## Mass-Spring-Damper System Dynamics

`Basic elements of a mechanical system.`

The basic elements of any mechanical system are the mass, the spring and the shock absorber, or damper. The study of movement in mechanical systems corresponds to the analysis of dynamic systems. In Robotics, for example, the word Forward Dynamic refers to what happens to actuators when we apply certain forces and torques to them.

The mass, the spring and the damper are basic actuators of the mechanical systems.

Consequently, to control the robot it is necessary to know very well the nature of the movement of a mass-spring-damper system.

In addition, this elementary system is presented in many fields of application, hence the importance of its analysis. Again, in robotics, when we talk about Inverse Dynamic, we talk about how to make the robot move in a desired way, what forces and torques we must apply on the actuators so that our robot moves in a particular way.

 `Attention!` I recommend the book “Mass-spring-damper system, 73 Exercises Resolved and Explained” I have written it after grouping, ordering and solving the most frequent exercises in the books that are used in the university classes of Systems Engineering Control, Mechanics, Electronics, Mechatronics and Electromechanics, among others. If you need to acquire the problem solving skills, this is an excellent option to train and be effective when presenting exams, or have a solid base to start a career on this field. Take a look at the Index at the end of this article.

Before performing the Dynamic Analysis of our mass-spring-damper system, we must obtain its mathematical model. This is the first step to be executed by anyone who wants to know in depth the dynamics of a system, especially the behavior of its mechanical components.

We will begin our study with the model of a mass-spring system.

This is convenient for the following reason. All the mechanical systems have a nature in their movement that drives them to oscillate, as when an object hangs from a thread on the ceiling and with the hand we push it. Or a shoe on a platform with springs. It is good to know which mathematical function best describes that movement.

But it turns out that the oscillations of our examples are not endless. There is a friction force that dampens movement. In the case of the object that hangs from a thread is the air, a fluid. So after studying the case of an ideal mass-spring system, without damping, we will consider this friction force and add to the function already found a new factor that describes the decay of the movement.

`Mass-Spring System.`

The dynamics of a system is represented in the first place by a mathematical model composed of differential equations. In the case of the mass-spring system, said equation is as follows:

This equation is known as the Equation of Motion of a Simple Harmonic Oscillator. Let’s see where it is derived from.

If our intention is to obtain a formula that describes the force exerted by a spring against the displacement that stretches or shrinks it, the best way is to visualize the potential energy that is injected into the spring when we try to stretch or shrink it. The following graph describes how this energy behaves as a function of horizontal displacement:

As the mass m of the previous figure, attached to the end of the spring as shown in Figure 5, moves away from the spring relaxation point x = 0 in the positive or negative direction, the potential energy U (x) accumulates and increases in parabolic form, reaching a higher value of energy where U (x) = E, value that corresponds to the maximum elongation or compression of the spring. The mathematical equation that in practice best describes this form of curve, incorporating a constant k for the physical property of the material that increases or decreases the inclination of said curve, is as follows:

The force is related to the potential energy as follows:

Therefore:

It makes sense to see that F (x) is inversely proportional to the displacement of mass m. Because it is clear that if we stretch the spring, or shrink it, this force opposes this action, trying to return the spring to its relaxed or natural position. For that reason it is called restitution force. The above equation is known in the academy as Hooke’s Law, or law of force for springs. The following is a representative graph of said force, in relation to the energy as it has been mentioned, without the intervention of friction forces (damping), for which reason it is known as the Simple Harmonic Oscillator. It is important to emphasize the proportional relationship between displacement and force, but with a negative slope, and that, in practice, it is more complex, not linear.

Source: Física. Robert Resnick

For an animated analysis of the spring, short, simple but forceful, I recommend watching the following videos: Potential Energy of a Spring, Restoring Force of a Spring

AMPLITUDE AND PHASE: SECOND ORDER II (Mathlets)

Amplitude-and-Phase-2nd-Order-II

Going back to Figure 5:

We go to Newton’s Second Law:

This equation tells us that the vectorial sum of all the forces that act on the body of mass m, is equal to the product of the value of said mass due to its acceleration acquired due to said forces. Considering that in our spring-mass system, ΣF = -kx, and remembering that acceleration is the second derivative of displacement, applying Newton’s Second Law we obtain the following equation:

Fixing things a bit, we get the equation we wanted to get from the beginning:

This equation represents the Dynamics of an ideal Mass-Spring System.

Apart from Figure 5, another common way to represent this system is through the following configuration:

:

In this case we must consider the influence of weight on the sum of forces that act on the body of mass m. The weight P is determined by the equation P = m.g, where g is the value of the acceleration of the body in free fall.

