La respuesta completa o solución completa de una ecuación diferencial ordinaria (EDO – que involucra derivadas de una función de una sola variable) está conformada por la suma de la respuesta transitoria y la respuesta permanente. La respuesta permanente es la solución asociada a una excitación F(t) del sistema. Es por ello que también se le conoce como respuesta forzada o solución particular. Cuando la excitación del sistema es nula, es decir F(t)=0, la respuesta del sistema se conoce como respuesta natural, transitoria, o solución homogénea.
Para hallar la solución total de una EDO debemos realizar los siguientes pasos:
Determinar la solución homogénea Yh(t) ;
Evaluar la solución particular Yp(t) para la señal de entrada dada
Hallar la solución total mediante la suma Yh(t) + Yp(t) ;
Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).
Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden n, necesitaremos n condiciones iniciales para determinar la solución única.
Presentamos a continuación tres ejemplos. El primero es un ejemplo para visualizar el método general de resolver ecuaciones diferenciales. Mientras, el segundo y el tercero están referidos al sistema masa-resorte-amortiguador en dos sistemas: MKS y sistema inglés. Las reglas utilizadas para resolver estas ecuaciones aparecen al final del artículo (Anexos).
Ecuación Diferencial de orden superior.
Determinar la solución completa de la siguiente EDO:
Dónde:
RESPUESTA EJERCICIO 1.
La solución completa o total y(t) para una EDO viene dada por:
Solución homogénea
Para hallar la solución homogénea Yh(t) suponemos F(t)=0. Es decir:
Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio D(p). Al igualar D(p)=0, formamos una ecuación denominada ecuación característica:
Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:
Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea Yh(t) (ver Anexos), podemos determinar que:
Solución particular
Utilizando el polinomioD(p) formamos la siguiente ecuación:
Es decir:
Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver Anexos), podemos determinar Yp(t) como:
Solución Total
Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t) viene dada por:
Es decir:
Solución Única
Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 , C2 y C3 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico:
Resolviendo el sistema anterior obtenemos que:
Por tanto, la solución única es:
Ejemplos - Sistema masa, resorte, amortiguador.
La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica de un sistema masa-resorte-amortiguador en particular, es la siguiente:
Donde:
2. Sistema MKS: Resolver el problema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales para el siguiente sistema de resorte-masa-amortiguador. Se sabe que un peso de 10 N alarga un resorte 2 metros. El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 6 N para una velocidad de 2 m/seg. Se fija el resorte un peso de 10 N y se suelta el resorte desde una posición de 2 m debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 m/seg.
3. Sistema Inglés: Se sabe que un peso de 5 libras alarga un resorte 1 pulgada. El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 0.02 libras para una velocidad de 2 pulg/seg. Se fija al resorte un peso de 2 libras y se suelta el resorte desde una posición de 2 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 pulg/seg.
Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo). Luego, cada parte del enunciado del problema representa cada una de las fuerzas que intervienen en la ecuación (1). Aplicamos superposición una vez más y evaluamos cada fuerza por separado. Sustituimos los valores dados en el enunciado para hallar el valor de las constantes Ka, Kr ym.
RESPUESTA EJERCICIO 2.
Sistema MKS:
Se sabe que un peso de 10 N (Fr) alarga el resorte 2 metros (y):
Dónde:Por tanto:
El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 6 N (Fa) para una velocidad de 2 m/seg (va). Es decir:Dónde:Por tanto:
Se fija el resorte un peso de 10 N (w) y se suelta el resorte desde una posición de 2 m (y0) debajo de la posición de equilibrio. Es decir:
La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica es la siguiente:
Solución homogénea
Para hallar la respuesta natural, suponemos F(t)=0, es decir:
La manera más práctica de resolver esta ecuación es reordenarla y expresarla en su forma estándar, es decir, como un polinomio en el cual el coeficiente de grado más alto (el que acompaña a la derivada más alta) es igual a uno.
Dividimos cada término del polinomio entre m, haciendo el primer coeficiente de la ecuación igual a 1:Sustituyendo los valores del problema 2 en la anterior ecuación, obtenemos:
Aplicamos el operador P=dy/dt:
Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:
Se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz vienen dadas por:
Solución particular
Utilizando el polinomioD(p) formamos la siguiente ecuación:
Es decir:
Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver Anexos), podemos determinar Yp(t) como:
Solución Total
Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t) viene dada por:
Es decir:
Solución Única
Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 y C2 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico.
