Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

The Fourier Transform – Definition and properties.

The Fourier Transform is a valuable instrument to analyze non-periodic functions. In this way, it complements the Fourier Series, which allows analyzing systems where periodic functions are involved.

That is, through the Fourier Series we can represent a periodic signal in terms of its sinusoidal components, each component with a particular frequency. The Fourier Transform allows you to do the same with non-periodic signals.

Definition

Fourier reasoned that an aperiodic signal can be considered as a periodic signal with an infinite period. More precisely, in the Fourier Series representation of a periodic signal, as the period increases, the fundamental frequency decreases and the harmonically related components become closer to the frequency. As the period becomes infinite, the frequency components form a continuum and the sum of the Fourier series becomes an integral.

Let f be a real function defined in the continuous domain, say f(t) defined in the t domain. Then, The Fourier Transform (FT) is defined as:

null

It is said that a signal f(t) has a Fourier Transform if the integral of equation (1) converges (that is, it exists). The integral converges if f(t) “behaves well” and is fully integrable; this last condition means that:

null

All real signals behave well, and therefore satisfy the previous condition. That is, most of the real signals have FT. However, the following is an example of a signal that does not have FT:

null

The signal of equation (3) is well known as a CD signal or constant signal. And it has no FT because it is not a real signal, that is, no signal that is different from zero all the time can be physically possible. If we substitute this signal in equation (1) we could verify that this integral does not converge just by observing that the area under the constant signal is infinite, so that integral does not have a finite value. Later, however, we will show that a constant signal does have FT in a generalized sense.

The Fourier Transform Pair

We can define two integrals called the Fourier Transform pair:

null

For the TF of f(t) to exist, it must be fulfilled that:

null

F(ω) is the transform of the spectrum of f(t). From here we see that f(t) is being analyzed in a finite number of frequency components with infinitesimal amplitude equal to:

null

Fourier Transform Considerations

1. In general F(ω) is a complex function, which transforms a given signal into its exponential components;

2. F(ω) is called the Direct Fourier Transform of f(t), and represents the relative amplitudes of several frequency components, so F(ω) is the representation of f(t) in the frequency domain:

null

3. The time representation of f(t) specifies a function at each time value, while F(ω) specifies the relative amplitudes of the frequency components of the signal, for each frequency value.

4. Thus, F(ω) is a complex function with the following form

null

F(ω) is a complex function that can be represented graphically by the magnitude null and phase Θ(ω) versus frequency. In this way, the graph of null is called Continuous Spectrum of Amplitude of f(t), and the graph of Θ(ω) is called Continuous Spectrum of Phase of f(t). The spectrum is said to be a continuous spectrum, since both the amplitude and the phase of F(ω) are continuous functions of the frequency ω. This graphic representation of both spectra is known as the Frequency Spectrum. Note the difference between this continuous spectrum and the discrete spectrum generated by the Fourier Series

5. In many cases F(ω) is real or imaginary pure. Therefore, only one graph is needed since:

null

Fourier Transform Properties

The relationship between a signal and its Fourier Transform will be denoted as follows:

null

The following is a summary of the most prominent properties of the TF:

null

null

null

null

null

null

null

Sources:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier – Definición y propiedades.

La Transformada de Fourier es un instrumento de gran valor para analizar las funciones no periódicas. Complementa de esta manera a la Serie de Fourier, que permite analizar sistemas donde están involucradas las funciones periódicas.

Es decir, mediante la Serie de Fourier podemos representar una señal periódica en términos de sus componentes sinusoidales, cada componente con una frecuencia en particular. La Transformada de Fourier permite hacer esto mismo con señales no periódicas.

Definición

Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en Serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral.

Sea f una función real definida en el dominio continuo, dígase f(t) definida en el dominio t. Entonces, la Transformada de Fourier (TF) se define como:

null

Se dice que una señal f(t) tiene Transformada de Fourier si la integral de la ecuación (1) converge (es decir, existe). La integral converge si f(t)  “se comporta bien” y si es completamente integrable; esta última condición significa que:

null

Todas las señales reales se comportan bien, y por tanto satisfacen la condición anterior. Es decir, la mayoría de las señales reales tiene TF. Sin embargo, el siguiente es un ejemplo de una señal que no tiene TF:

null

La señal de la ecuación (3) es bien conocida como señal de CD o señal constante. Y no tiene TF porque no es una señal real, es decir, ninguna señal que es diferente de cero todo el tiempo puede ser físicamente posible. Si sustituimos esta señal en la ecuación (1) podríamos comprobar que esta integral no converge sólo con observar que el área bajo la señal constante es infinita, por lo que dicha integral no tiene un valor finito. Más adelante, sin embargo, mostraremos que una señal constante si tiene TF en un sentido generalizado.

El par de Transformada de Fourier

Podemos definir dos integrales que se llaman el par de Transforma de Fourier:

null

Para que exista la TF de f(t), se debe cumplir que:

null

F(ω) es la transformada del espectro de f(t). De aquí vemos que f(t) está siendo analizada en un número finito de componentes de frecuencia con amplitud infinitesimal igual a:

null

Consideraciones sobre la Transformada de Fourier

1. En general F(ω)  es una función compleja, que transforma una señal dada en sus componentes exponenciales;

2. F(ω) se llama la Transformada de Fourier directa de f(t), y representa las amplitudes relativas de varias componentes de frecuencia, así F(ω)  es la representación de f(t) en el dominio de la frecuencia:

null

3. La representación en el tiempo de f(t) especifica una función a cada valor del tiempo, mientras que F(ω)  especifica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la señal, para cada valor de frecuencia.

4. Así, F(ω)  es una función compleja con la siguiente forma:

null

F(ω) es una función compleja que puede ser representada gráficamente por la magnitud null y la fase Θ(ω)  versus la frecuencia. De esta manera, la gráfica de null  se llama Espectro Continuo de Amplitud de f(t), y la gráfica de Θ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de f(t). El espectro se dice que es un espectro continuo, ya que ambos, el de amplitud y el de fase de F(ω) , son funciones continuas de la frecuencia ω. Esta representación gráfica de ambos espectros se conoce como El Espectro de Frecuencia. Notar la diferencia que existe entre este espectro continuo y el espectro discreto generado por la Serie de Fourier.

5. En muchos casos F(ω) es real o imaginario puro. Por lo cual sólo se necesita una sola gráfica ya que:

null

Propiedades de la Transformada de Fourier

La relación entre una señal y su Transformada de Fourier se denotará de la siguiente manera:null

Lo siguiente es un resumen de las propiedades más resaltantes de la TF:

null

null

null

null

null

null

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
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Señales y Sistemas, Transformada de Laplace

Ejemplo de antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace (o antitransformada) podemos identificar la señal que corresponde en la tabla 1:

null
Tabla 1.

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descompondremos la transformada como combinación lineal de términos (descomposición en fracciones simples), cada uno de los cuales aparezca en la tabla 1. En el caso de que en las fracciones simples aparezcan polos complejos, se recomienda aplicar el siguiente procedimiento, en el cual se utiliza la fórmula de Euler para el coseno:

null

Ejemplo

Un ejemplo de F(s) con raíces complejas en el denominador es:

null

Descomponemos en fracciones simples:

null

Calculamos el valor de cada constante k:

null

null

null

null

Sustituimos estos valores en X(s) y aplicamos la antitransformada utilizando la línea en rojo de la Tabla 1, la exponencial. Factorizamos hasta donde sea posible:

null

Debido a que:nullObtenemos:

null

Por tanto:

null

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  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Laplace

La antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace podemos identificar la señal que corresponde a una señal exponencial, por ejemplo, en la siguiente tabla:

null

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descomponiendo la transformada como combinación lineal de términos, método conocido como Descomposición en fracciones simples. Suponga que tenemos una función con la siguiente estructura:

null

Los términos z y p son conocidos como ceros y polos de X(s), respectivamente.

1. En el caso de nm (función racional propia) y siendo los n polos simples, la descomposición que se puede hacer es de la forma:

null

Siendo k1, k2, …., kn, los residuos asociados  a cada polo. De esta forma reconocemos cada término como la transformada de una señal exponencial de la forma:

null

El residuo ki se puede evaluar mediante el siguiente algoritmo:

null

2. Si el polo p es complejo, irá acompañado de un polo complejo p*:

null

El residuo de estos polos será también complejo conjugado. Las antitranformadas de estos polos se combinan generando una sinusoide amortiguada:

null

Para una mejor discusión de este caso, ver: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Ejemplo 1

null

null

3. Si n=m, es decir, la transformada es una función racional impropia, antes de descomponer en fracciones simples haremos la división:

null

Ejemplo 2

null

SIGUIENTE:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
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Matemática aplicada - Appd Math, Probabilidades

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional de un evento A, dado un evento B con:nullEstá definida por: 
null

Esta última ecuación especifica una nueva ley de probabilidad (condicional) en el mismo espacio muestral Ω. En particular, todas las propiedades de las leyes de probabilidad siguen siendo válidas para las leyes de probabilidad condicional.

  • Las probabilidades condicionales también se pueden ver como una ley de probabilidad en un nuevo universo B, porque toda la probabilidad condicional se concentra en B.
  • Si los posibles resultados son finitos e igualmente probables, entonces:

null

Explicación

La probabilidad condicional nos proporciona una forma de razonar sobre el resultado de un experimento, basado en información parcial. Aquí hay algunos ejemplos de situaciones que tenemos en mente:

  • En un experimento que involucra dos tiradas sucesivas de un dado, le dicen que la suma de las dos tiradas es 9. ¿Qué tan probable es que la primera tirada fuera un 6?
  • En un juego de adivinanzas de palabras, la primera letra de la palabra es una “t”. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda letra sea “h”?
  • ¿Qué posibilidades hay de que una persona tenga una determinada enfermedad dado que un examen médico fue negativo?
  • Aparece un punto en una pantalla de radar. ¿Qué tan probable es que corresponda a un avión?

En términos más precisos, dado un experimento, espacios de muestra correspondientes y una ley de probabilidad, supongamos que sabemos que el resultado está dentro de un evento dado B. Deseamos cuantificar la probabilidad de que el resultado también pertenezca a otro evento dado A. Por lo tanto, buscamos construir una nueva ley de probabilidad que tenga en cuenta el conocimiento disponible: una ley de probabilidad que para cualquier evento A, especifique la probabilidad condicional de A dado B, denotado por P (AIB)

Una definición apropiada de probabilidad condicional cuando todos los resultados son igualmente probables viene dada por:null

Generalizando el argumento, presentamos la siguiente definición de probabilidad condicional:nullDónde asumimos que:
nullLa probabilidad condicional no está definida si el evento condicionante tiene probabilidad cero. En palabras, fuera de la probabilidad total de los elementos de B, P (AIB) es la fracción que se asigna a los posibles resultados que también pertenecen a A.

Fuentes:

  1. Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
  2. Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)

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Matemática aplicada - Appd Math, Probability

Conditional probability

The conditional probability of an event A, given an event with:nullIs defined by: 
null

This last equation specifies a new (conditional) probability law on the same sample space Ω. In particular, all properties of probability laws remain valid for conditional probability laws.

  • Conditional probabilities can also be viewed as a probability law on a new universe B, because all of the conditional probability is concentrated on B.
  • If the possible outcomes are finitely many and equally likely, then:

null

Explanation

Conditional probability provides us with a way to reason about the outcome of an experiment, based on partial information. Here are some examples of situations we have in mind:

  • In an experiment involving two successive rolls of a die, you are told that the sum of the two rolls is 9. How likely is it that the first roll was a 6?
  • In a word guessing game, the first letter of the word is a “t”. What is the likelihood that the second letter is “h”?
  • How likely is it that a person has a certain disease given that a medical test was negative?
  • A spot shows up on a radar screen. How likely is it to correspond to an aircraft?

In more precise terms, given an experiment, corresponding sample spaces, and a probability law, suppose that we know that the outcome is within some given event B. We wish to quantify the likelihood that the outcome also belongs to some other given event A. We thus seek to construct a new probability law that takes into account the available knowledge: a probability law that for any event A, specifies the conditional probability of A given B, denoted by P(AIB).

An appropriate definition of conditional probability when all outcomes are equally likely is given by:null

Generalizing the argument, we introduce the following definition of conditional probability:nullWhere we assume that:
nullThe conditional probability is undefined if conditioning event has zero probability. In words, out of the total probability of the elements of B, P(AIB) is the fraction that is assigned to possible outcomes that also belong to A.

Sources:

  1. Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
  2. Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)

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Ecuaciones Diferenciales, Matemática aplicada - Appd Math

Solución Total de una Ecuación Diferencial con condiciones iniciales

Para hallar la solución total de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) debemos realizar los siguientes pasos:

  1. Determinar la solución homogénea Yh(t) ;
  2. Evaluar la solución particular Yp(t) para la señal de entrada dada
  3. Hallar la solución total mediante la suma Yh(t) + Yp(t) ;
  4. Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).

Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden n, necesitaremos n condiciones iniciales para determinar la solución única.

Ecuación Diferencial de orden superior.
  1. Determinar la solución completa de la siguiente EDO:

null

Dónde:

null

RESPUESTA EJERCICIO 1.

La solución completa o total y(t) para una EDO viene dada por:

nullSolución homogénea

Para hallar la solución homogénea Yh(t)  suponemos F(t)=0. Es decir:

null

Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio D(p). Al igualar D(p)=0, formamos una ecuación denominada ecuación característica:

null

Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:

null

Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea Yh(t) (ver Anexos), podemos determinar que:

null

Solución particular

Utilizando el polinomio D(p) formamos la siguiente ecuación:

null

Es decir:

null

Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver anexo), podemos determinar Yp(t)  como:

null

Solución Total

Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t)  viene dada por:

null

Es decir:

null

Solución Única

Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 , C2 y C3 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico:

null

Resolviendo el sistema anterior obtenemos que:

null

Por tanto, la solución única es:

null

ANEXOS

null

null

null

null

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Ecuaciones Diferenciales, Física Aplicada, Matemática aplicada - Appd Math, Sistemas Mecánicos

Problema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales – Sistema masa, resorte, amortiguador.

La respuesta completa o solución completa de una ecuación diferencial ordinaria (EDO – que involucra derivadas de una función de una sola variable) está conformada por la suma de la respuesta transitoria y la respuesta permanente. La respuesta permanente es la solución asociada a una excitación F(t) del sistema. Es por ello que también se le conoce como respuesta forzada o solución particular. Cuando la excitación del sistema es nula, es decir F(t)=0, la respuesta del sistema se conoce como respuesta natural, transitoria, o solución homogénea.

Para hallar la solución total de una EDO debemos realizar los siguientes pasos:

  1. Determinar la solución homogénea Yh(t) ;
  2. Evaluar la solución particular Yp(t) para la señal de entrada dada
  3. Hallar la solución total mediante la suma Yh(t) + Yp(t) ;
  4. Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).

Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden n, necesitaremos n condiciones iniciales para determinar la solución única.

Presentamos a continuación tres ejemplos. El primero es un ejemplo para visualizar el método general de resolver ecuaciones diferenciales. Mientras, el segundo y el tercero están referidos al sistema masa-resorte-amortiguador en dos sistemas: MKS y sistema inglés. Las reglas utilizadas para resolver estas ecuaciones aparecen al final del artículo (Anexos).

Ecuación Diferencial de orden superior.
  1. Determinar la solución completa de la siguiente EDO:

nullDónde:

null

RESPUESTA EJERCICIO 1.

La solución completa o total y(t) para una EDO viene dada por:

nullSolución homogénea

Para hallar la solución homogénea Yh(t)  suponemos F(t)=0. Es decir:

null

Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio D(p). Al igualar D(p)=0, formamos una ecuación denominada ecuación característica:

null

Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:

null

Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea Yh(t) (ver Anexos), podemos determinar que:

null

Solución particular

Utilizando el polinomio D(p) formamos la siguiente ecuación:

null

Es decir:

null

Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver Anexos), podemos determinar Yp(t)  como:

nullSolución Total

Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t)  viene dada por:

nullEs decir:null

Solución Única

Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 , C2 y C3 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico:

null

Resolviendo el sistema anterior obtenemos que:

null

Por tanto, la solución única es:

null

Ejemplos - Sistema masa, resorte, amortiguador.