If the mass is pulled down and then released, the restoring force of the spring acts, causing an acceleration ÿ in the body of mass m. We obtain the following relationship by applying Newton:

If we implicitly consider the static deflection, that is, if we perform the measurements from the equilibrium level of the mass hanging from the spring without moving, then we can ignore and discard the influence of the weight P in the equation. If we do y = x, we get this equation again:

`Mass-spring-damper System`

If there is no friction force, the simple harmonic oscillator oscillates infinitely. In reality, the amplitude of the oscillation gradually decreases, a process known as damping, described graphically as follows:

The displacement of an oscillatory movement is plotted against time, and its amplitude is represented by a sinusoidal function damped by a decreasing exponential factor that in the graph manifests itself as an envelope. The friction force Fv acting on the Amortized Harmonic Movement is proportional to the velocity V in most cases of scientific interest. This force has the form Fv = bV, where b is a positive constant that depends on the characteristics of the fluid that causes friction. This friction, also known as Viscose Friction, is represented by a diagram consisting of a piston and a cylinder filled with oil:

The most popular way to represent a mass-spring-damper system is through a series connection like the following:

Figura 6

As well as the following:

In both cases, the same result is obtained when applying our analysis method. Considering Figure 6, we can observe that it is the same configuration shown in Figure 5, but adding the effect of the shock absorber. Applying Newton’s second Law to this new system, we obtain the following relationship:

This equation represents the Dynamics of a Mass-Spring-Damper System.

`Laplace Transform of a Mass-Spring-Damper System`

A solution for equation (37) is presented below:

Equation (38) clearly shows what had been observed previously. An example can be simulated in Matlab by the following procedure:

The shape of the displacement curve in a mass-spring-damper system is represented by a sinusoid damped by a decreasing exponential factor. It is important to understand that in the previous case no force is being applied to the system, so the behavior of this system can be classified as “natural behavior” (also called homogeneous response). Later we show the example of applying a force to the system (a unitary step), which generates a “forced behavior” that influences the final behavior of the system that will be the result of adding both behaviors (natural + forced). Remark: When a force is applied to the system, the right side of equation (37) is no longer equal to zero, and the equation is no longer homogeneous.

The solution for the equation (37) presented above, can be derived by the traditional method to solve differential equations. However, this method is impractical when we encounter more complicated systems such as the following, in which a force f(t) is also applied:

Figura 7

The need arises for a more practical method to find the dynamics of the systems and facilitate the subsequent analysis of their behavior by computer simulation. The Laplace Transform allows to reach this objective in a fast and rigorous way.

In equation (37) it is not easy to clear x(t), which in this case is the function of output and interest. A differential equation can not be represented either in the form of a Block Diagram, which is the language most used by engineers to model systems, transforming something complex into a visual object easier to understand and analyze.The first step is to clearly separate the output function x(t), the input function f(t) and the system function (also known as Transfer Function), reaching a representation like the following:

r(t)=f(t), c(t)=x(t)

The Laplace Transform consists of changing the functions of interest from the time domain to the frequency domain by means of the following equation:

The main advantage of this change is that it transforms derivatives into addition and subtraction, then, through associations, we can clear the function of interest by applying the simple rules of algebra. In addition, it is not necessary to apply equation (2.1) to all the functions f(t) that we find, when tables are available that already indicate the transformation of functions that occur with great frequency in all phenomena, such as the sinusoids (mass system output, spring and shock absorber) or the step function (input representing a sudden change). In the case of our basic elements for a mechanical system, ie: mass, spring and damper, we have the following table:

That is, we apply a force diagram for each mass unit of the system, we substitute the expression of each force in time for its frequency equivalent (which in the table is called Impedance, making an analogy between mechanical systems and electrical systems) and apply the superposition property (each movement is studied separately and then the result is added).

Figure 2.15 shows the Laplace Transform for a mass-spring-damper system whose dynamics are described by a single differential equation:

The system of Figure 7 allows describing a fairly practical general method for finding the Laplace Transform of systems with several differential equations. First the force diagram is applied to each unit of mass:

For Figure 7 we are interested in knowing the Transfer Function G(s)=X2(s)/F(s).

Arranging in matrix form the equations of motion we obtain the following:

Equations (2.118a) and (2.118b) show a pattern that is always true and can be applied to any mass-spring-damper system:

The immediate consequence of the previous method is that it greatly facilitates obtaining the equations of motion for a mass-spring-damper system, unlike what happens with differential equations. In addition, we can quickly reach the required solution. In the case of our example:

Where:

These are results obtained by applying the rules of Linear Algebra, which gives great computational power to the Laplace Transform method.

`Application examples ...under construction`

Example 1.

Exercise B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149 (162),

Example 2.

1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

`Rotational Case`

So far, only the translational case has been considered. In the case that the displacement is rotational, the following table summarizes the application of the Laplace transform in that case:

Example:

The following figures illustrate how to perform the force diagram for this case:

Therefore:

Being:

We observe that again it is true that:

`Bibliography`

:

1. Robert Resnick, tomo1
2. Dinamica_de_Sistemas, Katsuhiko Ogata
3. Control Systems Engineering, Norman Nise
4. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
5. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
 `Attention!` I recommend the book “Mass-spring-damper system, 73 Exercises Resolved and Explained” I have written it after grouping, ordering and solving the most frequent exercises in the books that are used in the university classes of Systems Engineering Control, Mechanics, Electronics, Mechatronics and Electromechanics, among others. If you need to acquire the problem solving skills, this is an excellent option to train and be effective when presenting exams, or have a solid base to start a career on this field.  INDEX Preface ii Introduction iii  Chapter 1———————————————————- 1 o Mass-spring-damper System (translational mechanical system)  Chapter 2———————————————————- 51 o Mass-spring-damper System (rotational mechanical system)  Chapter 3———————————————————- 76 o Mechanical Systems with gears  Chapter 4———————————————————- 89 o Electrical and Electronic Systems  Chapter 5——————————————————— 114 o Electromechanical Systems – DC Motor  Chapter 6——————————————————— 144 o Liquid level Systems  Chapter 7——————————————————— 154 o Linearization of nonlinear Systems  References——————————————————- 164
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## Solved Example 2 – Electromechanical system transfer function.

Find in generic terms, the transfer function of the unit feedback system shown in Figure P5.52 (b) of which the electromechanical system of Figure P5.52 (a) is a part.

`1. System Dynamic`

where:

`2. Laplace Transform`

`3. Motor&Load Transfer Function (θm(s)/Ea(s))`

`4. Direct Transfer Function`

For the system:

The open-loop transfer function Ga(s) is:

`5. Closed-loop transfer function`

The closed-loop transfer function Gc(s) is:

That is to say:

This problem is the first part of one where the transient response is requested so that the overshoot is 20% and the settling time is 2 seconds, see the complete problem in the following link: Example 1 – Transient response of an electromechanical system

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## Solved Example 1- Electromechanical System Transfer Function

Obtain the mathematical model of the position control system of the figure. Get the block diagram and the ansfer function between the angle of the load and the reference angle θc(s)/θc(s).

Data:

`1. System dynamic`

`2. Laplace Transform`

`3. Block Diagram`

Simplifying conveniently to obtain a model whose transfer function is known:

`4. Transfer function of each block of the previous diagram.`

Starting from:

We obtain the following:Then, using:

and substituting, we obtain:

Substituting the value of the data in the previous equation, we obtain:

Simplifying:

On the other hand, the gain of the amplifier is obtained using:

From where:

Finally, the gear constant is given by the data and is n = 1/10. We then obtain a block diagram with the following transfer functions:

`5. System Transfer function.`

The open-loop transfer function Ga(s) of the system shown in the previous diagram is:

From where we can easily obtain the closed-loop transfer function Gc (s), which is what the statement asked, using the unit feedback:

NEXT: Example 2 – Electromechanical system transfer function (English)

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## DC Motor Drive – Power Electronic

`Introduction`

A motor driver is a little current amplifier; the function of motor drivers is to take a low-current control signal and then turn it into a higher-current signal that can drive a motor.

A typical motor drive system is expected to have some of the system blocks indicated in Fig. 27.1. The load may be a conveyor system, a traction system, the rolls of a mill drive, the cutting tool of a numerically controlled machine tool, the compressor of an air conditioner, a ship propulsion system, a control valve for a boiler, a robotic arm, and so on.

The power electronic converter block may use diodes, MOSFETS, GTOs, IGBTs, or thyristors. The controllers may consist of several control loops, for regulating voltage, current, torque, flux, speed, position, tension, or other desirable conditions of the load. Each of these may have their limiting features purposely placed in order to protect the motor, the converter, or the load.

`DC Motor Drives`

Direct-current motors are extensively used in variable-speed drives and position-control systems where good dynamic response and steady-state performance are required. Examples are in robotic drives, printers, machine tools, process rolling mills, paper and textile industries, and many others. Control of a dc motor, especially of the separately excited type, is very straightforward, mainly because of the incorporation of the commutator within the motor. The commutator brush allows the motor-developed torque to be proportional to the armature current if the field current is held constant. Classical control theories are then easily applied to the design of the torque and other control loops of a drive system.

The mechanical commutator limits the maximum applicable voltage to about 1500 Vand the maximum power capacity to a few hundred kilowatts. Series or parallel combinations of more than one motor are used when dc motors are applied in applications that handle larger loads. The maximum armature current and its rate of change are also limited by the commutator.

Small servo-type dc motors normally have permanent magnet excitation for the field, whereas larger size motors tend to have separate field-supply Vf for excitation. The separately excited dc motors represented in Fig. 27.2a have fixed field excitation, and these motors are very easy to control via the armature current that is supplied from a power electronic converter.

Thyristor ac–dc converters with phase angle control are popular for the larger motors, whereas duty-cycle controlled pulse-width modulated switching dc–dc converters are popular for servo motor drives.

The series-excited dc motor has its field circuit in series with the armature circuit as shown in Fig. 27.2b. Such a connection gives high torque at low speed and low torque at high speed, a pseudo-constant-power-like characteristic that may match traction-type loads well.

We recall the block diagram for an armature-controlled DC motor:

`Converters for dc Drives`

Depending on application requirements, the power converter for a dc motor may be chosen from a number of topologies. For example, a half-controlled thyristor converter or a singlequadrant PWM switching converter may be adequate for a drive that does not require controlled deceleration with regenerative braking. On the other hand, a full four-quadrant thyristor or transistor converter for the armature circuit and a two-quadrant converter for the field circuit may be required for a high-performance drive with a wide speed range.

`Thyristor`

Thyristors are used to construct the first stage of an electric motor drive in order to vary the amplitude of the voltage waveform across the windings of the electrical motor as it is shown in Fig. 3.35.

An electronic controller controls the gate current of these thyristors. The rectifier and inverter sections can be thyristor circuits. A controlled rectifier is used in conjunction with a square wave or pulse-width modulated (PWM) voltage source inverter (VSI) to create the speed-torque controller system. Figure 3.36 shows a square-wave or PWM VSI with a controlled rectifier on the input side. The switch block inverter is made of thyristors (usually GTOs) for high power. Lowpower motor controllers often use IGBT inverters.

`PWM`

One of the basic functions in Power Electronic is Switching. Based on Figure 1.15, Switching Functions can be characterized completely with three parameters:

1. The duty ratio D is the fraction of time during which the switch is on. For control purposes the pulse width can be adjusted to achieve a desired result. We can term this adjustment process as pulse-width modulation (PWM), perhaps the most important process for implementing control in power converters.
2. The frequency fswitch =1/T (with radian frequency ω=2πfswitch) is most often constant, although not in all applications. For control purposes, frequency can be adjusted. This is unusual in power converters because the operating frequencies are often dictated by the application.
3. The time delay t0 or phase Ø0=ωt0: Rectifiers often make use of phase control to provide a range of adjustment. A few specialized ac-ac converter applications use phase modulation

Source:

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## Driver de motor DC – Electrónica de potencia

`Introducción`

Un controlador (Driver) de motor es un pequeño amplificador de corriente; la función de los Drivers de motor es tomar una señal de control de baja corriente y luego convertirla en una señal de corriente más alta que pueda conducir un motor.

Un Driver es un sistema. Se espera que un Driver de motor típico, tenga un diagrama de bloques semejante al de la Figura 27.1. La carga puede ser un sistema de transporte, un sistema de tracción, los rodillos de accionamiento de un molino, la herramienta de corte de una máquina o herramienta numéricamente controlada, el compresor de un acondicionador de aire, un sistema de propulsión de barcos, una válvula de control para una caldera, el brazo de un robot, y así sucesivamente.

El bloque convertidor electrónico de potencia puede usar diodos, MOSFETS, GTO, IGBT o tiristores. Los controladores pueden constar de varios bucles de control para regular el voltaje, la corriente, el par, el flujo, la velocidad, la posición, la tensión u otras condiciones deseables de la carga. Cada uno de estos puede tener sus características limitantes intencionalmente colocados para proteger el motor, el convertidor o la carga.

`DC Motor Drivers`

Los motores de corriente continua (Motor DC) se utilizan ampliamente en sistemas de velocidad variable y sistemas de control de posición en los que se requiere una buena respuesta transitoria y un buen rendimiento en estado estable. Los ejemplos se encuentran en unidades robóticas, impresoras, máquinas-herramientas, laminadoras de procesos, industrias del papel y textiles, y muchos otros. El control de un motor de corriente continua es sencillo, principalmente debido a la incorporación del conmutador dentro del motor. El cepillo del conmutador permite que el par desarrollado por el motor sea proporcional a la corriente del inducido si la corriente de campo se mantiene constante. Por esto último, las teorías clásicas de control se aplican fácilmente al diseño del par.

El conmutador mecánico limita el voltaje máximo aplicable a aproximadamente 1500 vatios y la capacidad de potencia máxima a unos pocos cientos de kilovatios. Se utilizan combinaciones en serie o en paralelo de más de un motor cuando los motores DC se utilizan en aplicaciones que manejan cargas más grandes. La corriente de armadura máxima y su tasa de cambio también están limitados por el conmutador.

Los pequeños motores DC de tipo servo normalmente tienen excitación por imanes permanentes para el campo, mientras que los motores de mayor tamaño tienden a tener un suministro de campo por separado para la excitación. Los motores DC excitados por separado representados en la Figura 27.2(a) tienen excitación de campo fijo (corriente de campo if constante),  son muy fáciles de controlar a través de la corriente de armadura ia que se suministra desde un convertidor electrónico de potencia.

Los convertidores Thyristor de ac-dc con control de ángulo de fase son populares para los motores más grandes, mientras que los conmutadores de voltaje On-Off, también llamados convertidores dc-dc de conmutación modulada de ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) son populares para las unidades de servomotor.

El motor de corriente continua excitado en serie tiene su circuito de campo en serie con el circuito de armadura, como se muestra en la figura 27.2(b). Dicha conexión proporciona un alto par a baja velocidad y bajo par a alta velocidad, una característica que puede combinar bien con las cargas de tipo de tracción.

Es buen momento para recordar el diagrama de bloques típico para un motor DC controlado por armadura (para un repaso ver Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC):

Cuando un sistema Driver controla la corriente de armadura a través de un convertidor electrónico de potencia, lo que realmente controla es el nivel de la relación velocidad-torque del motor, la cual se muestra en la Figura 27.3(a):

`Convertidores para DC Drives (Power Electronic Converters)`

`Convertidor de tiristor`

Los tiristores se utilizan para construir la primera etapa de un Driver para motor eléctrico con el fin de variar la amplitud de la forma de onda del voltaje  (Va en la Figura 27.2(a)) a través de los devanados del motor, como se muestra en la figura 3.35.

El interruptor del bloque inversor está hecho de tiristores (generalmente GTO Gate Turn-Off Thyristor) para alta potencia. Los controladores de motores de baja potencia suelen utilizar inversores IGBT (Insulated-Gate Bipolar Transistor).