Se suelta el resorte desde una posición de 2 m debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 m/seg. Es decir:
Utilizando la ecuación para la solución total y(t), obtenemos las siguientes ecuaciones del sistema para t=0:
De donde obtenemos que:
Por tanto la solución única según las condiciones iniciales, es:
RESPUESTA EJERCICIO 3
2. Sistema Inglés:
Se sabe que un peso de 5 libras (Fr) alarga el resorte 1 pulgada (y). Es decir:
De dónde:Por tanto:
El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 0.02 libras (Fa) para una velocidad de 2 pulg/seg (va). Es decir:
Dónde:
Por tanto:
Se fija el resorte un peso de 2 libras (w) y se suelta el resorte desde una posición de 2 pulgadas (y0) debajo de la posición de equilibrio. Es decir:
La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica es la siguiente:
Para hallar la respuesta natural, suponemos F(t)=0, es decir:
La manera más práctica de resolver esta ecuación es reordenarla y expresarla en su forma estándar, es decir, como un polinomio en el cual el coeficiente de grado más alto (el que acompaña a la derivada más alta) es igual a uno.
Dividimos cada término del polinomio entre m, haciendo el primer coeficiente de la ecuación igual a 1:
Sustituyendo valores:
Es decir:
Aplicamos el operador p=dy/dt:
Calculamos las raíces que anulan el polinomio anterior (matlab):
Se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz (respuesta natural) vienen dadas por:
…En construcción…
ANEXOS
Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – WhatsApp: +34 633129287 – Atención Inmediata!!
Obtener la Función de Transferencia X1(s)/U(s) del sistema mecánico de la Figura 3-83 Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149.
Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente (el análisis debido a cada movimiento X(s) se hace por separado para mayor claridad):
Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:
La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:
Así, aplicando álgebra lineal obtenemos la Función de Transferencia X2(s)/U(s) como:
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Ahora que sabemos cuál es el modelo matemático que queremos resolver, las ecuaciones que gobiernan el problema y las condiciones de contorno, es decir, un problema de valor límite, echamos un vistazo a cómo resolverlo numéricamente utilizando el método de elementos finitos. Pasamos a la solución numérica y cómo a través de la solución numérica con el método de elementos finitos, se pueden calcular las variables seleccionadas en los puntos seleccionados.
Lo primero que hacemos es discretizar. Reducimos el problema a determinar los valores de temperatura en ubicaciones seleccionadas. Nuevamente, la siguiente es la barra con la que estamos trabajando, y necesitamos determinar la temperatura a lo largo de esa línea.
Reduciremos el asunto a un problema unidimensional, por lo que debemos determinar la temperatura solo a lo largo de la línea. Entonces necesitamos determinar la función T de x. Y decimos que, en lugar de determinar la temperatura en todas partes a lo largo de esa línea, vamos a determinarla sólo en la ubicación seleccionada, y particularmente la determinaremos en cuatro ubicaciones: 1, 2, 3, 4. Luego, si queremos saber cuál es la temperatura entre los nodos 2 y 3 por ejemplo, lo podemos determinar a través de interpolación linear.
Por interpolación lineal queremos decir que si graficamos la temperatura T versus x, y T1, T2, T3 y T4 son mis cuatro valores, entonces para hallar los valores intermedios utilizamos interpolación lineal. Todavía no conozco esos valores intermedios, pero ya sabemos la forma de la curva.
En consecuencia, la forma de la curva va a ser la de la gráfica anterior. Así que hemos reducido el problema a determinar la temperatura en cuatro puntos. En lugar de determinar una función desconocida T (x), vamos a determinar cuatro valores. Eso se llama discretización, y es más fácil determinar un número finito de valores en lugar de una función.
En términos de terminología, los puntos rojos de la gráfica se llaman nodos, y las líneas intermedias se llaman elementos, elementos finitos. Entonces, en la gráfica anterior hemos dividido nuestro dominio en tres elementos y cuatro nodos.
Y en el proceso, lo que hemos hecho es que hemos asumido una forma para nuestra función, y esa forma consiste en polinomios por partes, polinomios lineales por partes. Y la forma de la función se construye elemento por elemento. En cualquier metodología de elementos finitos hacemos eso. Estamos asumiendo una forma, y la forma se construye elemento por elemento.
La clave del problema ahora es cómo determinar la temperatura en los nodos, en nuestro caso, en los cuatro nodos.
Aclaración: La forma particular que se muestra en la gráfica de arriba es solo una solución posible. En este punto, las temperaturas nodales pueden tomar cualquier valor a lo largo de las líneas verticales punteadas que se muestran en la figura a continuación. Por ejemplo, podemos imaginarnos moviendo el valor T2 a un nuevo valor mayor:
Esto causará un cambio correspondiente en la variación de temperatura en los elementos 1 y 2 solamente. La nueva forma indicada por las líneas punteadas también es una solución posible. En el método de elementos finitos, encontraremos el conjunto de temperaturas nodales que mejor se ajusta a las ecuaciones que gobiernan la dinámica del sistema y las condiciones de contorno que rigen dichas ecuaciones.
