Cálculo, Derivadas, Límites

Recta tangente y derivada

Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.

null

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.

null

En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:

  • Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
  • Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
  • Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x x1).

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de derivada lateral

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, está definida por:

null

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1,  está definida por:

null

Una función f definida en un intervalo abierto que contiene a x1, es diferenciable en x1 si y solo si f ´+( x1)  y f ´-( x1)  existen y son iguales.

Ejemplos:

Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

null

Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

null

Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

null

Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

null

De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

null

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Diferenciabilidad y continuidad

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.

Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.

Ejemplos:

1) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0;

null

No obstante:

null

Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.

La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.

null

2) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

null

Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

null

Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

null

Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

null

De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

null

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de la derivada de una función

La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ´, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:

null

Si x1 es un número particular del dominio de la función f, entonces:

null

Si tomamos en cuenta que:

null

Entonces:

null

Ejemplos:

  1. Determine la derivada de f si:

null

2. Determine la derivada de g si:

null

  1. Calcular g ´(0), g ´(1), g ´(2).

null

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de función contínua en un número.

Se dice que la función f es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

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Ejemplos: Determine si la función g es continua en x=3:

null

Teorema: Si f y g son contínuas en el número a, entonces:

null

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas

Derivada y Diferenciación

Se interpreta geométricamente la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Una función que tiene una derivada se dice diferenciable. Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación.

Definición de función contínua en un número.

Se dice que la función f es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

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Ejemplos: Determine si la función g es continua en x=3:

null

Teorema: Si f y g son contínuas en el número a, entonces:

null

Definición de la derivada de una función.

La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ´, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:

null

Si x1 es un número particular del dominio de la función f, entonces:

null

Si tomamos en cuenta que:

null

Entonces:

null

Ejemplos:

  1. Determine la derivada de f si:

null

2. Determine la derivada de g si:

null

  1. Calcular g ´(0), g ´(1), g ´(2).

null

Diferenciabilidad y continuidad.

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.

Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.

Ejemplos:

null

Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0. No obstante:

null

Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.

La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.

null

Definición de derivada lateral.

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, está definida por:

null

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1,  está definida por:

null

Una función f definida en un intervalo abierto que contiene a x1, es diferenciable en x1 si y solo si f ´+( x1)  y f ´-( x1)  existen y son iguales.

Ejemplos:

Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

null

Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

null

Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

null

Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

null

De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

null

Recta tangente y derivada.

Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.

null

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.

null

En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:

  • Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
  • Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
  • Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x x1).

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.

null

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

Otros recursos:

Cuadernillo ANAYA. CCSS nº 3 Análisis II

Derivadas. solución

Ejercicios de la relación entre una función y su derivada

tabla de derivadas

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Cálculo, Límites, Matemática básica

Límites indeterminados – ejemplos

Las expresiones indeterminadas más habituales son:

null

Polinomios en el infinito - Introducción

Para calcular el límite en el infinito de un polinomio, basta considerar el término de mayor grado. Ejemplos:

null

Indeterminación ∞/∞. Cociente de polinomios en el infinito. 

Para deshacer la indeterminación ∞/∞, se puede dividir numerador y denominador por la potencia máxima de x que aparece en la fracción. Ejemplos:

null

El ejercicio anterior se puede resolver de manera equivalente considerando los términos de mayor grado. De esta manera el cálculo es más rápido. Ejemplos:

null

En el caso del cociente de polinomios, estas reglas se pueden resumir de la siguiente manera. Sean dos polinomio P y Q:

null

La regla también se aplica si en el cociente aparece la raíz n de cualquier orden de un polinomio. En ese caso se toma como “grado” el del polinomio dividido por el índice n.

null

Otros ejemplos:

Resolver:

null

null

Indeterminación +∞-∞ . 

Dadas las funciones P(x) y Q(x), donde:

null

O:

null

Se pueden presentar las siguientes situaciones:

  • En algunos casos se puede operar la expresión y eliminar así la indeterminación:

null

  • En otras ocasiones conviene multiplicar y dividir por la expresión conjugada

null

Indeterminación 0/0. Infinitésimos equivalentes - Trigonometría

Se dice que una función y=f(x) es un infinitésimo en x=a si se verifica que:

nullEjemplos:

null

Dados dos infinitésimos f(x) y g(x) en x=a:

null

En la siguiente tabla se muestran algunos infinitésimos equivalentes (herramientas de gran utilidad para resolver límites donde intervienen funciones senoidales):

null

Cuando dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes, y uno de ellos aparece como factor en un límite, se puede sustituir por el otro. Ejemplos:

null

Indeterminación 1. Expresiones indeterminadas exponenciales. 

Cuando se trata de polinomios, la indeterminación  puede resolverse manipulando algebraicamente la expresión y recordando la definición del número e:

null

Ejemplo:

null

Para resolver este problema se manipula la expresión para obtener el número e:

null

Observación:

null

Ejemplo:

null

Otros ejemplos:

null

null

null

null

null

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Cálculo, Límites

Teorema principal de Límites – Ejemplos

Teorema A. Teorema principal de los límites.

