Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

La respuesta natural de un circuito RLC en paralelo – definición y ejemplos

El primer paso para determinar la respuesta natural del circuito RCL, consiste en deducir la ecuación diferencial que debe cumplir la tensión v(t). de la figura siguiente:

null

Figura 1

Se elige determinar la tensión primero, ya que es la misma para cada componente. Después, es posible encontrar la corriente de rama utilizando la relación de corriente-tensión para el elemento de cada rama.

Se obtiene fácilmente la ecuación diferencial para la tensión sumando las corrientes que se alejan del nudo superior, donde cada corriente se expresa como una función de la tensión desconocida v(t):

null

Si diferenciamos con respecto a t, eliminamos la integral de la ecuación:

null

Ahora ordenamos la ecuación en su forma estándar:

null

Esta es la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes.

Al resolver esta ecuación diferencial de segundo orden encontramos que la respuesta natural del circuito RLC en paralelo es de la forma:

null

Donde s1 y s2 son las raíces de la ecuación característica.

Las raíces de la ecuación característica (s1 y s2) están determinadas por los parámetros del circuito RLC. Las condiciones iniciales determinan los valores de A1 y A2. Hay que tener en cuenta que la ecuación (1) habría que cambiarla si s1 y s2 son iguales.

El comportamiento de v(t) depende del valor de s1 y s2. En consecuencia, el primer paso en la determinación de la respuesta natural corresponde a determinar las raíces de la ecuación característica:

null

Dónde:

null

Existen tres posibles resultados. Primero, si null, ambas raíces serán reales y distintas. Aquí se dice que la respuesta de la tensión será sobre-amortiguada. Segundo, si null, tanto s1 como s2 serán complejas, y además, conjugadas entre sí. En esta situación se dice que la respuesta de la tensión será sub-amortiguada. El tercer caso es que null. En este caso, s1 y s2 serán reales e iguales. En este caso, la respuesta de la tensión será amortiguada críticamente.

Ejemplo:

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Respuesta al escalón unitario de un circuito RC – Definición y ejemplos

Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:

null

Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador. Sumando las corrientes que se alejan del nudo superior se obtiene la ecuación diferencial:

null

Si la ecuación anterior la dividimos por C obtenemos:

null

Al resolver esta ecuación, vemos que:

null

La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

null

Así, en términos de la constante de tiempo:

null

La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la corriente inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la corriente. La corriente en el condensador se determina directamente mediante:

null

Donde V0 es el valor inicial del condensador.

Ejemplos:

Siguiente:

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Sin categoría

Respuesta natural de un circuito RC – Definición y ejemplos

La respuesta natural de un circuito RC se puede determinar a partir del siguiente ejemplo:

null

Suponemos que el interruptor ha estado en la posición “a” por mucho tiempo, lo que permite que el lazo formado por la fuente de tensión constante, Vg, la resistencia R1 y el condensador c alcancen una posición de estado permanente.

Hay que tener en cuenta que el condensador se comporta como un circuito abierto cuando se le aplica una tensión constante. De tal modo, la fuente de tensión no puede sostener una corriente y, por ello, la tensión de la fuente aparece en las terminales del condensador. Debido a que no hay cambio instantáneo de la tensión en los terminales de un condensador, el problema queda reducido a resolver el siguiente circuito:

null

Podemos encontrar fácilmente la tensión v(t) pensando en términos de tensiones en los nudos. Utilizando el nudo inferior de R y C como nudo de referencia y sumando la corriente que se aleja del nudo superior:

null

Al resolver esta ecuación, obtenemos que:

null

Como se ha determinado antes, la tensión inicial del condensador es igual a la tensión de la fuente de tensión Vg:

null

dónde v(0)  es la tensión inicial en el condensador. La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

null

Así, en términos de la constante de tiempo:

null

La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la tensión. La siguiente gráfica representa la ecuación de v(t)  y la interpretación gráfica de la constante de tiempo.

null

Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

null

El cálculo de la respuesta natural de un circuito RC se puede resumir en:

  1. Determinar la tensión inicial V(0), en el condensador.
  2. Encontrar la constante de tiempo en el circuito.
  3. Utilizar la ecuación:
Ejemplos:

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Respuesta al escalón unitario de un circuito RL – Definición y ejemplos

Para empezar el análisis de la respueta al escalón del circuito RL se considera el circuito de primer orden siguiente:

null

Vamos a expresar la tensión en la bobina después de cerrarse el interruptor en términos de la corriente. Usamos el análisis de circuitos para obtener la ecuación diferencial que describe al circuito en términos de la variable de interés y luego se usa el cálculo elemental para resolver la ecuación. Después de cerrarse el interruptor, para t≥0  la LVK impone:null

Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:

nullCuando la energía inicial de la bobina es cero,  Io=0, la ecuación anterior queda reducida a:null

Esta ecuación indica que después de que el interruptor se ha cerrado, la corriente aumenta desde 0 hasta un valor final de Vs/R. Es decir, al principio el inductor actúa como un circuito abierto, y luego se estabiliza como un corto circuito. 

Constante de tiempo

La expresión para i(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:

null

En términos de la contante de tiempo:

null

La constante de tiempo del circuito determina la velocidad de crecimiento. Una constante de tiempo después de que se ha cerrado el interruptor, la corriente habrá alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final:

null

La siguiente gráfica refleja este comportamiento:

null

Con la expresión para i(t) podemos hallar la tensión en la bobina:

null

Podemos notar que la tensión en la bobina es cero antes de que se cierre el interruptor. Luego, al cerrar el interruptor, se ubica abruptamente en el valor de Vs – I(0)R. Esto indica que la bobina se opone a un cambio instantáneo en la corriente, y la mantiene en un valor de I(0) justo después de cerrar el interruptor. Luego decae exponencialmente hasta cero. Cuando la corriente inicial I(0) =0, la ecuación para v(t) se simplifica a:null

Si la corriente inicial es 0, la tensión en la bobina es Vs. También se espera que la tensión de la bobina se acerque a 0 cuando t aumenta, debido a que la corriente en el circuito se está aproximando al valor constante Vs/R. En la figura siguiente se representa la tensión y la relación entre la constante de tiempo y la tasa inicial a la cual está disminuyendo la tensión en la bobina.

null

Ejemplo:

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La respuesta natural de un circuito RL – Definición y ejemplos

La respuesta natural de un circuito RL se puede describir a través del siguiente ejemplo:null

Suponemos que la fuente de corriente independiente genera una corriente constante Is, y que el interruptor ha estado cerrado durante largo tiempo (todas las corrientes y tensiones han alcanzado un valor constante). Sólo las corrientes constantes o cd pueden existir en el circuito antes de que se abra el interruptor y, por tanto, la bobina se presenta como un corto circuito (Ldi/dt =0) antes de liberar la energía almacenada.

Antes de abrir el interruptor:

null

Debido a que la bobina está en corto circuito, la tensión en la rama inductiva es cero y no hay corriente en R0 ni en R. Por tanto, toda la corriente Is de la fuente aparece en la rama inductiva.

El cálculo de la respuesta natural requiere encontrar la tensión y la corriente en los terminales de la resistencia después de que se haya abierto el interruptor, esto es, después de desconectarse la fuente y cuando la bobina empieza a liberar energía. Si se deja que t=0 sea el instante en que el interruptor se abre, el problema consistirá en encontrar v(t) e i(t)  para t=0.

Para t≥0 el circuito queda reducido a:

null

Para determinar i(t), aplicamos la ley de las voltajes de Kirchhoff. La suma de las tensiones alrededor del lazo cerrado produce:

null

Donde se usa la convención pasiva de signos. La ecuación anterior se conoce como ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que contiene términos que implican la derivada ordinaria de una incógnita, esto es, di/dt. El orden más alto de la ecuación es 1, de ahí el término primer orden.

Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:

nullDonde Io se puede calcular de despejar:

null

La siguiente gráfica muestra el comportamiento de i(t):

null

Constante de tiempo

La expresión para i(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:

null

Mediante la constante de tiempo, podemos determinar importantes parámetros del circuito, como los siguientes:

null

Resumen del cálculo de la respuesta natural RL.

El cálculo de la respuesta natural de un circuito RL se puede resumir así:

  • Se determina la corriente inicial Io a través de la bobina.
  • Se encuentra la constante de tiempo del circuito.
  • Se utiliza la ecuación de i(t) para generar i(t) a partir de Io y t.
  • El resto de corrientes y tensiones en el circuito se pueden obtener a partir de i(t).
Ejemplo:

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Inductancia Mutua – Definición

La inductancia L es el parámetro que relaciona la tensión VL de la bobina con una corriente variable iL que la atraviesa, como se expresa matemáticamente:

null

A esta inductancia también se le conoce como autoinductancia. Consideremos ahora dos circuitos que se enlazan por medio de un campo magnético. Entonces, la tensión que se induce en el segundo circuito se puede relacionar con la corriente variable en el tiempo en el primer circuito por medio de un parámetro que es la inductancia mutua.

null

Para mayor información recomiendo ver la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones

Ejemplo

 

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Circuitos con inductores (bobinas) en paralelo o en serie – Equivalencia – Ejemplos

Las combinaciones de inductores (bobinas) y condensadores pueden reducirse a una sola bobina o condensador, al igual que sucede con  las resistencias.

Inductores en serie.

Las bobinas que conducen la misma corriente están conectadas en serie, tal como se muestra en la Figura 1:

null

Figura 1

La Inductancia equivalente para inductores conectados en serie consiste en la suma algebraica de las inductancias de los inductores individuales:

null

null

Figura 2

Si cada inductor tiene su tensión inicial, en el inductor equivalente corresponderá a la suma algebraica de las tensiones iniciales.

Inductores en paralelo

Podemos reducir los inductores conectados en paralelo a uno solo equivalente mediante la siguiente fórmula:

null

Los inductores en paralelo deben tener la misma tensión. Por tanto, si existe una tensión inicial en los inductores en paralelo originales, esta misma tensión aparece en la inductancia equivalente, como se muestra en la Figura 3:

null

null

Figura 3

Ejemplo

Problemas con inductores en serie y en paralelo

Recomiendo leer la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
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  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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