En nuestro caso, tenemos cuatro temperaturas nodales por encontrar. Y tenemos nuestro modelo matemático, que es un problema de valor límite. Así que pasaremos del problema del valor límite, es decir, ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno, a un sistema de ecuaciones algebraicas con las temperaturas nodales. Entonces vas a pasar de una ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones algebraicas. Y derivas el sistema de ecuaciones algebraicas, usando la aproximación polinómica por partes para la temperatura que vimos anteriormente. Y cada ecuación relacionará una temperatura nodal con sus vecinos. Va a ser una ecuación lineal. Así que vamos del cálculo al álgebra lineal. Y el sistema de ecuaciones algebraicas puede escribirse en forma de matriz. Y entonces, la esencia del método FEA se reduce a cómo derivamos nuestro sistema de ecuaciones algebraicas, de modo que satisfaga mejor nuestro modelo matemático. No podemos satisfacer nuestro problema de valor límite exactamente. Pero queremos satisfacerlo lo mejor que podamos.
Pregunta: Una de las siguientes afirmaciones es falsa.
En el método de elementos finitos, pasamos de ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Cada ecuación algebraica relacionará una temperatura nodal con todas las demás temperaturas nodales.
Para derivar las ecuaciones algebraicas, necesitamos suponer una variación polinómica para la temperatura dentro de cada elemento. En nuestro ejemplo, este polinomio es lineal.
Una vez que las temperaturas nodales se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas, se puede encontrar la temperatura en cualquier punto del dominio….respuesta: la primera.
La multiplicación de la ecuación diferencial por una función arbitraria y la integración sobre el dominio es un truco que nos permitirá derivar las ecuaciones algebraicas necesarias. Esta es una de las ideas conceptualmente más desafiantes en el marco de elementos finitos. A este modelo le llaman Weighted Integral Form ó Weak Form.
Asumo una forma para W que se parece a la forma de la temperatura T, y lo veremos gráficamente. Y luego, tengo una forma para la temperatura; Tengo una forma para W: ahora si conecto ambas formas, genero un sistema de ecuaciones algebraicas para las temperaturas nodales.
Pero hay una importante conclusión aquí. Y es que mi solución de elementos finitos no satisfacerá mi ecuación diferencial exactamente. De hecho, en este caso, lo satisface pobremente. No satisfacerá esta forma integral ponderada para cualquier w arbitraria, pero si satisfacerá la forma integral ponderada para una forma particular de w. Y uno puede mostrar que a medida que uso más nodos, esto se vuelve más y más acertado. Entonces tenderá a la solución exacta.
Entonces nuestra temperatura T aquí es de esta forma. Nuestra integral ponderada, nuestro peso W es de esta forma. Y se puede ver que ambas tienen el mismo tipo de forma, por lo que asignamos valores para los pesos en los nodos, y luego hacemos una interpolación lineal. Y si trazamos estas dos formas aquí, sacaremos nuestras ecuaciones algebraicas, y obtendremos el número de ecuaciones algebraicas que necesitamos para determinar las temperaturas nodales.
Se discutirá más en los próximos videos. ¡No te preocupes, por medio de ejemplos pronto este concepto estará más claro!
Pregunta: Seleccione verdadero o falso
Nuestra solución de elementos finitos producirá una distribución de temperatura T (x) que será una variación lineal por partes. Esta distribución de temperatura T (x) satisfacerá la forma integral ponderada para cualquier función arbitraria w (x) …. respuesta: Falso.
Hasta este punto tenemos nuestra integral ponderada y tenemos las formas supuestas para la temperatura y la función de ponderación. Y nuestra función de ponderación es arbitraria, pero hemos reducido la arbitrariedad de la función de ponderación a la arbitrariedad de los valores en los nodos. Por lo tanto, queremos satisfacer esto para una función de ponderación arbitraria de esta forma. ¿Como hacemos eso? Lo que hacemos es hacer una integración por partes.
Así que aquí, hemos escrito lo que obtendrá de la integración por partes.
Aquí lo que vamos a hacer es mostrarle el proceso por el cual pasamos de la forma débil (Weak Form) a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Y este es realmente el corazón del método de elementos finitos. Estos son los trucos y ahora en ANSYS vamos a utilizar estos conocimientos todo el tiempo. Trataremos de hacer esto de manera muy gráfica porque generalmente se presenta con muchas ecuaciones y demás, lo que quizás dificulte el entendimiento práctico.
Así que tenemos la Weak Form que se muestra a continuación:
Y tenemos nuestro dominio dividido en tres elementos.