`Pulse-Width Modulation`

Una de las funciones básicas de la electrónica de potencia es la conmutación, el interruptor que apaga-enciende, conocido como Switcher. Podríamos entonces hablar de la Función Switching. Basándonos en la Figura 1.15, las funciones de Switching se pueden caracterizar por completo con tres parámetros:

1. La relación de trabajo D (Duty Ratio): fracción de tiempo durante el cual el interruptor está en su posición de encendido. Para fines de control, el ancho del pulso se puede ajustar para lograr un resultado deseado. Podemos denominar este proceso de ajuste como modulación por ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation), tal vez el proceso más importante para implementar el control en los convertidores de potencia, por lo cual será nuestro siguiente tema.
2. La frecuencia fswitch :  suele ser constante, aunque no en todas las aplicaciones. Para fines de control, la frecuencia puede ajustarse. Esto es inusual en los convertidores de potencia porque las frecuencias de operación a menudo son dictadas por la aplicación. (ω=2πfswitch; fswitch=1/T).
3. El tiempo de retardo t0 o la fase Ø0 = ωt0: los rectificadores a menudo hacen uso del control de fase para proporcionar un rango de ajuste. Algunas aplicaciones especializadas de convertidores ac-ac usan modulación de fase

SIGUIENTE:

Fuente:

1. Libro Rashid – Power Electronic Handbook

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## Efectos del Gradiente de carretera

En esta presentación, discutiremos qué tan empinados son las pendientes de carretera en las carreteras reales. También presentaremos una simplificación de la expresión de fuerza de gradiente y otra simplificación de la expresión de resistencia a la marcha.

Estas imágenes muestran diferentes gradientes desde -30% hasta +30% y el ángulo de inclinación del camino alfa correspondiente en grados. Si traducimos alfa en radianes, podemos ver que el ángulo en radianes es casi exactamente el mismo que el gradiente. Esta es una aproximación útil y pronto la usaremos para simplificar los cálculos de fuerza.

Puede haber algunos caminos con gradientes superiores al 20%, pero pueden verse como casos extremos que la mayoría de los conductores rara vez experimentan.

Para valores pequeños de alfa, tanto el seno alfa como el tangente alfa son iguales a alfa si alfa se expresa en radianes. Como el gradiente es igual a la tangente alfa y ahora sabemos que el seno alfa es igual a alfa y, por lo tanto, también es igual a la tangente alfa, obtenemos que el seno alfa es aproximadamente igual al gradiente de la carretera.

Al trazar la aproximación y la ecuación exacta, podemos ver que son casi exactamente las mismas para los gradientes de baja pendiente. Hasta un 20% de gradiente, el error es menor o igual al 2%. E incluso por encima del 20%, la aproximación es lo suficientemente precisa para muchos propósitos.

Si usamos la aproximación para la fuerza del gradiente y la comparamos con la fuerza requerida para la aceleración, vemos que son muy similares. A partir de esto, podemos observar que la fuerza de gradiente tiene el mismo tamaño que la fuerza requerida para una aceleración si la aceleración de un vehículo es igual a la aceleración de la gravedad, g, multiplicada por el gradiente de la carretera.

Del mismo modo, por – 20%, obtenemos +2 metros por segundo al cuadrado. Y -10%, obtenemos +1.

Conduciendo hacia arriba la aceleración se vuelve negativa a medida que la fuerza del gradiente cambia de signo. +10% conduce a -1 metro por segundo cuadrado, +20% conduce a -2, y +30% conduce a -3.

Esto ilustra que la fuerza de un gradiente de -10% es suficiente para acelerar el vehículo 1 metro por segundo al cuadrado, o viceversa. Una fuerza que puede acelerar el vehículo 1 metro por segundo al cuadrado es suficiente para subir el gradiente del 10% a velocidad constante.

Acabamos de presentar una aproximación para la fuerza de gradiente y ahora presentaremos una aproximación similar para la resistencia a la marcha. La resistencia al rodamiento depende del gradiente de la carretera, solo porque la fuerza normal entre el vehículo y la carretera es proporcional al coseno alfa.

Sin embargo, para un valor de alfa pequeño, el coseno de alfa es aproximadamente 1. Por lo tanto, para valores de alfa pequeños, no hay dependencia significativa de alfa. La resistencia a la rodadura se puede aproximar como el coeficiente de resistencia a la rodadura multiplicado por la masa de los tiempos del vehículo g.

Por lo tanto, la fuerza de resistencia de rodadura aproximada no es una función del gradiente de la carretera. El error que se presenta al considerar el coseno alfa en 1 para diferentes gradientes de camino se puede ver en el gráfico anterior. Se puede demostrar que el error es menor o igual al 2% para gradientes de carretera de hasta 20%.

Por lo tanto, la resistencia a la rodadura tiene un efecto similar en el vehículo al que tiene el hecho de conducir una pendiente ascendente con un gradiente constante del 1%.

El efecto de la resistencia a la rodadura se puede entender con un simple ejemplo. La resistencia a la rodadura es lo suficientemente grande como para mantener el vehículo estacionario, pero si el vehículo está en un 1% de pendiente descendente, eso es suficiente para hacer que la fuerza de gradiente sea igual a la fuerza de resistencia de rodadura y el vehículo comenzará a rodar lentamente. Este ejemplo ilustra el hecho de que la resistencia a la rodadura es, de hecho, una fuerza pequeña en comparación con las fuerzas de gradiente y las fuerzas de aceleración. Pero como veremos más adelante, la resistencia a la rodadura sigue siendo muy importante cuando se analiza el consumo total de energía del vehículo, ya que está presente todo el tiempo.