La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica de un sistema masa-resorte-amortiguador en particular, es la siguiente:

nullDonde:null

2. Sistema MKS: Resolver el problema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales para el siguiente sistema de resorte-masa-amortiguador. Se sabe que un peso de 10 N alarga un resorte 2 metros. El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 6 N para una velocidad de 2 m/seg. Se fija el resorte un peso de 10 N y se suelta el resorte desde una posición de 2 m debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 m/seg.

3. Sistema Inglés: Se sabe que un peso de 5 libras alarga un resorte 1 pulgada. El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 0.02 libras para una velocidad de 2 pulg/seg. Se fija al resorte un peso de 2 libras y se suelta el resorte desde una posición de 2 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 pulg/seg.

Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo). Luego, cada parte del enunciado del problema representa cada una de las fuerzas que intervienen en la ecuación (1). Aplicamos superposición una vez más y evaluamos cada fuerza por separado. Sustituimos los valores dados en el enunciado para hallar el valor de las constantes KaKr y m.

RESPUESTA EJERCICIO 2.

  1. Sistema MKS:

Se sabe que un peso de 10 N (Fr) alarga el resorte 2 metros (y):

nullDónde:nullPor tanto:null

El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 6 N (Fa) para una velocidad de 2 m/seg (va).  Es decir:nullDónde:nullPor tanto:null

Se fija el resorte un peso de 10 N (w) y se suelta el resorte desde una posición de 2 m (y0) debajo de la posición de equilibrio. Es decir:

null

La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica es la siguiente:

null

Solución homogénea

Para hallar la respuesta natural, suponemos F(t)=0, es decir:

null

La manera más práctica de resolver esta ecuación es reordenarla y expresarla en su forma estándar, es decir, como un polinomio en el cual el coeficiente de grado más alto (el que acompaña a la derivada más alta) es igual a uno.

Dividimos cada término del polinomio entre m, haciendo el primer coeficiente de la ecuación igual a 1:nullSustituyendo los valores del problema 2 en la anterior ecuación, obtenemos:

nullAplicamos el operador P=dy/dt:

null

Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:

null

Se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz vienen dadas por:

null

Solución particular

Utilizando el polinomio D(p) formamos la siguiente ecuación:

null

Es decir:

null

Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver Anexos), podemos determinar Yp(t)  como:

null

Solución Total

Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t)  viene dada por:

nullEs decir:null

Solución Única

Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 y C2 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico.

Se suelta el resorte desde una posición de 2 m debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 m/seg. Es decir:

null

Utilizando la ecuación para la solución total y(t), obtenemos las siguientes ecuaciones del sistema para t=0:

null

De donde obtenemos que:

null

Por tanto la solución única según las condiciones iniciales, es:

null

RESPUESTA EJERCICIO 3

2. Sistema Inglés:

Se sabe que un peso de 5 libras (Fr) alarga el resorte 1 pulgada (y). Es decir:

nullDe dónde:nullPor tanto:

null

El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 0.02 libras (Fa) para una velocidad de 2 pulg/seg (va).  Es decir:

nullDónde:null

Por tanto:

null

Se fija el resorte un peso de 2 libras (w) y se suelta el resorte desde una posición de 2 pulgadas (y0) debajo de la posición de equilibrio. Es decir:

null

La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica es la siguiente:

null

Para hallar la respuesta natural, suponemos F(t)=0, es decir:

null

La manera más práctica de resolver esta ecuación es reordenarla y expresarla en su forma estándar, es decir, como un polinomio en el cual el coeficiente de grado más alto (el que acompaña a la derivada más alta) es igual a uno.

Dividimos cada término del polinomio entre m, haciendo el primer coeficiente de la ecuación igual a 1:

nullSustituyendo valores:

null

Es decir:

null

Aplicamos el operador p=dy/dt:

null

Calculamos las raíces que anulan el polinomio anterior (matlab):

null

Se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz (respuesta natural) vienen dadas por:

null

…En construcción…

ANEXOS

null

null

null

null

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – WhatsApp: +34 633129287 – Atención Inmediata!!

