Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Problemas resueltos – Corriente continua

La siguiente guía en PDF contiene ejercicios de circuitos en corriente continua. Cada problema tiene un costo de 8.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 16.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal.

Problema 1

Para el circuito de la Figura 1 se desea obtener la corriente de todos los elementos del circuito.

    1. Usar el método más adecuado (análisis por mallas) y explicar por qué ese método
    2. Usa otro método (corriente de nudos) y comprobar la solución
    3. Realizar balance de potencias

null

Figura 1

null

Problema 2

En el circuito de la Figura 2, determinar la resistencia equivalente entre los terminales a y b.

null

Figura 2

null

Problema 3

En el circuito de la Figura 3 se necesita determinar el valor de la tención Vab por el método de superposición. A partir del resultado anterior hallar la resistencia entre los nudos X y Y para lograr máxima transferencia de potencia y determinar el valor de esa potencia.

null

Figura 3

null

Problema 4

La tensión V1 y la corriente I1 del circuito de la Figura 4 se quieren ajustar de manera que la potencia que se entregue a la carga RL sea de 10 W y que cada fuente produzca la misma potencia en la carga. El valor de RL se ajusta de manera que se le transfiera la máxima potencia posible. Calcular RL, V1 e I1.

.null

Figura 4

null

Método de pago: Paypal

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Ubicación de los polos de un sistema RLC

Para un circuito RLC en serie como el de la Figura 1, identifica la posición de los polos que corresponden para cada valor de la resistencia R, la bobina L y el capacitor C:

null

Figura 1

La ecuación del sistema es:

null

Por lo tanto, la ecuación característica para un circuito RLC en serie es:

null

Las raíces de la ecuación característica (los polos del sistema RLC en serie) son:

null

Para un circuito RLC en paralelo como el de la Figura 2:

null

Figura 2

La ecuación del sistema es:

null

Por lo tanto, la ecuación característica para un circuito RLC en paralelo es:

null

Las raíces de la ecuación característica (los polos del sistema RLC en paralelo) son:

null

Ejemplo

Supongamos que en un circuito RLC en paralelo, los valores de la resistencia, la bobina y el capacitor son iguales a:

null

Las raíces de la ecuación característica son:

null

Sustituyendo valores:

null

Los polos del sistema son:

null

Es una respuesta sobreamortiguada porque son raíces negativas reales y distintas.

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Señales y Sistemas

Respuesta de circuito RC para una entrada onda cuadrada

Problema 1. Se debe analizar el comportamiento del circuito de la Figura 1, para los valores R y C indicados en la Figura. El generador de onda cuadrada de la Figura 2 tiene una frecuencia de 1 KHz y oscila entre 10 V y 0V. El análisis incluye la resolución analítica de la tensión del condensador durante 1 período de la señal del generador.

null

Figura 1

null

Figura 2

Respuesta:

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Problema de redes eléctricas en régimen transitorio sinusoidal (RTS) – RC

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2. En el circuito de la Figura 3, el interruptor se abre en t=0. Se debe analizar el comportamiento del circuito para diferentes valores de la resistencia R. Este análisis incluye la resolución analítica de la corriente de la bobina.

null

Figura 3

Respuesta:

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Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Circuito RC – Análisis mediante Simulink

Objetivo del taller: Simular el comportamiento del circuito eléctrico de la figura 1 utilizando la herramienta de Matlab Simulink:

null

Figura 1

Considerar para los componentes los valores que se indican a continuación:

null

Para cada uno de los circuitos (casos a y b) llevar a cabo las siguientes acciones:

  1. Obtener la función de transferencia.
  2. Realizar un diagrama de bloques en Simulink y obtener la respuesta del circuito a una entrada escalón (step)
    1. Puesto que son sistemas muy rápidos, para realizar la simulación hay que cambiar los valores que Simulink usa por defecto: simular durante 0.05 s en el caso a) y 0.005 s en el caso b).
    2. No olvidar poner el comienzo del escalón unitario en el instante t=0 (doble click sobre el bloque ‘step’ una vez situado en la ventana en la que estamos haciendo el modelo y cambir ‘step time’ a 0)
  3. Calcular sobre la gráfica obtenida en el osciloscopio la constante de tiempo del sistema, la ganancia estática y su tiempo de establecimiento.
  4. Verificar analíticamente los resultados obtenidos en la simulación, es decir, compararlos con los valores que se obtienen al hacer los cálculos matemáticos.
  5. ¿Qué relación hay entre el valor de la constante de tiempo y la velocidad de respuesta del sistema?
  6. Cambiar la entrada y obtener la respuesta del circuito a una entrada rampa unitaria (ramp).
  7. Medir el error en el estado estacionario para los dos circuitos. ¿Qué relación hay entre el valor medido y la constante de tiempo de cada sistema?
Respuesta
  1. Obtener la función de transferencia