Podemos pensar en cada elemento como un segmento del dominio. Y tenemos las formas supuestas para la temperatura y para la función de ponderación,
y queremos satisfacer esta ecuación para estas formas.
Hacemos integración por partes. Entonces cuando hagamos la integración sobre el primer elemento, obtendremos los términos donde tendremos w1 multiplicando T1, y también obtendremos un término donde w1 multiplica T2. Etc.
Entonces este es un montón de términos. Así que veamos la primera fila aquí. Si tomamos todos los términos que se multiplican w1 y los organizamos de esta manera, esto es lo que obtendremos.
Entonces, si queremos satisfacer esto para que sea igual a 0 para cualquier valor de w1, w2, w3, w4, la única forma es que cada término individual es igual a 0. Entonces, ya que w1 es arbitrario, lo haremos igual a 0, y eso nos da la ecuación en el primer nodo.
Entonces, sea lo que sea que multiplique w1, estos términos contribuirán a la ecuación en el primer nodo.
Lo que multiplique w2 contribuirá a la ecuación del segundo nodo y así sucesivamente. Y ese es el proceso por el cual pasamos de la Weak Form a la forma algebraica. Y como usuario del código ANSYS, es útil saber cómo se obtienen cada uno de estos términos en las ecuaciones algebraicas, para luego tener pleno conocimiento de estas ideas cuando estemos en ANSYS.
SIGUIENTE: Aprendiendo ANSYS – 2da parte
Fuente: curso
CornellX: ENGR2000XA Hands-on Introduction to Engineering Simulations
En términos generales, la finalidad del método “Representación en variables de estado” es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:
La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectoren la ecuación anterior.
La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.
El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.
Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5
1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:
De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:
2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:
3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:
Sustituimos:
4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:
Nota: la derivada de il no depende de il , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.
5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos iR, obtenemos directamente que:
O lo que es lo mismo:
Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:
Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:
Una ecuación de orden n genera n variables de estado
Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.
Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.
Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.
1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.
Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:
Donde:
Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.
Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:
con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:
que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:
De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado (que forman nuestro vector X en la ecuación anterior):
2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, y además ya tenemos tres miembros del vector X‘ en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:
Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:
Para hallar estas segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:
Masa 1:
Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:
Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, y ordenando las variables de estado de menor a mayor, obtenemos:
Masa 2
Es decir:
Masa 3:
Es decir:
Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:
Y en términos específicos:
Otro ejemplo.
Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.
Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation
Figura 8
Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:
El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:
Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).
Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.
El primer paso es definir las variables de estado:
Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :
…..por tanto
El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):
En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:
El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:
Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:
….
Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
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Los elementos básicos de todo sistema mecánico son la masa, el resorte y el amortiguador. El estudio del movimiento en sistemas mecánicos se corresponde con el análisis de sistemas dinámicos. En robótica, por ejemplo, la palabra Forward Dynamic se refiere a lo que le sucede a los actuadores cuando le aplicamos a los mismos ciertas fuerzas y torques.
La masa, el resorte, el amortiguador, son actuadores elementales de un sistema mecánico.
En consecuencia, para controlar el robot es necesario conocer muy bien la naturaleza del movimiento de un sistema masa-resorte-amortiguador.
Además, este sistema elemental se presenta en numerosos campos de aplicación, de allí la importancia de su análisis. De nuevo, en robótica, cuando se habla de Inverse Dynamic, se habla sobre el cómo hacer que el robot se mueva de una manera deseada, cuáles fuerzas y torques debemos aplicar sobre los actuadores para que nuestro robot se mueva de una manera particular.
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Antes de realizar el Análisis Dinámico de nuestro sistema masa-resorte-amortiguador, debemos obtener su modelo matemático. Éste es el primer paso a ejecutar por toda persona que pretenda conocer a profundidad la dinámica de un sistema, especialmente el comportamiento de sus componentes mecánicos.
Iniciaremos nuestro estudio con el modelo de un sistema masa-resorte.
Esto es conveniente por el motivo siguiente. Todos los sistemas mecánicos presentan una naturaleza en su movimiento que le impulsa a oscilar, como cuando un objeto pende de un hilo en el techo y con la mano lo empujamos. O un zapato sobre una plataforma con resortes. Es bueno saber qué función matemática es la que mejor describe ese movimiento.
Pero resulta que las oscilaciones de nuestro ejemplos no son infinitas. Existe una fuerza de roce que amortigua el movimiento. En el caso del objeto que cuelga de un hilo es el aire, un fluido. Por lo que luego de estudiar el caso de un sistema ideal masa-resorte, sin amortiguación, pasaremos a considerar dicha fuerza de roce y añadir a la función ya encontrada un nuevo factor que describa el decaimiento del movimiento.
Sistema Masa-Resorte.
Fuente: Física. Robert Resnick
La dinámica de un sistema se representa en primer lugar mediante un modelo matemático compuesto por ecuaciones diferenciales. En el caso de el sistema masa-resorte, dicha ecuación es la siguiente:
Esta ecuación se conoce como Ecuación de Movimiento de un Oscilador Armónico Simple. Veamos de donde se deriva.
Si nuestra intención es obtener una fórmula que describa la fuerza que ejerce un resorte en contra del desplazamiento que lo estira o lo encoge, la mejor manera es visualizando la energía potencial que se inyecta al resorte cuando tratamos de estirarlo o encogerlo. La siguiente gráfica describe cómo se comporta esta energía en función del desplazamiento horizontal:
A medida que la masa m de la figura anterior, sujeta al extremo del resorte como se muestra en la Figura 5, se aleja del punto de relajación del resorte x=0 en sentido positivo o negativo, la energía potencial U(x) se acumula y aumenta en forma parabólica, llegando a un valor superior de energía donde U(x)=E, valor que se corresponde con la máxima elongación o compresión del resorte. La ecuación matemática que en la práctica describe mejor esta forma de curva, incorporando una constante k para la propiedad física del material que aumenta o disminuye la inclinación de dicha curva, es la siguiente:
La fuerza se relaciona con la energía potencial de la siguiente manera:
Por lo tanto:
Tiene sentido ver que F(x) es inversamente proporcional al desplazamiento de la masa m. Porque está claro que si estiramos el resorte, o lo encogemos, esta fuerza se opone a dicha acción, intentando devolver al resorte a su posición relajada o natural. Por ello se le llama fuerza de restitución. La ecuación anterior es conocida en la academia como La Ley de Hooke, o ley de la fuerza para resortes. La siguiente es una gráfica representativa de dicha fuerza, en relación con la energía como se ha venido mencionando, sin intervención de fuerzas de roce (amortiguación), por lo que se le conoce como Oscilador Armónico Simple. Es importante recalcar la relación proporcional entre desplazamiento y fuerza, pero con pendiente negativa, y que, en la práctica, es más compleja, no lineal.
He realizado un resumen de los textos originales consultados para analizar las ecuaciones de los elementos que se consideran en este documento: masa, resorte, amortiguador.
Regresando a la Figura 5:
Acudimos a la Segunda Ley de Newton:
Esta ecuación nos dice que la sumatoria vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m, es igual al producto del valor de dicha masa por su aceleración adquirida debido a dichas fuerzas. Considerando que en nuestro sistema resorte-masa, ∑F=-kx, y recordando que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento, aplicando la Segunda Ley de Newton obtenemos la siguiente ecuación:
Arreglando un poco las cosas, obtenemos la ecuación que queríamos obtener desde un principio:
Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte ideal.
A parte de la Figura 5, otra forma común de representar este sistema es mediante la configuración siguiente:
Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata
En este caso debemos considerar la influencia del peso en la sumatoria de fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m. El peso P está determinado por la ecuación P=m.g, donde g es el valor de la aceleración del cuerpo en caída libre.
Si se jala la masa hacia abajo y luego se suelta, actúa la fuerza de restitución del resorte, provocando una aceleración ÿen el cuerpo de masa m. Obtenemos la siguiente relación aplicando Newton:
Si implícitamente consideramos la deflexión estática, es decir, si realizamos las medidas a partir del nivel de equilibrio de la masa colgando del resorte sin moverse, entonces podemos obviar y descartar la influencia del peso P en la ecuación. Si hacemos y=x, obtenemos de nuevo la ecuación:
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
Si no existiera ninguna fuerza de roce, el oscilador armónico simple oscila infinitamente. En la realidad, la amplitud de la oscilación disminuye gradualmente, un proceso conocido como amortiguación, descrito gráficamente a continuación:
Fuente: Física. Robert Resnick
El desplazamiento de un movimiento oscilatorio se grafica contra el tiempo, y su amplitud se representa mediante una función sinusoidal amortiguada por un factor exponencial decreciente que en la gráfica se manifiesta como una envolvente. La fuerza de fricción Fv que actúa en el Movimiento Armónico Amortiguado es proporcional a la velocidad V en la mayoría de los casos de interés científico. Dicha fuerza tiene la forma Fv = bV, donde b es una constante positiva que depende de las características del fluido que ocasiona la fricción, entre otras cosas. Esta fricción, también conocida como Fricción Viscosa, se representa mediante un diagrama que consiste en un pistón y un cilindro lleno de aceite:
La manera más popular de representar un sistema masa-resorte-amortiguador es mediante una conexión en serie como la siguiente:
Figura 6
Fuente: Física. Robert Resnick
Así como la siguiente:
Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata
En ambos casos se obtiene el mismo resultado al aplicar nuestro método de análisis. Considerando la Figura 6, podemos observar que es la misma configuración mostrada en a Figura 5, pero agregando el efecto del amortiguador. Aplicando la segunda Ley de Newton a este nuevo sistema, obtenemos la siguiente relación:
Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Es de importancia observar que la ecuación (37) es también una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden 2 (Ordinary Differential Equation – ODE) porque sólo involucra las derivadas de una sola variable (en este caso x) hasta la segunda derivada. Además, al despejar la ecuación e igualarla a cero, se transforma también en una ODE Lineal Homogénea (Homogeneous Linear ODE) la cual posee importantes propiedades que facilitan el cálculo. Más adelante en este mismo documento veremos eso mediante la aplicación de La Transformada de Laplace.
Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1
La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 21.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía (también Resuelvo ejercicios particulares…atención inmediata!!..W+34633129287):
La Figura 1 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador. La salida es el desplazamiento x(t) del sistema, mientras que la entrada es la fuerza u(t) que se ejerce sobre la masa m. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s).
2. La Figura 2 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador montado sobre un carro. El desplazamiento del carro es y(t) (la entrada) y el desplazamiento del sistema es x(t) (la salida). Considerar que el carro no tiene masa. Hallar la función de transferencia X(s)/Y(s) .
3. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema de la Figura 3 utilizando su modelo en frecuencia y algebra lineal.
4. Hallar la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema de la Figura 4:
5. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 5. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre.
6. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s), X2(s)/U(s), del sistema de la Figura 6.
7. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s) del sistema presentado en la Figura 7. Comprobar el mismo resultado utilizando la combinación variables de estado – diagrama de bloques. Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada.
8. Hallar la representación matricial del sistema de la Figura 8. Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y determine la función de transferencia X1(s)/U(s).
9. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 9. Considerar k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Ilustrar el uso de Matlab para la aplicación del álgebra lineal.
10. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema de Suspensión Vehicular de la Figura 10. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número)
11. Hallar la representación en el espacio de estados del sistema del ejercicio anterior, Figura 10, considerando u(t) como la entrada y y2(t)como la salida. Transformar la representación matricial en la función de transferencia Y2(s)/U(s) directamente, utilizando álgebra de matrices. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.
Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1.
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Transformada de Laplace de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
Una solución para la ecuación (37) se presenta a continuación:
Fuente: Física. Robert Resnick
La ecuación (38) muestra claramente lo que se había observado con anterioridad. Un ejemplo puede simularse en Matlab mediante el siguiente procedimiento:
La forma de la curva del desplazamiento en un sistema masa-resorte-amortiguador está representada por una sinusoide amortiguada por un factor exponencial decreciente. Es importante entender que en el caso anterior no se está aplicando ninguna fuerza al sistema, por lo que el comportamiento de este sistema se puede catalogar como “comportamiento natural” (también llamada respuesta homogénea). Más adelante mostramos el ejemplo de aplicar una fuerza al sistema (un escalón unitario), lo que genera un “comportamiento forzado” que influye el comportamiento final del sistema que será el resultado de sumar ambos comportamientos (natural + forzado). Observación: Cuando se aplica una fuerza al sistema, el lado derecho de la ecuación (37) ya no es igual a cero, y la ecuación deja de ser homogénea.
La solución para la ecuación (37) presentada anteriormente, puede derivarse mediante el método tradicional para resolver ecuaciones diferenciales. Sin embargo, dicho método es poco práctico cuando nos encontramos con sistemas más complicados como el siguiente que en los cuáles además se aplica una fuerza f(t):
Figura 7
Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.
Surge entonces la propuesta de un método más práctico para hallar la dinámica de los sistemas y facilitar el posterior análisis de su comportamiento mediante simulación computarizada. La Transformada de Laplace permite alcanzar este objetivo de una manera rápida y rigurosa.
En la ecuación (37) no es fácil despejar x(t), que en ese caso es la función de salida y de interés. Tampoco puede representarse una ecuación diferencial en forma de Diagrama de Bloquesque es el lenguaje más utilizado por los ingenieros para modelar sistemas, haciendo de lo complejo un objeto visual más fácil de entender y analizar. Esto conduce al primer objetivo para un método más práctico. El primer paso es separar claramente la función de salida x(t), la función de entrada f(t) y la función del sistema, alcanzando una representación como la siguiente:
r(t)=f(t), c(t)=x(t)
Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.
La Transformada de Laplace consiste en cambiar las funciones de interés del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante la siguiente ecuación:
Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.