Supongamos que un vehículo conduce 100 kilómetros y tiene que subir un gradiente del 1% todo el tiempo. Eso conducirá a una escalada total de 1% por 100 kilómetros, lo que equivale a 1,000 metros. Entonces, la resistencia a la rodadura causará la misma pérdida de energía en +100 kilómetros que cuando el vehículo sube una montaña de 1.000 metros de altura.

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SIGUIENTE: Efectos del Gradiente de carretera.

En esta presentación, discutiremos qué sucede con las fuerzas que actúan en el vehículo cuando se conduce en una pendiente de subida o bajada. También interpretaremos los efectos que tiene el gradiente de la carretera en el diagrama de resistencia en ejecución. El gradiente es un número adimensional. En este caso, es el cambio de altitud dividido por el movimiento horizontal correspondiente.

La masa del vehículo da lugar a una gran fuerza que es igual a la masa multiplicada por la aceleración gravitacional g. Esta fuerza actúa desde el centro de gravedad del vehículo hacia el centro de la Tierra. En una carretera plana es perpendicular a la carretera, y por lo tanto, no tiene ningún componente en la dirección longitudinal del vehículo.

Pero esto cambiará cuando estamos conduciendo cuesta arriba o cuesta abajo. La inclinación de la carretera la mayor parte del tiempo se describe como el gradiente de la carretera.

En los cálculos, a menudo también necesitamos expresar la inclinación de la carretera como el ángulo de inclinación alfa entre el plano horizontal y la superficie de la carretera. Desde el triángulo rectángulo, podemos ver que el gradiente es igual a la tangente de alfa.

Con frecuencia, el gradiente es dado en porcentaje. Y tanto el gradiente como el alfa son negativos al conducir cuesta abajo. Si el vehículo está en un gradiente ascendente con ángulo alfa, la fuerza de masa (fuerza gravitacional) ya no es perpendicular a la carretera. Por lo tanto, ahora tiene un componente de fuerza en la dirección longitudinal del vehículo, a la que llamamos fuerza de gradiente. La fuerza del gradiente se puede determinar con esta ecuación:

El siguiente diagrama muestra la resistencia de funcionamiento en una carretera plana:

Como la fuerza de gradiente es independiente de la velocidad del vehículo, solo agrega una constante a la fuerza de resistencia en marcha para una carretera plana. De modo que la fuerza de resistencia de carrera total es igual a la resistencia aerodinámica más la resistencia a la rodadura más la fuerza del gradiente.

Observe que ya con un gradiente modesto de 5%, la fuerza del gradiente es mayor que la suma de la resistencia a la rodadura más la resistencia aerodinámica hasta llegar a una velocidad de 130 kilómetros por hora para este vehículo.

Si el vehículo en su lugar es conducido cuesta abajo, las condiciones son las mismas, excepto que el ángulo alfa se vuelve negativo. Eso cambia la dirección de la fuerza del gradiente, por lo que ahora actúa en la dirección de avance. La geometría es similar en cuanto a la situación cuesta arriba, por lo tanto, podemos usar la misma ecuación que antes para calcular el tamaño de la fuerza del gradiente. Esta ecuación también dará automáticamente un signo negativo de la fuerza del gradiente al ingresar en un ángulo negativo de la carretera.

Entonces, una fuerza de gradiente positiva debe interpretarse como que actúa en la dirección inversa del vehículo, mientras que la fuerza negativa actúa en la dirección de avance.

Un gradiente descendente producirá una fuerza de resistencia hacia abajo en el diagrama. De nuevo, la fuerza de resistencia de funcionamiento total es igual a la resistencia aerodinámica más la resistencia a la rodadura más la fuerza de gradiente, sólo que ahora es negativa hasta llegar a una velocidad aproximada de 130 Km por hora para este vehículo en particular.

La fuerza de resistencia de ejecución resultante es la curva negra. El resultado es que, teóricamente, este vehículo en un gradiente de descenso del 5% podría alcanzar 130 kilómetros por hora sin ninguna fuerza de tracción de un tren motriz. Podría ser impulsado solo por la fuerza del gradiente. Sin embargo, llevaría mucho tiempo alcanzar esa velocidad solo acelerada por la fuerza de los gradientes.

En resumen, usted ha aprendido cómo la masa del vehículo da lugar a una fuerza de gradiente en la dirección longitudinal del vehículo cuando conduce cuesta arriba o cuesta abajo. El valor de la fuerza del gradiente puede calcularse como la masa del vehículo multiplicada por la aceleración gravitacional g multiplicada por el seno de alfa. Esta fuerza cambia con el gradiente de la carretera, pero es independiente de la velocidad. Si el gradiente cuesta abajo es significativo, la resistencia de marcha se vuelve negativa y actuará para acelerar el vehículo.

SIGUIENTE: Efectos del Gradiente de carretera.