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff al circuito de la figura 1 obtenemos la siguiente relación:null

Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero y aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior obtenemos:nullEs decir:null

De donde:nullLa salida es vo(t):null

La transformada de Laplace de la salida vo(t) es:null

De donde obtenemos la función de trasferencia del sistema:

null

En el caso del sistema a):

nullnullnull

En el caso del sistema b):

nullnullnull

  1. Realizar un diagrama de bloques en Simulink y obtener la respuesta del circuito a una entrada escalón (step)

El siguiente diagrama de bloques representa en general a un sistema de primer orden como lo es la función de transferencia del sistema de la figura 1:

null

Figura 2

En el diagrama de bloques de la figura 2, la variable T es la constante de tiempo del sistema. En el caso del sistema de figura 1, la contante de tiempo del sistema es:

Sistema a):

null

Sistema b):

null

Simulación en Simulink

En Simulink corremos la simulación para el sistema general de la Figura 2 para una entrada escalón unitario y T=1 s, y obtenemos:       null

Figura 3

En la gráfica 1 el tiempo está representado por el eje de las abscisas mientras la amplitud de la salida está representada en el eje de las ordenadas. Y en una gráfica más amplia de la pantalla del scope (Figura 4) podemos ver que la salida sigue a la entrada en estado estable, es decir, su valor final es uno, mientras que en t=T=1 s, la respuesta del sistema ha alcanzado alrededor del 63,2% de su valor final, es decir, 0.633, como lo señala la definición teórica de constante de tiempo de un sistema de primer orden.

null

Gráfica 1

Hacemos la simulación para los sistemas a) y b):

Sistema a):

null

nullnullGráfica 2

La gráfica 2 muestra la forma de la curva para el voltaje de salida del sistema de la figura 1, típica respuesta para un sistema RC en serie, donde se espera que el voltaje en el capacitor sea cero en t=0 s, para luego aumentar exponencialmente hasta igualarse en valor al voltaje de entrada (vin=1, escalón unitario) cuando ha transcurrido bastante tiempo, es decir, en estado estable, cuando el capacitor se comporta como un circuito abierto.

Sistema b):

null

null

null

Gráfica 3

La gráfica 3 muestra nuevamente la forma de la curva para el voltaje de salida del sistema de la figura 1. La única diferencia con respecto a la respuesta de la gráfica 2 es que el tiempo está multiplicado por un factor 10-4, en vez de 10-3,es decir, el sistema b) es 10 veces más rápido que el sistema a).

  1. Calcular sobre la gráfica obtenida en el osciloscopio la constante de tiempo del sistema, la ganancia estática y su tiempo de establecimiento.

Sistema a)

null

Gráfica 4

En la gráfica 4 repetimos la gráfica 2, señalando los parámetros del sistema. La constante de tiempo es T=0.52 ms aproximadamente, mientras que aplicando el criterio del 2% podemos ver que el tiempo de establecimiento es de 2 ms, cuando la salida está a 0.02 puntos de alcanzar su valor final. La ganancia estática es 1.

Sistema b)

null

Gráfica 5

En la gráfica 5 repetimos la gráfica 3, señalando los parámetros del sistema. La constante de tiempo es T=0.052 ms aproximadamente, mientras que aplicando el criterio del 2% podemos ver que el tiempo de establecimiento es de 0.2 ms, cuando la salida está a 0.02 puntos de alcanzar su valor final. La ganancia estática es 1.

  1. Verificar analíticamente los resultados obtenidos en la simulación, es decir, compararlos con los valores que se obtienen al hacer los cálculos matemáticos.

Ya habíamos visto que el siguiente diagrama de bloques representa en general a un sistema de primer orden:

null

Figura 4

La función de transferencia del sistema general de la figura 4 la podemos obtener mediante:

null

En la ecuación (1), T es la constante de tiempo de un sistema de primer orden. Por otra parte, según el criterio del 2%, el tiempo de establecimiento ts en el caso de un sistema de primer orden es:

null

Para cada uno de los sistemas estudiados, a continuación se muestra la función de transferencia con la misma forma de la ecuación (1), la constante de tiempo y el tiempo de establecimiento según el criterio del 2%:

Sistema a):

null

Si comparamos estos resultados con la simulación hecha en Simulink para el sistema a) vemos que se aproximan los valores de ambos resultados:

null

Sistema b):

null

Si comparamos estos resultados con la simulación hecha en Simulink para el sistema b) vemos que se aproximan los valores de ambos resultados:

null

En cuanto a la ganancia estática, se constata que al obtener el límite cuando t tiende a infinito (s tiende a cero) el valor en estado estable de cada sistema es 1, tal cual como se ve en la simulación de cada sistema:

null

  1. ¿Qué relación hay entre el valor de la constante de tiempo y la velocidad de respuesta del sistema?

