Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.
Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.
En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:
- Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
- Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
- Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x– x1).
Ejemplo:
Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.
Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicion, Calculo_Diferencial_e_Integral_Ayres
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Ejemplos:
Solución: 
Con tal que f(c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominador de f(c) no sea cero.
Ejemplos:
Solución: 
Solución: 
Para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si lím g(x) cuando x tiende a c es igual a L, e igual a lím h(x) cuando x tiende a c, entonces:
Ejemplos:
Si se ha demostrado que:
Para toda x cercana pero distinta de cero.
Límites trigonométricos especiales: 
Solución: 
Solución:
Calcular
Solución: 
Esto significa que existe x1 y x2 tal que:
Debido a que:
Vemos que:
Entonces:
Implica que:
Es decir:
De esta forma se han impuesto dos restricciones a δ: δ≤1 y δ≤ε/5. Para que ambas restricciones se cumplan se debe tomar el menor de los dos valores. Como de antemano no sabemos cuánto vale ε, esta condición se puede escribir como:
Queda demostrado entonces que para cualquier ε, la elección de δ=mín(1,ε/5) hace verdadera la siguiente proposición:
Esto demuestra que:
Por propiedad del valor absoluto:
Imponemos una nueva restricción:
Ahora observamos que si:
También se verifica que:
Entonces:
Ahora bien, para que:
Basta con que:
Por consiguiente, dado cualquier número ε, se puede encontrar un δ menor que ε/25 que satisface la condición de límite (ecuación (5)). Queda así demostrado que: