Introducción
¿Qué es el Análisis de Elementos Finitos (Finite-Element Analysis (FEA))?
Ahora que sabemos cuál es el modelo matemático que queremos resolver, las ecuaciones que gobiernan el problema y las condiciones de contorno, es decir, un problema de valor límite, echamos un vistazo a cómo resolverlo numéricamente utilizando el método de elementos finitos. Pasamos a la solución numérica y cómo a través de la solución numérica con el método de elementos finitos, se pueden calcular las variables seleccionadas en los puntos seleccionados.
Lo primero que hacemos es discretizar. Reducimos el problema a determinar los valores de temperatura en ubicaciones seleccionadas. Nuevamente, la siguiente es la barra con la que estamos trabajando, y necesitamos determinar la temperatura a lo largo de esa línea.
Reduciremos el asunto a un problema unidimensional, por lo que debemos determinar la temperatura solo a lo largo de la línea. Entonces necesitamos determinar la función T de x. Y decimos que, en lugar de determinar la temperatura en todas partes a lo largo de esa línea, vamos a determinarla sólo en la ubicación seleccionada, y particularmente la determinaremos en cuatro ubicaciones: 1, 2, 3, 4. Luego, si queremos saber cuál es la temperatura entre los nodos 2 y 3 por ejemplo, lo podemos determinar a través de interpolación linear.
Por interpolación lineal queremos decir que si graficamos la temperatura T versus x, y T1, T2, T3 y T4 son mis cuatro valores, entonces para hallar los valores intermedios utilizamos interpolación lineal. Todavía no conozco esos valores intermedios, pero ya sabemos la forma de la curva.
En consecuencia, la forma de la curva va a ser la de la gráfica anterior. Así que hemos reducido el problema a determinar la temperatura en cuatro puntos. En lugar de determinar una función desconocida T (x), vamos a determinar cuatro valores. Eso se llama discretización, y es más fácil determinar un número finito de valores en lugar de una función.
En términos de terminología, los puntos rojos de la gráfica se llaman nodos, y las líneas intermedias se llaman elementos, elementos finitos. Entonces, en la gráfica anterior hemos dividido nuestro dominio en tres elementos y cuatro nodos.
Y en el proceso, lo que hemos hecho es que hemos asumido una forma para nuestra función, y esa forma consiste en polinomios por partes, polinomios lineales por partes. Y la forma de la función se construye elemento por elemento. En cualquier metodología de elementos finitos hacemos eso. Estamos asumiendo una forma, y la forma se construye elemento por elemento.
La clave del problema ahora es cómo determinar la temperatura en los nodos, en nuestro caso, en los cuatro nodos.
Aclaración: La forma particular que se muestra en la gráfica de arriba es solo una solución posible. En este punto, las temperaturas nodales pueden tomar cualquier valor a lo largo de las líneas verticales punteadas que se muestran en la figura a continuación. Por ejemplo, podemos imaginarnos moviendo el valor T2 a un nuevo valor mayor:
Esto causará un cambio correspondiente en la variación de temperatura en los elementos 1 y 2 solamente. La nueva forma indicada por las líneas punteadas también es una solución posible. En el método de elementos finitos, encontraremos el conjunto de temperaturas nodales que mejor se ajusta a las ecuaciones que gobiernan la dinámica del sistema y las condiciones de contorno que rigen dichas ecuaciones.
4, How to find nodal temperatures
En nuestro caso, tenemos cuatro temperaturas nodales por encontrar. Y tenemos nuestro modelo matemático, que es un problema de valor límite. Así que pasaremos del problema del valor límite, es decir, ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno, a un sistema de ecuaciones algebraicas con las temperaturas nodales. Entonces vas a pasar de una ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones algebraicas. Y derivas el sistema de ecuaciones algebraicas, usando la aproximación polinómica por partes para la temperatura que vimos anteriormente. Y cada ecuación relacionará una temperatura nodal con sus vecinos. Va a ser una ecuación lineal. Así que vamos del cálculo al álgebra lineal. Y el sistema de ecuaciones algebraicas puede escribirse en forma de matriz. Y entonces, la esencia del método FEA se reduce a cómo derivamos nuestro sistema de ecuaciones algebraicas, de modo que satisfaga mejor nuestro modelo matemático. No podemos satisfacer nuestro problema de valor límite exactamente. Pero queremos satisfacerlo lo mejor que podamos.
Pregunta: Una de las siguientes afirmaciones es falsa.
- En el método de elementos finitos, pasamos de ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Cada ecuación algebraica relacionará una temperatura nodal con todas las demás temperaturas nodales.
- Para derivar las ecuaciones algebraicas, necesitamos suponer una variación polinómica para la temperatura dentro de cada elemento. En nuestro ejemplo, este polinomio es lineal.
- Una vez que las temperaturas nodales se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas, se puede encontrar la temperatura en cualquier punto del dominio….respuesta: la primera.
