Señales y Sistemas

## Maximum and minimum values of a signal – Signal and System

The maximum of a signal is defined as the maximum amplitude value of the signal:

The maximum exists when it is equal to the lowest upper bound (or supremum) of the signal, which is the smallest finite value greater than or equal to any amplitude value of the signal:

There where 𝑆𝑥 is the supreme of 𝑥(𝑡) in (1), and of 𝑥[𝑛] in (2), and where 𝑎𝑗 are all the upper bounds of the signal, that is, all those finite values that are greater than or equal to any amplitude value of the signal.

The minimum of a signal is defined as the minimum amplitude value of the signal:

The minimum exists when it is equal to the highest upper bound (or infimum) of the signal, which is the greatest finite value minur than or equal to any amplitude value of the signal:

There where I𝑥 es el infimum of 𝑥(𝑡) in (3), and of 𝑥[𝑛] in (4), and where 𝑎𝑗 are all the lower bounds of the signal, that is, all those finite values that are minors than or equal to any amplitude value of the signal.

Example:

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## Convolución de señales en tiempo discreto – Matlab

La salida y[n] de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI-system) puede ser determinada mediante la sumatoria siguiente:

La ecuación anterior se denomina Convolución entre las señales discretas x[n] y h[n], donde x[n] es la entrada al sistema y h[n] es la respuesta al impulso del sistema.

Por convención, la convolución entre x[n] y h[n] se expresa mediante al siguiente notación:

`Ejemplo 1. `

El pulso rectangular x[n] definido por la siguiente ecuación es la entrada a un sistema LTI con respuesta l impulso h[n]:

Determine la salida y[n] del sistema.

Solucion:

En el link Graficar el escalón unitario hemos diseñado en Matlab la función stepseq para graficar , o cualquier combinación tal como la señal x[n] del ejemplo 1. El siguiente Script permite graficar x[n].

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Por su parte, el siguiente Script permite graficar h[n].

n=[0:40];
h=(0.9).^n;
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Ahora, utilizamos la función conv del toolbox de Matlab para determinar y[n]:

y=conv(x,h);
n=[0:80];
stem(n,y);
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Otra aproximación es utilizando la función filter (ver Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto):

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
h=(0.9).^n;
y=filter(h,1,x);
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)
grid

Este comando genera:

Hay una diferencia en los resultados de estas dos implementaciones que debe tenerse en cuenta. Como puede ver en la Figura 3, la secuencia de salida de la función conv(x, h) tiene una longitud mayor que las secuencias x[n] y h[n]. Por otro lado, la secuencia de salida de la función filter(h, 1, x) en la Figura 4 tiene exactamente la misma longitud que la secuencia de entrada x[n]. En la práctica, se recomienda el uso de la función filter.

Nota: la función filter se ha utilizado para calcular la convolución indirectamente. Eso fue posible debido a que la respuesta al impulso en el ejemplo 1 era una secuencia exponencial de un solo lado (sólo definida pra n>=0), para la cual podríamos determinar una representación en forma de ecuación en diferencias. No todas las respuestas de impulso de longitud infinita se pueden convertir en ecuaciones en diferencias.

`Convolución analíticamente`

También podemos hacer la convolución entre x[n] y h[n] Analíticamente:

Aplicando la ecuación para la convolución obtenemos :

Ahora usamos la expresión para la suma de componentes de una serie geométrica (Serie geométrica):

En consecuencia, la ecuación (1) es equivalente a:

La ecuación (3) tiene la misma forma que la ecuación (2) excepto por el término u(n-k) el cual toma diferentes valores dependiendo de los valores que toman n y k. Existen tres posibilidades para u(n-k) que deben ser evaluadas por separado:

Cas0 1. n<0: Entonces u(n-k)=0 para 0 k 9. Por lo tanto:

Caso 2. En este caso, los valores son distintos de cero y no se superponen. Entonces, en el intervalo 0n<9, u(n-k)=1 para 0kn. Así:

Aplicando la fórmula de la ecuación (2):

Caso 3. En este caso la respuesta al impulso h[n] se superpone parcialmente con x[n]. Así, en el intervalo 9 n, u(n-k)=1 para 0 k 9. En consecuencia:

En el último caso h[n] se superpone completamente a la entrada x[n].