La relación entre valor de la constante de tiempo T y la velocidad de respuesta del sistema es la siguiente:

  1. Cuando ha pasado un tiempo t=T, el sistema ha alcanzado el 63,2% de su valor final;
  2. Cuando ha pasado un tiempo t=2T, el sistema ha alcanzado el 86,5% de su valor final;
  • Cuando ha pasado un tiempo t=3T, el sistema ha alcanzado el 95% de su valor final;
  1. Cuando ha pasado un tiempo t=4T, el sistema ha alcanzado el 98.2% de su valor final;
  2. Cuando ha pasado un tiempo t=5T, el sistema ha alcanzado el 99.3% de su valor final;

Para poner un ejemplo, ubicamos en la gráfica 6, generada por la simulación para el sistema b) , el valor de la salida para t=3T, corroborando que la salida ya ha alcanzado un valor de 0.95 (95% de su valor final):

null

null

Gráfica 6

También cabe resaltar, como se dijo antes, que el sistema b) es más rápido que el a) porque su constante de tiempo es más pequeña. En conclusión, mientras más pequeña sea la constante de tiempo de un sistema, más rápido es.

  1. Cambiar la entrada y obtener la respuesta del circuito a una entrada rampa unitaria (ramp).

Sistema a):

null

null

Gráfica 7

Sistema b):

null

null

Gráfica 8

  1. Medir el error en el estado estacionario para los dos circuitos. ¿Qué relación hay entre el valor medido y la constante de tiempo de cada sistema?

Por medio de las gráficas 1 y 2 para cada sistema podemos ver que en ambos casos, cuando la entrada es la función escalón unitario, el error en estado estacionario es cero, es decir, el valor de la salida es 1 en estado estacionario, igual al valor de la entrada.

Por otra parte, para visualizar el error en estado estable cuando la entrada es la rampa unitaria, veamos la siguiente gráfica en el caso del sistema a), donde la curva amarilla es la respuesta del sistema y la curva azul es la entrada:

null

Gráfica 9

En la gráfica 9 podemos ver que después una constante de tiempo, el error en estado estable en el sistema a) es aproximadamente de 0.5×10-3. En cuanto al sistema b) cuya entrada y salida se muestran en la gráfica 10, este error es de 0.5×10-4.

null

Gráfica 10

Para corroborar estas afirmaciones vamos a calcular el error en estado estable analíticamente.

Para medir el error en estado estacionario  utilizamos las constantes de posición y velocidad kp y kv, respectivamente, de cada sistema:

Sistema a):

null

Se confirma que el error en estado estacionario del sistema a) para la entrada escalón unitario es:

null

Mientras, el error en estado estacionario del sistema a) para la entrada rampa unitaria es:

null

Como se puede ver, estos resultados corroboran aquellos obtenidos mediante la gráfica para el sistema a). Igual sucede para el sistema b)

Sistema b):

null

De acuerdo con estos últimos resultados es clara la relación que existe entre la constante de tiempo y el error en estado estable para la entrada rampa. Ambos valores son iguales.

Siguiente:

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Problemas de circuitos de segundo orden RLC

Problema 1 de circuito de segundo orden RLC. Considere el circuito de la Figura 1: 
null

Figura 1

Se pide determinar lo siguiente:

  1. Determine la expresión para VC(t) para t≥0.
  2. Determine la expresión para IL(t) para t≥0.
  3. Se podría modificar el amortiguamiento del circuito cambiando R1? Justifique su respuesta.
Respuesta:

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Problema de circuito de 2do orden RLC

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Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
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La respuesta natural de un circuito RLC en paralelo – definición y ejemplos

El primer paso para determinar la respuesta natural del circuito RCL, consiste en deducir la ecuación diferencial que debe cumplir la tensión v(t). de la figura siguiente:

null

Figura 1

Se elige determinar la tensión primero, ya que es la misma para cada componente. Después, es posible encontrar la corriente de rama utilizando la relación de corriente-tensión para el elemento de cada rama.

