)  para a=4. y14(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y14=conv(x1,h4);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y14)

null

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=4s.

Conclusión:

El valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s cuando el valor de a es 2 (a=2).

Utilizando el mismo procedimiento, podemos determinar que asignando un valor para a=8, el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=6s.

null

t=0:0.1:8;

h5=rectpuls(t,16);

plot(t,h5)

y15=conv(x1,h5);

t=0:0.1:12;

plot(t,y15)

Método gráfico

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

null

null

null

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Series de Taylor y Laurent – Ampliaciones

La siguiente es una guía PDF sobre Series de Taylor y Laurent – Ampliaciones:Series de Taylor y de Laurent – Ampliaciones

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Matemática aplicada - Appd Math

Modulación – definición

El proceso de adaptación de la información de banda base a paso banda es lo que se conoce como modulación.

Dependiendo del medio de transmisión, el envío de la señal puede ser más eficiente realizando una transmisión paso banda. Por ejemplo, el espectro radio está dividido en múltiples bandas frecuenciales, por lo que se deberá adecuar la información al canal frecuencial en el cual se va a transmitir. Ese proceso de adaptación de la información de banda base a paso banda es lo que se conoce como modulación.

Dicho proceso involucra dos señales: la señal moduladora (señal en banda base) y la señal portadora (señal paso banda de alta frecuencia). Todas las modulaciones se basan en variar los parámetros de la señal portadora de acuerdo a la moduladora. Esa variación será la que condicione el tipo de modulación: lineal o angular, por citar las dos modulaciones vistas en la asignatura. Una vez transmitida la señal, se irá desplazando a lo largo del medio hasta llegar a su destino. Remarcar la no idealidad del canal, por lo cual la señal perderá calidad debido al ruido del mismo. Finalmente, una vez recibida la señal se realiza el proceso inverso, conocido como demodulación. En dicho proceso, se realizará la conversión de paso banda a banda base.

Remarcar que el concepto de modulación es más amplio al de desplazamiento frecuencial. Si bien en un desplazamiento frecuencial únicamente se traslada la información en banda base a una determinada frecuencia paso banda, en la modulación, además de ese desplazamiento, se realizarán variaciones en esa señal paso banda de acuerdo a la señal moduladora. Esa variación podrá ser lineal o angular, dando lugar a dos grandes familias de modulaciones. A lo largo de la práctica se estudiarán ambas modulaciones en detalle. Para ello, se generará la señal en banda base y se le aplicará la modulación correspondiente; se emulará el envío de la misma en un canal agregándole ruido; y finalmente se demodulará para obtener la señal banda base original. De esta manera se abordará la problemática real inherente a este tipo de sistemas y se comprenderá la importancia del tratamiento estadístico como herramienta de procesado.

Fuentes:

Practica3_Modulaciones

Fundamentos de Comunicación y Transmisión

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Matemática aplicada - Appd Math, Sin categoría

Proceso aleatorio y estocástico

Un proceso ergódico debe ser estacionario, dado que sería imposible estimar una f.d.p. variante en el tiempo a partir de una única realización.

Dado que la idea subyacente del procesado de señales estocásticas es conocer algunos detalles acerca de la f.d.p. que define dicho proceso, un problema importante para el procesado de señales estocásticas es cómo estimar dicha f.d.p. a partir de una única realización de dicho proceso. En otras palabras, cuando tenemos datos de un proceso aleatorio sólo hacen referencia a una realización temporal de dicho proceso. Sin embargo, existen infinidad de posibles realizaciones como esa. Debido a que no podemos estudiarlas todas en la práctica, tenemos que estimar o aproximar el valor del proceso aleatorio global a la información que poseemos en nuestros datos.

La suposición que nos permite tomar esta aproximación se llama ergodicidad, que establece que “los promedios temporales convergen al valor que se pretende estimar del conjunto de todas las realizaciones”. Por ello, un proceso ergódico debe ser estacionario, dado que sería imposible estimar una f.d.p. variante en el tiempo a partir de una única realización.

