Cálculo, Derivadas, Límites

Recta tangente y derivada

Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.

null

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.

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En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:

  • Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
  • Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
  • Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x x1).

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de derivada lateral

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, está definida por:

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Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1,  está definida por:

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Una función f definida en un intervalo abierto que contiene a x1, es diferenciable en x1 si y solo si f ´+( x1)  y f ´-( x1)  existen y son iguales.

Ejemplos:

Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

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Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

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Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

null

Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

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De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Diferenciabilidad y continuidad

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.

Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.

Ejemplos:

1) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0;

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No obstante:

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Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.

La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.

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2) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

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Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

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Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

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Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

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De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de la derivada de una función

La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ´, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:

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Si x1 es un número particular del dominio de la función f, entonces:

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Si tomamos en cuenta que:

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Entonces:

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Ejemplos:

  1. Determine la derivada de f si:

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2. Determine la derivada de g si:

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  1. Calcular g ´(0), g ´(1), g ´(2).

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de función contínua en un número.

Se dice que la función f es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

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Ejemplos: Determine si la función g es continua en x=3:

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Teorema: Si f y g son contínuas en el número a, entonces:

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas

Derivada y Diferenciación

Se interpreta geométricamente la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Una función que tiene una derivada se dice diferenciable. Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación.

Definición de función contínua en un número.

Se dice que la función f es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

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Ejemplos: Determine si la función g es continua en x=3:

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Teorema: Si f y g son contínuas en el número a, entonces:

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Definición de la derivada de una función.

La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ´, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:

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Si x1 es un número particular del dominio de la función f, entonces:

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Si tomamos en cuenta que:

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Entonces:

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Ejemplos:

  1. Determine la derivada de f si:

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2. Determine la derivada de g si:

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  1. Calcular g ´(0), g ´(1), g ´(2).

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Diferenciabilidad y continuidad.

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.

Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.

Ejemplos:

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Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0. No obstante:

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Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.

La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.

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Definición de derivada lateral.

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, está definida por:

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Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1,  está definida por:

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Una función f definida en un intervalo abierto que contiene a x1, es diferenciable en x1 si y solo si f ´+( x1)  y f ´-( x1)  existen y son iguales.

Ejemplos:

Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

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Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

null

Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

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Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

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De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

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Recta tangente y derivada.

Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.

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Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.

null

En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:

  • Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
  • Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
  • Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x x1).

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

Otros recursos:

Cuadernillo ANAYA. CCSS nº 3 Análisis II

Derivadas. solución

Ejercicios de la relación entre una función y su derivada

tabla de derivadas

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