Aunque el Teorema A se establece en términos de límites por los dos lados, sigue cumpliéndose tanto para límites por la izquierda como para límites por la derecha.

Ejemplos de aplicación:
  1. Calcular

Solución:

 

Teorema B. Teorema de sustitución.

10. Si f(x) es una función polinomial o una función racional, entonces:

Con tal que f(c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominador de f(c) no sea cero.

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución: 

 2. Calcular

En este caso no se aplica el teorema B ya que el denominador de f(1)=0. Decimos que le límite no existe. Más adelante, con la definición de límites infinitos, nos permitiremos decir que el límite que nos piden calcular es +∞. 

Teorema C. Teorema de igualación.

11. Si f(x)=g(x) para toda x en un intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en el mismo número c, y si existe lím g(x) cuando x tiende a c, entonces existe lím f(x) cuando x tiende a c:

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución:

  

  1. Calcular

Solución: 

Teorema D. Teorema del emparedado.

12. Sen f(x), g(x) y h(x) que satisfacen:

Para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si lím g(x) cuando x tiende a c es igual a L, e igual a lím h(x) cuando x tiende a c, entonces:

Ejemplos:

  1. Calcular

Si se ha demostrado que:

Para toda x cercana pero distinta de cero.

Solución: 

Por tanto:

 

Teorema E. Límites de funciones trigonométricas.

Límites trigonométricos especiales:  

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución:

 

  1. Calcular

Solución:

Calcular 

Solución:

Calcular

Solución:

 

SIGUIENTE: Límites indeterminados – ejemplos

Límites al infinito

Escrito por: Profesor Larry Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Cálculo, Límites

Límites por definición – ejemplos

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como:

La siguiente proposición es verdadera:

Para muchos esta es la definición más importante del cálculo.

Para explicar esta definición se hace referencia a la Figura 1:

 

En otras palabras, de acuerdo con la Figura 1, al restringir x en el eje horizontal, de modo que siempre esté entre a-δ1 y a+δ1, se restringe a f(x) en el eje vertical, de manera tal que f(x) esté entre L-ε1 y L+ε1. Al aplicar este principio, el número ε se debe dar primero; el número δ debe producirse y por lo general depende de ε.

Encontrar o demostrar que el límite de f(x)=L cuando se acerca a a, por definición, consiste  en hallar un valor para δ (generalmente un intervalo o valor que depende de ε)  tal que se cumpla que:

Veamos como funciona esta declaración mediante el método propuesto en el siguiente ejemplo. Observación: el siguiente es un método estándar, pero existen muchos métodos. Su elección depende de la aproximación que quiera dar el usuario a cada problema.

 Ejemplos

Ejemplo 1. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=4x-5 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

La ecuación (2) nos indica que podemos seleccionar δ=ε/4 , entonces se cumple la ecuación (1), lo que demuestra que: 

Una vez que demostramos la existencia de un δ, tal que se cumpla la proposición de la ecuación (1), podemos elegir cualquier ε, no importa que tan pequeño, y luego comprobar que se cumple lo demostrado. Por ejemplo, si ε=0.1, entonces δ=0.025. Esto es como preguntarse lo siguiente: ¿Qué tan cerca debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.1 de 3? Para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3, debemos tener:  Esto significa que existe x1 y x2 tal que:

Debido a que:

Vemos que:

Por tanto, x debe estar a menos de 0.025 de 2 para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3. Lo que confirma el resultado teórico de que δ=ε/4.

Ejemplo 2. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=xˆ2 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

Para demostrar la ecuación (4) se debe imponer una restricción adicional a δ con el fin de obtener una desigualdad que contenga el factor ⌈(x+2)⌉. Dicha restricción consiste en elegir el intervalo abierto requerido en la ecuación (3) de modo que este intervalo sea (1,3), lo cual implica que δ≤1. Entonces:

Así que:

Implica que:

Lo que conduce a afirmar que:

Recordamos que la ecuación (4) es el objetivo, por lo que debe pedirse que:

Es decir:De esta forma se han impuesto dos restricciones a δ: δ≤1 y δ≤ε/5. Para que ambas restricciones se cumplan se debe tomar el menor de los dos valores. Como de antemano no sabemos cuánto vale ε, esta condición se puede escribir como: Queda demostrado entonces que para cualquier ε, la elección de  δ=mín(1,ε/5) hace verdadera la siguiente proposición:

Esto demuestra que:

Ejemplo 3. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que f(x)=4xˆ3+ 3xˆ2-24x+22 está definido en cualquier intervalo abierto que contenga a x=1, se debe demostrar que para cualquier ε existe una δ tal que:

Aplicando álgebra:Por propiedad del valor absoluto:Imponemos una nueva restricción:Ahora observamos que si:También se verifica que:Entonces:Ahora bien, para que:Basta con que:Por consiguiente, dado cualquier número ε, se puede encontrar un δ menor que  ε/25  que satisface la condición de límite (ecuación (5)). Queda así demostrado que:

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

SIGUIENTE: Teorema principal de Límites – ejemplos

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