`Método gráfico de convolución`

Para desarrollar la convolución entre dos señales también podemos utilizar un método gráfico, como en el ejemplo siguiente.

`Ejemplo 2`

The input signal x[n] to an LTI system with impulse response h[n]:

Determine graphically y[n] through:

Solution:

Sequences x[k] and h[n-k], and the convolution of both signals can be seen as follows:

El método de convolución gráfica anterior involucra los siguientes pasos:

1. La respuesta al impulso h[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h[-k]  y posteriormente se desplaza mediante n para formar h[n-k] = h[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
2. Las dos secuencias x[k] y h[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
3. El producto x[k]h[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y[n];
4. Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y[n].
`Ejemplo 3`
`Convolution Properties.`

Ante una entrada x[n], la respuesta y[n] de un sistema LTI es:

Se conoce que la respuesta al impulso h[n] del sistema:

Determinar x[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:

Respuesta:

Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:

Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:

Luego, si seleccionamos:

Entonces:

Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a). Vamos a demostrarlo con Matlab.

La respuesta al impulso h[n] y la opción a) para la entrada x[n] pueden ser graficadas en Matlab utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

n=[-3:10];
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Ahora, podemos graficar y[n] utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
x1=stepseq(-2,-3,10)-stepseq(2,-3,10);
x2=stepseq(-1,-3,10)-stepseq(3,-3,10);
x3=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
y=x+x1+x2+x3;
stem(n,y)

El mismo resultado lo hubiésemos obtenido utilizando:

n=[-3:10];;
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
y=conv(h,x);
n=[0:26];
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Fuente:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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## Sumatoria de Convolución – Convolución en tiempo discreto

En general, cualquier señal discreta x[n] puede ser representada como una combinación lineal de deltas desplazadas. En general se cumple que:

Ejemplo:

Sea la función x[n] representada por la siguiente gráfica:

La función x[n] de la gráfica anterior puede ser representada mediante la siguiente sumatoria:

A continuación se observa cada una de las gráficas que se suman para formar x[n]:

`Suma de convolución`

En el ejemplo anterior se ve claramente la importancia de las propiedades de muestreo y selección definidas anteriormente para la función impulso unitario (El Impulso Unitario). Su importancia reside en el hecho de que x[n] se puede representar como una superposición de versiones escaladas de un conjunto muy sencillo de funciones elementales, es decir, de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. A partir de este simple hecho vamos a presentar ahora uno de los conceptos más importante del análisis de sistemas lineales, la idea de la sumatoria de convolución.

Decíamos antes que cualquier señal discreta x[n] puede representarse como una combinación lineal de deltas desplazadas:

Supongamos ahora que x[n] representa toda entrada para un arbitrario Sistema A cuya salida es y[n]. Recordemos del párrafo anterior que en realidad x[n] es una suma de versiones escaladas (con peso x[k]) de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados.

Designemos a hk[n] como la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ[n-k]. Debido a que el sistema es un LTI  (cumple con la propiedad de linealidad y de invarianza en el tiempo) podemos expresar matemáticamente la salida y[n] del Sistema A como una sumatoria de las respuestas individuales del sistema a cada impulso unitarios δ[n-k] con peso x[k]:

Entonces, de acuerdo con la ecuación anterior, si conocemos la respuesta de un sistema lineal al conjunto de impulsos unitarios desplazados, podemos construir la respuesta a cualquier entrada arbitraria. Debido a que δ[n-k] es la versión desplazada de δ[n], así hk[n] es una versión desplazada de su versión en el origen h0[n]. Por lo tanto:

Por convención científica se obvia el subíndice en h0[n] y se deja simplemente como h[n]. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:

Este importante resultado se conoce como suma de convolución, y el miembro derecho de la ecuación se conoce como convolución de las secuencias x[n] y h[n].

Para la convolución de las secuencias x[n] y h[n] se utiliza el signo *. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:

Dónde:

La Figura siguiente presenta un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora:

ANEXO

Let hk[n]  be the response of the system to δ[n-k], an impulse occurring at n=k. Then:

From the principle of superposition in linearity, we can write:

According to equation 2.51, the system response to any input can be expressed in terms of the responses of the system to the sequences δ[n-k]. If only linearity is imposed, hk[n] depends on both n and k, in which case the computational usefulness of equation 2.51 is limited. We obtain a more useful result if we impose the additional constraint of time invariance.

The property of time invariance implies that if h[n] is the response to δ[n], the response to δ[n-k] is h[n-k]. With this additional constraint, equation 2.51 becomes:

As a consequence of equation 2.52, a linear-time invariant system (which we will sometimes abbreviate as LTI) is completely characterized by it impulse response h[n] in the sense that, given h[n], it is possible to use equation 2.52 to compute the output y[n] due to any input x[n]. Equation 2.52 is commonly called the convolution sum, and is represented by:

Source: Discrete-Time Signal Processing (Alan Oppenheim pp 22-23)

La aplicación de este resultado lo podemos ver gráficamente mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Sean la entrada x[n] a un sistema y su repuesta al impulso h[n], tal como se especifica a continuación:

Determinar la salida y[n]  del sistema.