Se obtiene fácilmente la ecuación diferencial para la tensión sumando las corrientes que se alejan del nudo superior, donde cada corriente se expresa como una función de la tensión desconocida v(t):

null

Si diferenciamos con respecto a t, eliminamos la integral de la ecuación:

null

Ahora ordenamos la ecuación en su forma estándar:

null

Esta es la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes.

Al resolver esta ecuación diferencial de segundo orden encontramos que la respuesta natural del circuito RLC en paralelo es de la forma:

null

Donde s1 y s2 son las raíces de la ecuación característica.

Las raíces de la ecuación característica (s1 y s2) están determinadas por los parámetros del circuito RLC. Las condiciones iniciales determinan los valores de A1 y A2. Hay que tener en cuenta que la ecuación (1) habría que cambiarla si s1 y s2 son iguales.

El comportamiento de v(t) depende del valor de s1 y s2. En consecuencia, el primer paso en la determinación de la respuesta natural corresponde a determinar las raíces de la ecuación característica:

null

Dónde:

null

Existen tres posibles resultados. Primero, si null, ambas raíces serán reales y distintas. Aquí se dice que la respuesta de la tensión será sobre-amortiguada. Segundo, si null, tanto s1 como s2 serán complejas, y además, conjugadas entre sí. En esta situación se dice que la respuesta de la tensión será sub-amortiguada. El tercer caso es que null. En este caso, s1 y s2 serán reales e iguales. En este caso, la respuesta de la tensión será amortiguada críticamente.

Ejemplo:

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Respuesta al escalón unitario de un circuito RC – Definición y ejemplos

Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:

null

Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador. Sumando las corrientes que se alejan del nudo superior se obtiene la ecuación diferencial:

null

Si la ecuación anterior la dividimos por C obtenemos:

null

Al resolver esta ecuación, vemos que:

null

La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

null

Así, en términos de la constante de tiempo:

null

La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la corriente inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la corriente. La corriente en el condensador se determina directamente mediante:

null

Donde V0 es el valor inicial del condensador.

Ejemplos:

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Sin categoría

Respuesta natural y forzada de un circuito RC – Definición y ejemplos

La respuesta natural de un circuito RC se puede determinar a partir del siguiente ejemplo:

null

Respuesta natural

Suponemos que el interruptor ha estado en la posición “a” por mucho tiempo, lo que permite que el lazo formado por la fuente de tensión constante, Vg, la resistencia R1 y el condensador c alcancen una posición de estado permanente.

Hay que tener en cuenta que el condensador se comporta como un circuito abierto cuando se le aplica una tensión constante. De tal modo, la fuente de tensión no puede sostener una corriente y, por ello, la tensión de la fuente aparece en las terminales del condensador. Debido a que no hay cambio instantáneo de la tensión en los terminales de un condensador, el problema queda reducido a resolver el siguiente circuito:

null

Podemos encontrar fácilmente la tensión v(t) pensando en términos de tensiones en los nudos. Utilizando el nudo inferior de R y C como nudo de referencia y sumando la corriente que se aleja del nudo superior:

null

Al resolver esta ecuación (ver Sistema de primer orden), obtenemos que:

null

Como se ha determinado antes, la tensión inicial del condensador es igual a la tensión de la fuente de tensión Vg:

null

dónde v(0)  es la tensión inicial en el condensador. La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

null

Así, en términos de la constante de tiempo:

null

La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la tensión. La siguiente gráfica representa la ecuación de v(t)  y la interpretación gráfica de la constante de tiempo.

null

Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

null

El cálculo de la respuesta natural de un circuito RC se puede resumir en:

  1. Determinar la tensión inicial V(0), en el condensador.
  2. Encontrar la constante de tiempo en el circuito.
  3. Utilizar la ecuación:

null

Ejemplos:
Respuesta forzada

 Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:

null

Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador equivalente.

null

Si ecuación la dividimos por C,

null

Resolviendo esta ecuación (ver Sistema de primer orden) obtenemos que la respuesta completa, natural más forzada, del voltaje del condensador es:

null

Dónde:

null

Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

null

Ejemplo:
  1. Considerar el siguiente ejemplo:

2. Hallar la corriente del nudo A al B:

null

Respuesta:

null

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Respuesta al escalón unitario de un circuito RL – Definición y ejemplos

Para empezar el análisis de la respueta al escalón del circuito RL se considera el circuito de primer orden siguiente:

null

Vamos a expresar la tensión en la bobina después de cerrarse el interruptor en términos de la corriente. Usamos el análisis de circuitos para obtener la ecuación diferencial que describe al circuito en términos de la variable de interés y luego se usa el cálculo elemental para resolver la ecuación. Después de cerrarse el interruptor, para t≥0  la LVK impone:null

Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:

nullCuando la energía inicial de la bobina es cero,  Io=0, la ecuación anterior queda reducida a:null

Esta ecuación indica que después de que el interruptor se ha cerrado, la corriente aumenta desde 0 hasta un valor final de Vs/R. Es decir, al principio el inductor actúa como un circuito abierto, y luego se estabiliza como un corto circuito. 