5. How to derive algebraic equations
La multiplicación de la ecuación diferencial por una función arbitraria y la integración sobre el dominio es un truco que nos permitirá derivar las ecuaciones algebraicas necesarias. Esta es una de las ideas conceptualmente más desafiantes en el marco de elementos finitos. A este modelo le llaman Weighted Integral Form ó Weak Form.
Asumo una forma para W que se parece a la forma de la temperatura T, y lo veremos gráficamente. Y luego, tengo una forma para la temperatura; Tengo una forma para W: ahora si conecto ambas formas, genero un sistema de ecuaciones algebraicas para las temperaturas nodales.
Pero hay una importante conclusión aquí. Y es que mi solución de elementos finitos no satisfacerá mi ecuación diferencial exactamente. De hecho, en este caso, lo satisface pobremente. No satisfacerá esta forma integral ponderada para cualquier w arbitraria, pero si satisfacerá la forma integral ponderada para una forma particular de w. Y uno puede mostrar que a medida que uso más nodos, esto se vuelve más y más acertado. Entonces tenderá a la solución exacta.
Entonces nuestra temperatura T aquí es de esta forma. Nuestra integral ponderada, nuestro peso W es de esta forma. Y se puede ver que ambas tienen el mismo tipo de forma, por lo que asignamos valores para los pesos en los nodos, y luego hacemos una interpolación lineal. Y si trazamos estas dos formas aquí, sacaremos nuestras ecuaciones algebraicas, y obtendremos el número de ecuaciones algebraicas que necesitamos para determinar las temperaturas nodales.
Se discutirá más en los próximos videos. ¡No te preocupes, por medio de ejemplos pronto este concepto estará más claro!
Pregunta: Seleccione verdadero o falso
Nuestra solución de elementos finitos producirá una distribución de temperatura T (x) que será una variación lineal por partes. Esta distribución de temperatura T (x) satisfacerá la forma integral ponderada para cualquier función arbitraria w (x) …. respuesta: Falso.
6. Weak form derivation. Weak Form to Algebraic Equations: Overview
Hasta este punto tenemos nuestra integral ponderada y tenemos las formas supuestas para la temperatura y la función de ponderación. Y nuestra función de ponderación es arbitraria, pero hemos reducido la arbitrariedad de la función de ponderación a la arbitrariedad de los valores en los nodos. Por lo tanto, queremos satisfacer esto para una función de ponderación arbitraria de esta forma. ¿Como hacemos eso? Lo que hacemos es hacer una integración por partes.
Así que aquí, hemos escrito lo que obtendrá de la integración por partes.
Aquí lo que vamos a hacer es mostrarle el proceso por el cual pasamos de la forma débil (Weak Form) a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Y este es realmente el corazón del método de elementos finitos. Estos son los trucos y ahora en ANSYS vamos a utilizar estos conocimientos todo el tiempo. Trataremos de hacer esto de manera muy gráfica porque generalmente se presenta con muchas ecuaciones y demás, lo que quizás dificulte el entendimiento práctico.
Así que tenemos la Weak Form que se muestra a continuación:
Y tenemos nuestro dominio dividido en tres elementos.
Podemos pensar en cada elemento como un segmento del dominio. Y tenemos las formas supuestas para la temperatura y para la función de ponderación,
y queremos satisfacer esta ecuación para estas formas.
Hacemos integración por partes. Entonces cuando hagamos la integración sobre el primer elemento, obtendremos los términos donde tendremos w1 multiplicando T1, y también obtendremos un término donde w1 multiplica T2. Etc.
Entonces este es un montón de términos. Así que veamos la primera fila aquí. Si tomamos todos los términos que se multiplican w1 y los organizamos de esta manera, esto es lo que obtendremos.
Entonces, si queremos satisfacer esto para que sea igual a 0 para cualquier valor de w1, w2, w3, w4, la única forma es que cada término individual es igual a 0. Entonces, ya que w1 es arbitrario, lo haremos igual a 0, y eso nos da la ecuación en el primer nodo.
Entonces, sea lo que sea que multiplique w1, estos términos contribuirán a la ecuación en el primer nodo.
Lo que multiplique w2 contribuirá a la ecuación del segundo nodo y así sucesivamente. Y ese es el proceso por el cual pasamos de la Weak Form a la forma algebraica. Y como usuario del código ANSYS, es útil saber cómo se obtienen cada uno de estos términos en las ecuaciones algebraicas, para luego tener pleno conocimiento de estas ideas cuando estemos en ANSYS.
SIGUIENTE: Aprendiendo ANSYS – 2da parte
Fuente: curso 
CornellX: ENGR2000XA Hands-on Introduction to Engineering Simulations
Module 1: Finite Element Analysis (FEA) 1.3 Big Ideas: Finite Element Analysis Weak Form
Revisión Literaria hecha por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.
Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
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