Respuesta:

```
Pasos para aplicar la sumatoria de convolución```

Repetimos este importante hallazgo, la salida y[n] de cualquier sistema LTI de tiempo discreto se puede obtener mediante la convolución de la entrada x[n]  con la respuesta al impulso h[n]. Es lo que manifiesta el siguiente esquema:

La suma de convolución anterior involucra los siguientes pasos:

1. La respuesta al impulso h[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h[-k]  y posteriormente se desplaza mediante n para formar h[n-k] = h[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
2. Las dos secuencias x[k] y h[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
3. El producto x[k]h[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y[n];
4. Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y[n].

Ejemplo 1:

La entrada x[n] y la respuesta al impulso h[n] de un sistema LTI están dadas por:

Calcule la salida y[n] mediante:

Respuesta:

Las secuencias para x[k] y h[n-k], y el resultado de la multiplicación y posterior suma, se observan a continuación:

`Propiedades de la convolución.`

Las siguientes propiedades de la suma de convolución son análogas a las de la integral de convolución:

También la solución a cierto problema se puede determinar de manera analítica, utilizando las propiedades de la convolución señaladas anteriormente. Tal es el caso del siguiente ejemplo.

Ejemplo 2:

Ante una entrada x[n], la respuesta y[n] de un sistema LTI es:

Se conoce que la respuesta al impulso h[n] del sistema:

Determinar x[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:

Respuesta:

Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:

Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:

Luego, si seleccionamos:

Entonces:

Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a).

Respuesta al escalón.

La respuesta y[n] al escalón u[n] de un sistema LTI de tiempo discreto cuya respuesta al impulso es h[n], se obtiene fácilmente mediante:

Notar que, de acuerdo con la ecuación anterior:

Notar la estrecha relación que tiene este resultado con el hecho demostrado en El Impulso Unitario de que:

Es decir, podemos conocer la respuesta al impulso de un sistema LTI discreto, a partir de su respuesta a la función escalón, mediante:

SIGUIENTE……..Convolución de señales discretas en Matlab

Te puede interesar:

Fuentes:

1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
4. Oppenheim – Señales y Sistemas
5. Señales y sistemas – Shaum

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## Expansión en fracciones parciales – Solución y(t) a partir de la función de transferencia – ejemplo

Hallar la solución y(t) a partir de la función de transferencia Y(s)/U(s) para una entrada escalón:

Para hallar y(t) utilizaremos el método de expansión en fracciones parciales. El primer paso es presentar a Y(s)/U(s) en su forma factorizada:

La expansión en fracciones parciales es como sigue:

Dónde:Por lo tanto:

Para calcular k21 primero derivamos:

Por lo tanto:

De esta manera, Y(s)/U(s) se puede escribir como:

Al aplicar la antitransformada a la ecuación anterior, obtenemos que:

En consecuencia, y(t) para una entrada escalón es:

2. Graficar y(t) en Matlab y explicar a partir de la gráfica la estabilidad del sistema.

Para graficar y(t) para una entrada escalón unitario utilizamos la función de transferencia y el siguiente comando en Matlab:

>> sys=tf([1 3 7],[1 6 9 4]);

>> step(sys)

Así obtenemos:

En la gráfica anterior podemos ver claramente que el estado final del sistema es estable, ya que el valor de la salida y(t) se estabiliza en:

El valor final, o valor en estado estable, para y(t), y el tiempo de establecimiento en t=5.76 s, se pueden comprobar en la gráfica siguiente:

Además se le puede preguntar a la cónsola de Matlab si el sistema es estable mediante el siguiente comando (el número 1 significa verdadero):

>> isstable(sys)

ans = 1

SIGUIENTE:

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## Serie de Fourier exponencial compleja – ejemplos

Las transformaciones de la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier convierten las señales en el dominio del tiempo en representaciones en el dominio de la frecuencia (o espectrales). El análisis de Fourier es esencial para describir ciertos tipos de sistemas y sus propiedades en el dominio de la frecuencia.

`Representación en serie de Fourier de señales periódicas`

Una señal x(t) de tiempo continuo es periódica si existe un valor positivo T distinto de cero para el cual se cumple que:

Para toda t. Dos ejemplos clásicos son la señal sinusoidal real y la exponencial compleja:

`Representación en serie de Fourier exponencial compleja`

La representación de la serie de Fourier exponencial compleja de una señal periódica con período fundamental To está dada por:

Para calcular los coeficientes ck se utilizan los intervalos 0 hasta To ó To /2 hasta To /2  para la integración. Al establecer k=0, obtenemos:

Lo cual indica que el coeficiente c0 es igual al valor promedio de x(t) sobre un período.

`Ejemplos: `

Determine la representación de la serie de Fourier exponencial compleja para cada una de las siguientes señales:

La fórmula de Euler establece que:Por tanto:

De donde:

3.

La suma de dos señales periódicas con  períodos T1 y T2, es periódica sólo si la razón de sus períodos respectivos se puede expresar como un número racional:

Entonces, el período fundamental es el mínimo común múltiplo de T1 y T2, está dado por la ecuación:En el ejemplo 4:

5.

Por medio de la identidad trigonométrica podemos escribir que:

x1(t) es periódica, con período arbitrario, y x2(t)  es periódica con período :

En construcción…

Fuentes:

1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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## La respuesta al impulso, la salida y la integral de Convolución de un sistema LIT

Sea T la salida de un sistema LIT (lineal e invariante en el tiempo) continuo en el tiempo, la respuesta al impulso h(t) de este sistema se define como la salida del sistema a la entrada impulso  (delta de Dirac):

`Propiedad de muestreo del impulso`

Para comprender la función de la función impulso en el análisis de señales es menester estudiar primero su propiedad de muestreo. Se puede demostrar que cualquier entrada x(t) se puede representar como:

La ecuación (2) es una de las aplicaciones más importantes de la función impulso. Hace posible representar cualquier función continua x(t)  en el tiempo como una sucesión continua de impulsos.

De esta manera, la ecuación (2) representa a x(t)  como la suma (integral) de una serie de impulsos continuos, donde la magnitud de cada impulso es igual al valor de la función en este instante (propiedad de muestreo). Se utiliza entonces la función impulso para muestrear la función x(t). Además, las propiedades de la función impulso que aparecen en la Tabla 1, serán muy utilizadas en el procesamiento de señales y el análisis de sistemas lineales:

TABLA 1

`Respuesta de un sistema a cualquier entrada`

Haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2), podemos ahora derivar una expresión para la salida de un sistema a cualquier entrada arbitraria. Puesto que el sistema es lineal, la respuesta y(t) del sistema a cualquier entrada arbitraria x(t) puede expresarse como:

Ya vimos que la respuesta al impulso se define como:

Sustituyendo este desplazamiento en la ecuación (3) obtenemos que:

La ecuación (4) pone de manifiesto que, por medio de la respuesta al impulso, se puede obtener la salida y(t) de un sistema para cualquier entrada x(t). En otras palabras, la respuesta al impulso caracteriza completamente al sistema….De hecho, la función de transferencia del sistema es igual a la transformada de Laplace de la respuesta al impulso..Nota importante: Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LIT, y(t) = h(t).

La ecuación (4) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LIT en términos de su respuesta al impulso, y también se puede representar simbólicamente como:

`Respuesta al impulso a partir de la respuesta al escalón unitario`

Nota importante: Existen varios métodos para obtener la respuesta al impulso de un sistema. Por su simplicidad, uno de los que se utiliza con mayor frecuencia es obtener dicha respuesta a partir de la respuesta al escalón unitario u(t), ya que, como reza la propiedad 4 de la Tabla 1:

Ejemplo:

Supóngase que la respuesta de un sistema al escalón unitario (step), es yu(t):

Entonces h(t):

`Operación de la integral de convolución`

Antes de aplicar la ecuación (4) para obtener la salida de un sistema mediante la integral de convolución, se debe decidir que es más fácil obtener….h(t-τ) ó x(t-τ)  . Porque:

Una vez decidido sobre este asunto (supóngase que se decide por la primera opción), la integral de convolución involucra cuatro pasos:

1. La respuesta al impulso h(τ) se invierte en el tiempo (se refleja en el origen) para obtener h(-τ). Después se desplaza en t para formar h(t-τ), la cual es una función de τ  con parámetro t;
2. Las señales x(τ) y h(t-τ) se multiplican entre sí para todos los valores de  con la t fija para algún valor;
3. El producto x(τ)h(t-τ) se integra sobre todas las τ para producir un único valor de salida y(t);
4. Se repiten los pasos 1 al 3 a medida que t varía en el intervalo de [-∞,+∞], para producir la salida completa y(t).

Ejemplo:

1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

Determinar:

1. La salida y(t) por ambos métodos:

Solución:

1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

Determinar:

1. La salida y(t):

Solución:

1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

Determinar:

1. La salida y(t) por métodos analíticos y por método gráfico:

Solución:

Podemos expresar las funciones de la siguiente manera:

Analíticamente:

Gráficamente:

1. Considere un sistema LIT cuya respuesta a la entrada escalón está dada por:

Determinar la salida y(t) para la siguiente entrada:

Solución:

Podemos expresar x(t) como:

Puesto que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la salida y(t)  se obtiene directamente como:

5. La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

6. Para las siguientes respuestas al impulso, determinar la salida.

Fuente:

• Nota 7 Respuesta Impulsiva Sistema Continuo
• Shaum – Señales y Sistemas

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Problema 1. Se debe analizar el comportamiento del circuito de la Figura 1, para los valores R y C indicados en la Figura. El generador de onda cuadrada de la Figura 2 tiene una frecuencia de 1 KHz y oscila entre 10 V y 0V. El análisis incluye la resolución analítica de la tensión del condensador durante 1 período de la señal del generador.

Figura 1

Figura 2

`Respuesta:`

Problema 1. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC.

Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – RC

Observación: Pago por un ejercicio. Solicitar la entrega en PDF al whatsapp +34633129287