Constante de tiempo

La expresión para i(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:

null

En términos de la contante de tiempo:

null

La constante de tiempo del circuito determina la velocidad de crecimiento. Una constante de tiempo después de que se ha cerrado el interruptor, la corriente habrá alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final:

null

La siguiente gráfica refleja este comportamiento:

null

Con la expresión para i(t) podemos hallar la tensión en la bobina:

null

Podemos notar que la tensión en la bobina es cero antes de que se cierre el interruptor. Luego, al cerrar el interruptor, se ubica abruptamente en el valor de Vs – I(0)R. Esto indica que la bobina se opone a un cambio instantáneo en la corriente, y la mantiene en un valor de I(0) justo después de cerrar el interruptor. Luego decae exponencialmente hasta cero. Cuando la corriente inicial I(0) =0, la ecuación para v(t) se simplifica a:null

Si la corriente inicial es 0, la tensión en la bobina es Vs. También se espera que la tensión de la bobina se acerque a 0 cuando t aumenta, debido a que la corriente en el circuito se está aproximando al valor constante Vs/R. En la figura siguiente se representa la tensión y la relación entre la constante de tiempo y la tasa inicial a la cual está disminuyendo la tensión en la bobina.

null

Ejemplo:

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La respuesta natural y forzada de un circuito RL – Definición y ejemplos

La respuesta natural de un circuito RL se puede describir a través del siguiente ejemplo:null

Suponemos que la fuente de corriente independiente genera una corriente constante Is, y que el interruptor ha estado cerrado durante largo tiempo (todas las corrientes y tensiones han alcanzado un valor constante). Sólo las corrientes constantes o cd pueden existir en el circuito antes de que se abra el interruptor y, por tanto, la bobina se presenta como un corto circuito (Ldi/dt =0) antes de liberar la energía almacenada.

Antes de abrir el interruptor:

null

Debido a que la bobina está en corto circuito, la tensión en la rama inductiva es cero y no hay corriente en R0 ni en R. Por tanto, toda la corriente Is de la fuente aparece en la rama inductiva.

El cálculo de la respuesta natural requiere encontrar la tensión y la corriente en los terminales de la resistencia después de que se haya abierto el interruptor, esto es, después de desconectarse la fuente y cuando la bobina empieza a liberar energía. Si se deja que t=0 sea el instante en que el interruptor se abre, el problema consistirá en encontrar v(t) e i(t)  para t=0.

Para t≥0 el circuito queda reducido a:

null

Para determinar i(t), aplicamos la ley de las voltajes de Kirchhoff. La suma de las tensiones alrededor del lazo cerrado produce:

null

Donde se usa la convención pasiva de signos. La ecuación anterior se conoce como ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que contiene términos que implican la derivada ordinaria de una incógnita, esto es, di/dt. El orden más alto de la ecuación es 1, de ahí el término primer orden.

Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:

nullDonde Io se puede calcular de despejar:

null

La siguiente gráfica muestra el comportamiento de i(t):

null

Constante de tiempo

La expresión para i(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:

null

Mediante la constante de tiempo, podemos determinar importantes parámetros del circuito, como los siguientes:

null

Resumen del cálculo de la respuesta natural RL.

El cálculo de la respuesta natural de un circuito RL se puede resumir así:

  • Se determina la corriente inicial Io a través de la bobina.
  • Se encuentra la constante de tiempo del circuito.
  • Se utiliza la ecuación de i(t) para generar i(t) a partir de Io y t.
  • El resto de corrientes y tensiones en el circuito se pueden obtener a partir de i(t).
Ejemplo:
Respuesta forzada

Para empezar el análisis de la respuesta al escalón se considera el siguiente circuito de primer orden:

null

Vamos a expresar la tensión en la bobina después de cerrarse el interruptor en términos de la corriente. Usamos el análisis de circuitos para obtener la ecuación diferencial que describe al circuito en términos de la variable de interés y luego se usa el cálculo elemental para resolver la ecuación. Después de cerrarse el interruptor, la LTK impone:

null

Resolviendo obtenemos:

nullEn términos de la constante de tiempo:

null

La corriente queda expresada como

nullEn cuanto a V(t):

null

Ejemplo:

Siguiente:

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