La ventaja principal de este cambio radica en que transforma derivadas en sumas y restas, luego, mediante asociaciones, podemos despejar la función de interés aplicando las simples reglas del álgebra. Además, no es necesario aplicar la ecuación (2.1) a todas las funciones f(t) que nos encontremos, cuando se dispone de tablas que de antemano ya nos indican la transformada de funciones que se presentan con gran frecuencia en todos los fenómenos, como las sinusoides (salida del sistema masa, resorte y amortiguador) o la función escalón (entrada que representa un cambio brusco). En el caso de nuestros elementos básicos para un sistema mecánico, es decir: masa, resorte y amortiguador, contamos con la siguiente tabla:
Es decir, aplicamos un diagrama de fuerzas para cada unidad de masa del sistema, sustituimos la expresión de cada fuerza en tiempo por su equivalente en frecuencia (que en la tabla se denomina Impedancia, haciendo analogía entre sistemas mecánicos y sistemas eléctricos) y aplicamos la propiedad de superposición (cada movimiento se estudia por separado y luego se suma el resultado).
La Figura 2.15 muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador cuya dinámica se describe mediante una sola ecuación diferencial:
El sistema de la Figura 7 permite describir un método general bastante práctico para encontrar la función de transferencia de sistemas con varias ecuaciones diferenciales. Primero se aplica el diagrama de fuerzas a cada unidad de masa:
La Transformada de Laplace llama a la función del sistema Función de Transferencia, cuya definición depende de cual es la función de entrada y cual la salida. Por ejemplo, para la Figura 7 nos interesa conocer la Función de Transferencia G(s)=X2(s)/F(s).
Arreglando en forma matricial las ecuaciones del movimiento obtenemos lo siguiente:
Las ecuaciones (2.118a) y (2.118b) muestran un patrón que siempre se cumple y se puede aplicar para cualquier sistema masa-resorte-amortiguador:
La consecuencia inmediata del método anterior es que facilita enormemente obtener las ecuaciones del movimiento para un sistema masa-resorte-amortiguador, al contrario de lo que sucede con las ecuaciones diferenciales. Además, podemos llegar rápidamente a la solución exigida. En el caso de nuestro ejemplo:
donde
que son resultados que se obtienen aplicando las reglas del Algebra Lineal, lo que concede un gran poder computacional al método de Transformada de Laplace.
Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1.
Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149 (162),
Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 2
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo por toda la guía: 21.5 €. Costo por un solo ejercicio: 12.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía .
1. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 12.
2. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 13.
3. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 14.
4. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 15. Considerar k1=1, k2= 15 N/m, b1=4, b2= 16 N-s/m, m1= 8, m2=3 Kg.
5. Hallar la función de transferencia X3(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 16. Considerar k1=5, k2= 4. k3= 4 N/m, b1=2, b2= 2, b3= 3 N-s/m, m1= 4, m2=5, m3=5 Kg.
6. Hallar la función de transferencia X1(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 17. Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg. El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número.
7. Hallar el modelo en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior Figura 17, tomando a x1(t)como la salida y u(t) como la entrada. Transformar dicho modelo en la función de transferencia X1(s)/U(s). Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg.
8. Hallar la función de transferencia Yh(s)/fup(s) del Sistema de la Figura 19. Considerar kh=7, ks=8, kave=5 N/m, bf=3, bh= 10 N-s/m, mh=1, mf=2 Kg.
9. Hallar las funciones de transferencia X2(s)/U(s) y X3(s)/U(s) del Sistema de la Figura 20. Considerar k1=1, k2=2, k3=3, k4=4 N/m, b1=2,b2= 1,b3= 3 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=3 Kg.
10. Hallar la representación en espacio de estados tomando x3(t)como salida y u(t)como entrada, y la función de transferencia X3(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 21. Considerar k=2 N/m, b1=b2=b3=b4=b5=1 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=1 Kg.
11. Determinar la función de transferencia y el diagrama de bloques del sistema de la figura 22:
Hasta ahora se ha considerado solamente el caso traslacional. En el caso de que el desplazamiento sea rotacional, la siguiente tabla resume la aplicación de la transformada de Laplace en ese caso:
Para ilustrar su uso consideramos el siguiente ejemplo:
Las siguientes figuras ilustran la manera cómo realizar el diagrama de fuerzas para este caso:
De esta manera, el resultado se obtiene a continuación:
Siendo:
Observamos que de nuevo se cumple que:
Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema Rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3
La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador rotacional que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo por toda la guía: 21.5 €. Costo por un ejercicio: 12.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.
1. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 22.
2. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 23.
3. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)del Sistema mostrado en la Figura 24.El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.
4. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 24, considerando a Θ1(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí la función de transferencia Θ1(s)/T(s).
5. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Tm(s) del Sistema Motor-Eje Flexible-Carga mostrado en la Figura 26.
6. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s) del Sistema mostrado en la Figura 27.
7. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 28.
8. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 29.
9. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)del Sistema mostrado en la Figura 30. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2. El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.
10. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 30, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s), directamente desde la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2.
11. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema mostrado en la Figura 32, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Utilizando Matlab, hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) directamente a partir de la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1= k2=1 N-m/rad, b1= b2=1 N-m/rad, J=1 Kg-m2.
12. Hallar Las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s)del Sistema mostrado en la Figura 33.
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Respuesta de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador con Condiciones Iniciales
La técnica discutida hasta ahora, la aplicación de la Transformada de Laplace para obtener la función de transferencia, ha implicado condiciones iniciales iguales a cero en el sistema. Es por ello que muchos problemas inician con el anuncio de “suponga que el sistema parte del reposo”, o, “suponga condiciones iniciales iguales a cero”.
En el caso de que las condiciones iniciales de un sistema Masa-Resorte-Amortiguador no sean cero, la aplicación de la transformada de Laplace tiene una variante que hace poco factible encontrar la función de transferencia del sistema. En cambio, podemos obtener una expresión para la salida X(s) tomando en cuenta dichas condiciones iniciales, para luego evaluar un sistema paralelo cuyo comportamiento sea equivalente al sistema que nos interesa. Veamos.
Consideramos el sistema de la Figura 5-30, con m=1 Kg; b= 3 N-s/m; k=2 N/m:
Si las condiciones iniciales no son iguales a cero, debemos obtener primero la ecuación diferencial del este sistema, la cual es:
Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo) tal que posee las siguientes condiciones iniciales: x(0)=0.1 m; x´=0.05 m/s. Tomando en cuenta condiciones iniciales diferentes de cero, la transformada de Laplace para x’ es sX(s) – x(0), y para x” es s^2X(s) – sx(0) – x'(0). Por tanto, la transformada de Laplace del sistema anterior es:
Despejando X(s)obtenemos:
Por tanto, la expresión para la salida considerando las condiciones iniciales diferentes de cero es:
Si aún queremos evaluar el movimiento del sistema mediante una función de transferencia, podemos aplicar una fuerza externa y observar que pasa. Hacemos uso de una de las entradas más comunes para evaluar sistemas: una entrada escalón unitario. Es muy utilizada porque muchos fenómenos se manifiestan de esta manera, cuando la fuerza aparece súbitamente y luego permanece constante.
La ecuación anterior se puede escribir como sigue:
Por lo tanto el movimiento de la masa m puede ser evaluada como la respuesta a la entrada escalón unitario del siguiente sistema cuya Función de Transferencia G(s) es:
Introduzca en el Command Window de Matlab el siguiente código el cual simula el comportamiento del sistema ante una entrada escalón:
> G=tf([0.1 0.35 0],[1 3 2])
>step(G)
> stepinfo(G)
RiseTime: 2.5518
Peak: 0.1042
¿Cómo se puede interpretar este resultado? El sistema originalmente comienza su movimiento en x(0)=0.1 m (offset) y viaja a una velocidad de 0.05 m/s. Según la gráfica, el sistema (la masa m) se desplaza (oscila) levemente hasta 0.1042 m (Peak) al ser “empujada” por una fuerza en forma de escalón unitario en sentido positivo, y en 2.5518 segundos (RiseTime) a regresado a la posición 0,0368 m aprox., que se corresponde con el 63.2% de su trayecto hasta la posición final que es 0m, es decir, la masa y el sistema en general regresa desde 0.1metros a su posición de equilibrio.
Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.
Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation
Figura 8
Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:
El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:
Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).
Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.
El primer paso es definir las variables de estado:
Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :
…..por tanto
El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):
En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:
El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:
Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:
….
Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:
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INDICE
Capítulo 1———————————————————- 1
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
Capítulo 2———————————————————- 51
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
Capítulo 3———————————————————- 76
Sistema Mecánico con engranajes
Capítulo 4———————————————————- 89
Sistema eléctrico, electrónico
Capítulo 5———————————————————-114
Sistema Electromecánico – Motor DC
Capítulo 6——————————————————— 144
Sistema del nivel de líquido
Capítulo 7——————————————————— 154
Linealización de sistemas no lineales
Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos
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Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch
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Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
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Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
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Caracas, Valladolid, Quito, Guayaquil, Jaén, Villafranca de Ordizia.
Dónde:
Solución homogénea
Solución Total
Es decir:
Donde:
Dónde:
Por tanto:
Dónde:
Por tanto:
Sustituyendo los valores del problema 2 en la anterior ecuación, obtenemos:
Aplicamos el operador P=dy/dt:
Por tanto:
Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:
La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:
en la ecuación anterior.
es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).
es la forma compacta de escribir las ecuaciones para 
y
.
…..por tanto
….