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2. En el circuito de la Figura 3, el interruptor se abre en t=0. Se debe analizar el comportamiento del circuito para diferentes valores de la resistencia R. Este análisis incluye la resolución analítica de la corriente de la bobina.

Figura 3

`Respuesta:`

Problema 2. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC.

Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – RLC

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`Respuesta:`

Problemas 1 y 2. Para adquirir ambas soluciones se facilita pago a través de Paypal o con TC.

Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – Guía completa

Observación: Pago por ejercicios 1 y 2. Solicitar la entrega en PDF al whatsapp +34633129287

€25,00

Fuente:

2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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## Transformada de Laplace del Pulso Rectangular

Considere la función pulso:

Donde A y t0 son constantes.

Esta función pulso puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, sobreimpuesta por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

En este caso, la transformada de f(t) se obtiene mediante:

Aplicando la tabla para transformadas de Laplace (anexo) obtenemos:

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso es:

Para el pulso rectangular, simplemente debemos considerar que:

Esta función pulso rectangular de ancho t0 puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, y es luego anulada (no sobreimpuesta como el caso anterior) por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso rectangular es:

Con la ecuación (2) en la mano podemos adaptar este resultado a situaciones particulares. Suponga el caso de un pulso rectangular como el mostrado en la siguiente Figura:

Al aplicar el mismo procedimiento vemos que:

Por lo tanto, la transformada de Laplace la función de la Figura es como en la ecuación (3):

`ANEXO`

Referencia:

• Ingeniería de control moderna (Ogata)

SIGUIENTE: Graficar el pulso rectangular en Matlab

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## Convolución de una señal LTI con su respuesta al impulso – Ejemplo con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

La salida y1(t) puede ser determinada mediante la siguiente convolución:

La función x1(t) es un pulso triangular de 4 segundos de ancho, 2 unidades de altura, centrado en t=2s, que puede representarse de la manera siguiente:

La gráfica para x1(t) en el tiempo 0≤t<4 en Matlab se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> x1=2*tripuls(t-2,4);

>> plot(t,x1)

Por su parte, h(t) es un pulso rectangular unitario de ancho a. El objetivo es darle diferentes valores al parámetro a para aplicar la ecuación (1) y determinar el valor de a para el cual el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s.

La gráfica de h(t) para a=1, que denominaremos h1(t), se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h1=rectpuls(t,2);

>> plot(t,h1)

Nota: para evitar la inclinación de la línea que cierra el pulso rectangular de la figura anterior, simplemente aumentamos el muestreo, es decir, por ejemplo, asignamos al tiempo t=0:0.01:4 en vez de t=0:0.1:4. De esta manera aumenta la precisión, pero la amplitud de la convolución también cambia, más no así su posición y su ancho de banda. Esto sucede porque la convolución es en realidad una sumatoria, y al aumentar el número de muestras, aumenta también la cantidad de términos que se suman.

La convolución de x1(t) y h1(t), genera la salida y11(t)  para a=1. Continuando con los comandos en Matlab utilizados para generar las gráficas anteriores, y11(t)  se puede obtener en mediante:

>> y11=conv(x1,h1)

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y11)

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=2,5s.

La gráfica para h2(t), es decir a=2, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h2=rectpuls(t,4);

>> plot(t,h2)

La convolución de x1(t) y h2(t), genera la salida y12(t)  para a=2. y12(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y12=conv(x1,h2);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y12)

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)  está aproximadamente en t=3s.

La gráfica para h3(t), es decir a=3, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h3=rectpuls(t,6);

>> plot(t,h3)

La convolución de x1(t) y h3(t), genera la salida y13(t)  para a=3. y13(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y13=conv(x1,h3);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y13)

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=3.5s.

La gráfica para h4(t), es decir a=4, se obtiene mediante:

>> t=0:0.1:4;

>> h4=rectpuls(t,8);

>> plot(t,h4)

La convolución de x1(t) y h4(t), genera la salida y14(t)  para a=4. y14(t) y su gráfica, se obtiene mediante:

>> y14=conv(x1,h4);

>> t=0:0.1:8;

>> plot(t,y14)

En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t)   está aproximadamente en t=4s.

Conclusión:

El valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s cuando el valor de a es 2 (a=2).

Utilizando el mismo procedimiento, podemos determinar que asignando un valor para a=8, el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=6s.

t=0:0.1:8;

h5=rectpuls(t,16);

plot(t,h5)

y15=conv(x1,h5);

t=0:0.1:12;

plot(t,y15)

`Método gráfico`

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

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