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Matemática aplicada - Appd Math, Probabilidades

Modelo probabilístico – Axiomas.

Un modelo probabilístico es una descripción matemática de una situación incierta. Debe estar de acuerdo con un marco teórico fundamental que tenga dos ingredientes principales: null

Introducción

Un modelo probabilístico es una descripción cuantitativa de una situación, un fenómeno o un experimento cuyo resultado es incierto. Elaborar un modelo de este tipo implica dos pasos claves.

Primero, necesitamos describir los posibles resultados del experimento. Esto se hace especificando un Espacio Muestral del experimento y se denota con Ω.

En segundo lugar, especificamos una ley de probabilidad, que asigna probabilidades a los resultados o a colecciones de resultados. La ley de probabilidad nos dice, por ejemplo, si un resultado es mucho más probable que otro resultado.

Las probabilidades tienen que satisfacer ciertas propiedades básicas para ser significativas. Estos son los axiomas de la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, las probabilidades no pueden ser negativas. Curiosamente, habrá muy pocos axiomas, pero son poderosos y veremos que tienen muchas consecuencias. Veremos que implican muchas otras propiedades que no eran parte de los axiomas.

Espacio de muestra Ω y Evento (The sample space Ω)

Cada modelo probabilístico implica un proceso subyacente, llamado experimento, que producirá exactamente uno de varios resultados posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se denomina Espacio Muestral del experimento y se denota con Ω. Un subconjunto del espacio muestral, es decir, una recopilación de posibles resultados, se denomina Evento. Es importante tener en cuenta que en nuestra formulación de un modelo probabilístico, solo hay un experimento.

El espacio muestral de un experimento puede consistir en un número finito o infinito de resultados posibles. Los espacios muestrales finitos son conceptualmente y matemáticamente más simples. Aún así, los espacios muestrales con un número infinito de elementos son bastante comunes. Como ejemplo, considere lanzar un dardo sobre un objetivo cuadrado y ver el punto de impacto como resultado.

Independientemente de su número, los diferentes elementos del espacio muestral deben ser distintos y mutuamente excluyentes, de modo que, cuando se lleve a cabo el experimento, haya un resultado único.

Generalmente, el espacio muestral elegido para un modelo probabilístico debe ser colectivamente exhaustivo, en el sentido de que no importa lo que suceda en el experimento, siempre obtenemos un resultado que se ha incluido en el espacio muestral. Además, el espacio de muestra debe tener suficientes detalles para distinguir entre todos los resultados de interés para el modelador, mientras se evitan los detalles irrelevantes.

Para resumir: este conjunto denominado Espacio Muestral debe ser tal que, al final del experimento, siempre se pueda señalar uno y exactamente uno de los posibles resultados y decir que este es el resultado que se produjo. Los resultados físicamente diferentes deben distinguirse en el espacio muestral y corresponder a puntos distintos. Pero cuando decimos resultados físicamente diferentes, ¿qué queremos decir? Realmente queremos decir diferente en todos los aspectos relevantes, pero quizás no diferente en aspectos irrelevantes.

Leyes de Probabilidad

Supongamos que nos hemos asentado en el espacio muestral Ω asociado con un experimento en particular, proceso esbozado en el apartado anterior. Para completar el modelo probabilístico, ahora debemos introducir una Ley de Probabilidad.

Intuitivamente, una ley de probabilidad especifica la “probabilidad” de cualquier resultado , o de cualquier conjunto de posibles resultados (un evento, como lo llamamos antes) que forman parte del espacio muestral Ω. Más precisamente, la ley de probabilidad asigna a cada evento A, un número P (A), denominado probabilidad de A, que satisface los siguientes axiomas:

1. No negatividad.

null

2. Aditividad. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces la probabilidad de su unión satisface lo siguiente:

null

Más genéricamente, si el espacio muestral  tiene un número infinito de eventos y A1, A2, A3, A4,… es una secuencia de conjuntos disjuntos de eventos, entonces la probabilidad de su unión satisface lo siguiente:

null

3. Normalización. La probabilidad de todo el espacio muestral  es igual a 1:

null

Para visualizar en que consiste la ley de probabilidad, considere una unidad de masa que se “extiende” sobre todo el espacio muestral Ω. Entonces, P (A) es simplemente la masa total que fue asignada colectivamente a los elementos de A. En términos de esta analogía, el axioma de aditividad se vuelve bastante intuitivo: la masa total en una secuencia de eventos (o conjunto de eventos) separados es la suma de sus masas individuales

Hay muchas propiedades naturales que pueden derivarse de los anteriores enunciados. Por ejemplo, utilizando los axiomas de normalización y aditividad podemos encontrar la probabilidad del evento vacío (o conjunto vacío) P (Ø) como sigue

null

Esto implica que:

null

Modelo Discreto - Ley de probabilidad discreta

Si el espacio muestral consiste en un número finito de resultados posibles, entonces la ley de probabilidad se especifica por las probabilidades de los eventos que consisten en un solo elemento. En particular, la probabilidad de cualquier  evento {s1, s2, …., sn} es la suma de las probabilidades de cada uno de sus elementos:

null

En el caso especial donde las probabilidades P(s1), P(s2), …, P(sn) son todas de un mismo valor, tomando en cuenta el axioma de normalización, obtenemos la siguiente ley.

Discrete Uniform Probability Law 

Si el espacio muestral consta de n resultados posibles que son igualmente probables (es decir, todos los eventos de un solo elemento tienen la misma probabilidad), la probabilidad de cualquier evento A nos es dada por:

null

Modelo Continuo

Los modelos discretos son conceptualmente mucho más fáciles. Los modelos continuos implican algunos conceptos más sofisticados. Los modelos probabilísticos con espacio muestral continuo se diferencian de sus homólogos discretos en que las probabilidades de los eventos de un solo elemento pueden no ser suficientes para caracterizar la ley de probabilidad.

Propiedades de las leyes de probabilidad

Las leyes de probabilidad tienen una serie de propiedades, que pueden deducirse de los axiomas. Algunos de ellas se resumen a continuación.:

null

El rol de la teoría de probabilidades.

La teoría de la probabilidad puede ser una herramienta muy útil para hacer predicciones y decisiones que se aplican al mundo real. Ahora, si sus predicciones y decisiones serán buenas dependerá de si ha elegido un buen modelo. ¿Has elegido un modelo que proporcione una representación suficientemente buena del mundo real? ¿Cómo se asegura de que este sea el caso? Existe todo un campo, el campo de las estadísticas, cuyo propósito es complementar la teoría de la probabilidad utilizando datos para obtener buenos modelos. Y así tenemos el siguiente diagrama que resume la relación entre el mundo real, las estadísticas y la probabilidad. El mundo real genera datos. El campo de estadística e inferencia utiliza estos datos para generar modelos probabilísticos. Una vez que tenemos un modelo probabilístico, utilizamos la teoría de la probabilidad y las herramientas de análisis que nos proporciona. Y los resultados que obtenemos de este análisis conducen a predicciones y decisiones sobre el mundo real. Video sugerido: Interpretation and uses of Probability

 

null

 

Fuentes:

  1. Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
  2. Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Matemática aplicada - Appd Math, Probability

Probabilistic model – models and axioms.

A probabilistic model is a mathematical description of an uncertain situation. It must be in accordance with a fundamental framework which has two main ingredients:

null

Introduction

A probabilistic model is a quantitative description of a situation, a phenomenon, or an experiment whose outcome is uncertain. Putting together such a model involves two key steps.

First, we need to describe the possible outcomes of the experiment. This is done by specifying a so-called sample space .

Second, we specify a probability law, which assigns probabilities to outcomes or to collections of outcomes. The probability law tells us, for example, whether one outcome is much more likely than some other outcome.

Probabilities have to satisfy certain basic properties in order to be meaningful. These are the axioms of probability theory. For example probabilities cannot be negative. Interestingly, there will be very few axioms, but they are powerful, and we will see that they have lots of consequences. We will see that they imply many other properties that were not part of the axioms.