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

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## Desaceleración y control de velocidad del vehículo

En esta oportunidad, veremos qué sucede cuando no hay suficiente tracción para que podamos superar las fuerzas de resistencia en marcha, o cuando se aplica una fuerza de tracción negativa. Comenzamos el análisis desde un vehículo que conduce a velocidad constante de 100 kilómetros por hora con una fuerza de tracción lo suficientemente fuerte como para equilibrar la resistencia a la rodadura y la resistencia aerodinámica. ¿Qué pasará si la fuerza de tracción se vuelve 0? Nosotros, de nuevo, calculamos la suma de las fuerzas restantes que actúan en el vehículo, y eso nos da la fuerza neta.

Observe que la fuerza neta ahora está en la dirección inversa. Y, por lo tanto, obtenemos una aceleración de menos 0,33 metros por segundo al cuadrado en este caso, lo que significa una desaceleración. Tenga en cuenta que la dirección del vector de fuerza corresponde al cambio de signo en la fuerza en las ecuaciones.

En el diagrama de velocidad de fuerza, nuestra fuerza de tracción es solo 0, por lo que no se suma a la suma vectorial de todas las fuerzas en el vehículo. Y así, la fuerza neta se convierte en la suma de la resistencia a la rodadura y la resistencia aerodinámica. El resultado es un vehículo de desaceleración. Tenga en cuenta que dado que la fuerza de tracción es menor que la resistencia de conducción total, el vehículo está desacelerando.

Cuando la velocidad disminuye, el arrastre aerodinámico es más pequeño y la desaceleración disminuirá. Sin embargo, el tren motriz puede aumentar la desaceleración produciendo una fuerza de tracción negativa. Si ahora calculamos la fuerza neta, se vuelve aún más negativa. Esto da como resultado una aceleración de menos 0,40 metros por segundo al cuadrado en este caso. Esta fuerza de tracción negativa puede crearse por pérdidas en el tren motriz o por un motor eléctrico que funciona como generador. Si eso no es suficiente, los frenos del vehículo pueden generar una fuerza negativa mayor.

Esta desaceleración activa se puede ilustrar en el diagrama de velocidad de fuerza. Observe que el eje y ha cambiado y ahora incluye valores de fuerza negativa. La resistencia aerodinámica y la resistencia a la rodadura se agregan a la fuerza de tracción ahora negativa, lo que resulta en una mayor fuerza neta negativa y, por lo tanto, aún más desaceleración.

Ahora que hemos estudiado las fuerzas y la aceleración en diferentes situaciones de manejo, podemos sacar algunas conclusiones generales sobre cómo se controla la velocidad del vehículo.

Uno, el conductor solo puede controlar la fuerza del tren motriz y los frenos para influir en la velocidad del vehículo. Dos, al cambiar la fuerza de tracción, se puede controlar la fuerza neta, de modo que el vehículo lea la aceleración deseada. Tres, con el tiempo, la aceleración o la desaceleración pueden hacer que el vehículo alcance la velocidad deseada. También podemos resumir algunas reglas de control simples.

La fuerza de tracción debe exceder la resistencia de conducción total para que el vehículo se acelere. La fuerza de tracción y la resistencia de conducción total deben estar en equilibrio para que el vehículo tenga una velocidad constante. Y la fuerza de tracción debe ser menor que la resistencia de conducción total para que el vehículo desacelere. Ahora conoce los conceptos básicos de cómo determinar qué fuerza de tracción se requiere al conducir un vehículo y cómo el conductor controla la velocidad del vehículo al controlar la fuerza de tracción del tren motriz. Hay una fuerza más importante que incluir, y esa es la fuerza causada por el gradiente de la carretera.

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

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## Fuerza neta y control de la aceleración del vehículo

En esta presentación, agregaremos la fuerza de tracción del tren motriz y veremos cómo calcular la fuerza neta total en el vehículo. La Segunda Ley de Newton puede decirnos cuánto acelerará el vehículo con una determinada fuerza de tracción. Bien, ahora veremos cómo el tren motriz influye en el vehículo. El tren de potencia aplica una fuerza de tracción al vehículo, tal como lo muestra la siguiente imagen:

La fuerza se distribuye en todas las ruedas, pero sólo vamos a considerar la fuerza de tracción total. Aquí se ilustra como actuando sobre las ruedas delanteras del automóvil. Una vez que conocemos la fuerza de tracción y todas las fuerzas de resistencia de conducción, podemos calcular la fuerza neta total en dirección longitudinal.

La Segunda Ley de Newton nos dice que la fuerza neta es igual a la masa del vehículo multiplicada por la aceleración del vehículo. Podemos usar esto para controlar la aceleración controlando la fuerza neta. Para hacer eso, el tren motriz necesita producir una fuerza de tracción igual a la resistencia a la rodadura, más resistencia aerodinámica, más la masa del vehículo por la aceleración deseada. Y una vez que obtengamos una aceleración, con el tiempo, la velocidad también cambiará.

De modo que el conductor controla la velocidad solo de forma indirecta controlando la fuerza del tren de potencia y, por lo tanto, la aceleración.

Ahora suponemos que la fuerza de tracción es de 750 newtons a una velocidad de 50 kilómetros por hora. Cuando conocemos la fuerza de tracción, la fuerza neta puede calcularse como la suma vectorial de la fuerza de tracción, la resistencia a la rodadura y la resistencia aerodinámica. La suma del vector es la fuerza neta, y a partir de eso podemos calcular la aceleración.

Ahora, mostraremos cómo se puede ilustrar el mismo análisis en un diagrama de fuerza-velocidad con las curvas mostrando la resistencia a la rodadura más la resistencia aerodinámica. El resultado es la fuerza neta, y es igual a la masa del vehículo por la aceleración.

Observamos que la aceleración es proporcional a la diferencia entre la fuerza de tracción y la curva de resistencia de la carretera a la velocidad real. Si mantenemos la fuerza de tracción constante, la velocidad aumentará. Y cuando la velocidad aumenta, la resistencia aerodinámica también aumentará. Si ahora calculamos la suma vectorial de las fuerzas, obtenemos la fuerza neta. Tenemos en cuenta que, esta vez, es un poco más pequeño que a 50 kilómetros por hora debido a la mayor resistencia aerodinámica.

La situación a 75 kilómetros por hora también se puede analizar en el diagrama de fuerza-velocidad. La suma de vectores con la misma fuerza de tracción de 750 newtons da una fuerza neta de 75 kilómetros por hora. Lo que conduce a una aceleración un poco más baja, ya que la resistencia de conducción total es más alta a 75 que a 50 kilómetros por hora.

Si queremos seguir acelerando a 100 kilómetros por hora, podemos mantener la fuerza de tracción en 750 newtons. La velocidad aumenta y eso lleva a un mayor aumento en la resistencia aerodinámica. Una vez que alcanzamos los 100 kilómetros por hora, queremos dejar de acelerar y mantener la velocidad en 100. Luego, el conductor tiene que disminuir la fuerza de tracción de manera que sea igual a las fuerzas de resistencia de conducción. Y el resultado es una fuerza neta igual a cero. Y sin fuerza neta, la aceleración se detiene, y luego la velocidad es constante.

La fuerza de tracción no es cero, tiene que ser positiva y constante para equilibrar la suma de las fuerzas de resistencia. En el diagrama de fuerza-velocidad, podemos ver que la fuerza de tracción se mantiene constante durante la aceleración. Una vez que se alcanzan los 100 kilómetros por hora, la fuerza de tracción se reduce para coincidir perfectamente con la resistencia de conducción a 100 kilómetros por hora, según se muestra en el siguiente diagrama:

En conclusión:

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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## Aerodinámica y resistencia al rodamiento de un auto

### Introducción

Sólo se analizarán las fuerzas en la dirección longitudinal, ya que influyen en el tren de potencia. Las fuerzas en otras direcciones se ignoran momentáneamente, ya que principalmente influyen en la dirección y la suspensión. Cuando el vehículo está parado en una carretera plana, no hay fuerzas longitudinales que actúen sobre el vehículo. Cuando el vehículo avanza, los neumáticos causan resistencia a la rodadura. Elegimos ilustrar la fuerza de resistencia a la rodadura solo en la rueda trasera en esta imagen:

La resistencia a la rodadura es 0 en parada. Cuando la velocidad no es cero, se puede calcular como el coeficiente de resistencia a la rodadura multiplicado por la fuerza normal entre el vehículo y la carretera. La resistencia a la rodadura es aproximadamente independiente de la velocidad, como se muestra en este diagrama.

Cambia ligeramente con el ángulo de la carretera, ya que la fuerza normal disminuye si el vehículo desciende por una carretera que se vuelve muy empinada.

El coeficiente de resistencia a la rodadura debería ser lo más bajo posible para mantener bajo el consumo de energía. Y típicamente su valor está alrededor de 0.01. Una vez que el vehículo se mueve un poco más rápido, también hay resistencia aerodinámica, que es causada por el aire, ya que se ve forzado a fluir alrededor del vehículo cuando está conduciendo. Las fuerzas aerodinámicas ocurren alrededor del vehículo, pero aquí las ilustramos como una fuerza concentrada que actúa en la parte trasera del vehículo.

La resistencia aerodinámica es principalmente causada por una mayor presión de aire en la parte delantera del vehículo y una menor presión detrás de él. Cuando la velocidad del vehículo aumenta, más aire tiene que pasar el mismo por segundo, lo que lleva a una mayor fuerza de arrastre aerodinámica. A una velocidad de alrededor de 75 kilómetros por hora, la fuerza aerodinámica es similar en tamaño a la resistencia a la rodadura de un automóvil típico. A medida que la velocidad aumenta aún más, la fuerza aerodinámica aumenta más y más rápidamente, cuadráticamente según la curva Fuerza-Velocidad anterior.

El coeficiente aerodinámico de arrastre debe ser lo más bajo posible y, por lo general, es de aproximadamente 0,25 a 0,35 para un automóvil moderno. Para camiones y autobuses, es mayor, alrededor de 0.7. En esta presentación, consideramos dos fuerzas que siempre están presentes cuando un vehículo está conduciendo. Es la resistencia a la rodadura, que es bastante constante con la velocidad del vehículo y la resistencia aerodinámica, que aumenta con el cuadrado de la velocidad.

A baja velocidad, la resistencia a la rodadura es mayor que la resistencia aerodinámica.

Y para un automóvil moderno, la resistencia aerodinámica es mayor, por encima de aproximadamente 70 kilómetros por hora, como se puede apreciar en la Figura siguiente:

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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