Para el caso de un proceso aleatorio ergódico, se tendrá que cumplir que las características estadísticas de los promedios temporales sean iguales a sus correspondientes promedios de conjunto. Es decir, si al analizar las propiedades de media y función de autocorrelación (en la práctica se considera suficiente con estas dos) de cada una de las funciones muestrales coinciden con las propiedades de los promedios de conjunto (para un tiempo dado), hablaremos de un proceso aleatorio ergódico y de esta forma podremos conocer las características del proceso global a partir de una única realización del proceso aleatorio.

De la teoría sabemos que para que un proceso aleatorio sea estacionario en sentido amplio, se debe cumplir:

  • La media del conjunto debe ser independiente del tiempo:

null

  • La función de autocorrelación de conjunto depende sólo de la diferencia de tiempos de observación:

null

Para el caso de un proceso aleatorio ergódico, se tendrá que cumplir que las características estadísticas de los promedios temporales sean iguales a sus correspondientes promedios de conjunto. Es decir, si al analizar las propiedades de media y función de autocorrelación (en la práctica se considera suficiente con estas dos) de cada una de las funciones muestrales coinciden con las propiedades de los promedios de conjunto (para un tiempo dado), hablaremos de un proceso aleatorio ergódico y de esta forma podremos conocer las características del proceso global a partir de una única realización del proceso aleatorio.

Fuentes:

Practica 2. Procesos aleatorias, propiedades estadísticas, estacionariedad y ergodicidad

Fundamentos de Comunicación y Transmisión

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Matemática aplicada - Appd Math

Histograma y función de densidad de probabilidad – Pasos para obtener la PDF

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la variable aleatoria resultante de observar el proceso en un cierto instante se podrá estimar contando el número de veces a lo largo del intervalo de observación en que la señal toma cada valor de amplitud.

Para caracterizar estadísticamente una señal aleatoria supuesta, procedente de un proceso ergódico, se pueden observar sus valores observados a lo largo del tiempo. Así, los promediados temporales (media, correlación) permiten estimar los correspondientes promediados del proceso (del conjunto de funciones muestrales).

Además, La función de densidad de probabilidad (PDF) de la variable aleatoria resultante de observar el proceso en un cierto instante se podrá estimar contando el número de veces a lo largo del intervalo de observación en que la señal toma cada valor de amplitud. La gráfica resultante de dividir el rango de amplitudes en distintos intervalos y contar el número de muestras de la señal que caen en cada intervalo se denomina histograma, y cuando el intervalo de observación sea muy grande, será una buena estimación de la PDF una vez normalizado.

Mtemáticamente, la PDF (f.d.p.) es:

null

Donde Fx(x) representa la probabilidad acumulativa de que una variable aleatoria x no supere un valor particular de la misma x. La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la f.d.p. de esta variable entre uno y otro límite de dicha región:

null

null

Los pasos para la obtención de la PDF son:

  1. Obtención del histograma: se divide el rango de valores de la señal en intervalos (bins) y se cuenta el número de muestras de la señal que se obtiene en cada intervalo de observación.
  2. Promedio del histograma y normalización: se promedian los histogramas correspondientes a distintos intervalos de observación, y el resultado, una vez integrado y normalizado a un valor máximo de 1, es una buena estimación de la función de densidad de probabilidad.

Las señales con las que un ingeniero de Telecomunicación trabaja en la práctica no son, la mayor parte de las veces, deterministas. Por ejemplo, una señal de voz no puede ser descrita por una ecuación, ya que los parámetros que la caracterizan cambian constantemente con el tiempo. Sin embargo, esta señal tiene ciertas características que la definen y distinguen de otras. De hecho, casi todas las señales que se manejan en comunicaciones y en otros muchos campos de la ingeniería y de la ciencia son de naturaleza estocástica (también llamada aleatoria).

La definición de una señal aleatoria se realiza por medio de sus propiedades estadísticas, como son: su función densidad de probabilidad, su función densidad de probabilidad conjunta, su media, su función de autocorrelación, etc.

Fuentes:

Práctica 1. Instrumentación, simulación y radio

Fundamentos de Comunicación y Transmisión

Revisión literaria hecha por:

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