Sample space and Events

Every probabilistic model involves an underlying process, called the experiment,  that will produce exactly one out of several possible outcomes. The set of all possible outcomes is called the sample space of the experiment, and is denoted by . A subset of the sample space, that is, a collection of possible outcomes, is called an Event. It is important to note that in our formulation of a probabilistic model, there is only one experiment.

The sample space of an experiment may consist of a finite or an infinite number of possible outcomes. Finite sample spaces are conceptually and mathematically simpler. Still, sample spaces with an infinite number of elements are quite common. As an example, consider throwing a dart on a square target and viewing the point of impact as the outcome.

Regardless of their number, different elements of the sample space should be distinct and mutually exclusive, so that, when the experiment is carried out, there is a unique outcome.

Generally, the sample space chosen for a probabilistic model must be collectively exhaustive, in the sense that no matter what happens in the experiment, we always obtain an outcome that has been included in the sample space. In addition, the sample space should have enough detail to distinguish between all outcomes of interest to the modeler, while avoiding irrelevant details.

To summarize– this set should be such that, at the end of the experiment, you should be always able to point to one, and exactly one, of the possible outcomes and say that this is the outcome that occurred. Physically different outcomes should be distinguished in the sample space and correspond to distinct points. But when we say physically different outcomes, what do we mean? We really mean different in all relevant aspects but perhaps not different in irrelevant aspects.

Probability Laws

Suppose we have settled on the sample space associated with an experiment. To complete the probabilistic model, we must now introduce a Probability Law.

Intuitively, a probability law specifies the “likelihood” of any outcome, or of any set of possible outcomes (an event, as we called it early). More precisely, the probability law assigns to every event A, a number P(A), called the probability of A, satisfying the following axioms:

1. Nonnegativity.

null

2. Additivity. If A and B are two disjoints events, then the probability of their union satisfies the following:

null

More generally, if the sample space has an infinite number of elements and A1, A2, A3, A4,… is a sequence of disjoint events, then the probability of their union satisfies:

null

3. The probability of the entire sample space is equal to 1, that is:

null

In order to visualize a probability law, consider a unity of mass which is “spread” over the sample space . Then, P(A) is simply the total mass that was assigned collectively to the elements of A. In terms of this analogy, the additivity axiom becomes quite intuitive: the total mass in a sequence of disjoint events is the sum of their individual masses.

There are many natural properties of a probability law which can be derived from them. For example, using the normalization and additivity axioms we may find out the probability of the empty event P(Ø) as following:

null

This implies that:

null

Discrete Model - Discrete Probability Law 

If the sample space consists of a finite number of possible outcomes, then the probability law is specified by the probabilities of the events that consist of a single element. In particular, the probability of any event {s1, s2, …., sn} is the sum of the probabilities of its elements:

null

In the special case where the probability P(s1), P(s2), …, P(sn) are all the same, in view of the normalization axiom we obtain the following law.

Discrete Uniform Probability Law 

If the sample space consists of n possible outcomes which are equally likely (i.e., all single-element events have the same probability), the probability of any event A us given by:

null

Continuous Model

Discrete models are conceptually much easier. Continuous models involve some more sophisticated concepts.

Probabilistic models with continuous sample space differ from their discrete counterparts in that the probabilities of the single-element events may not be sufficient to characterize the probability law.

Properties of Probability Laws

Probability laws have a number of properties, which can be deduced from the axioms. Some of them are summarized below:

null

The role of Probability Theory

Probability theory can be a very useful tool for making predictions and decisions that apply to the real world. Now, whether your predictions and decisions will be any good will depend on whether you have chosen a good model. Have you chosen a model that’s provides a good enough representation of the real world? How do you make sure that this is the case? There’s a whole field, the field of statistics, whose purpose is to complement probability theory by using data to come up with good models. And so we have the following diagram that summarizes the relation between the real world, statistics, and probability. The real world generates data. The field of statistics and inference uses these data to come up with probabilistic models. Once we have a probabilistic model, we use probability theory and the analysis tools that it provides to us. And the results that we get from this analysis lead to predictions and decisions about the real world.  Suggested video: Interpretation and uses of Probability

null

 

Sources:

  1. Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
  2. Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)

Literature review made by:

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