Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Sin categoría, Variables de estado

Converting a Transfer Function to State Space representation

To convert a transfer function into state equations in phase variable form, we first convert the transfer function to a differential equation by cross-multiplying and taking the inverse Laplace transform, assuming zero initial conditions. Then we represent the differential equation in state space in phase variable form. An example illustrates the process.

Example 1

Find the state-space representation in phase-variable form for the transfer function shown in Figure (1):

null
Figure 1

Step 1. Find the associated differential equation:

null

Cross-multiplying yields:

null

The corresponding differential equation is found by taking the inverse Laplace  Transform, assuming zero initial conditions:

null

Step 2. Select the state variables. Choosing the state variables as successive derivatives, we get:

null

Using this notation, we can rewrite equation (1) as:

null

Step 3. Differentiating both sides of the last equations, we must find _x1 and _x2, then we use Eq. (2) to find x3. Proceeding in this way we obtain the state equations. Since the output is c=x1, the combined state and output equations are:

null

Step 4. Expressing the last equations in vector-matrix form, we get the state-space representation of the system as:

null

At this point, we can create an equivalent block diagram of the systemof Figure 1(a) to help visualize the state variables.We draw three integral blocks as shown in Figure 1(b) and label each output as one of the state variables, xi(t), as shown.

A transfer function with a polynomial in s in the numerator

The transfer function of the previous Example has a constant term in the numerator. If a transfer function has a polynomial in s in the numerator that is of order less than the polynomial in the denominator, as shown in Figure 2(a), the numerator and denominator can be handled separately. First separate the transfer function into two cascaded transfer functions, as shown in Figure 2(b); the first is the denominator, and the second is just the numerator. The first transfer function with just the denominator is converted to the phase-variable representation in state space as demonstrated in the last example. Hence, phase variable x1 is the output, and the rest of the phase variables are the internal variables of the first block, as shown in Figure 2(b).

null

Figure 2

The second transfer function with just the numerator yields:

null

Where, after taking the inverse Laplace transform with zero initial conditions, we obtain:

null

But the derivative terms are the definitions of the phase variables obtained in the
first block. Thus, writing the terms in reverse order to conform to an output equation, we obtain:

null

Hence, the second block simply forms a specified linear combination of the state
variables developed in the first block.

From another perspective, the denominator of the transfer function yields the
state equations, while the numerator yields the output equation. The next example
demonstrates the process.

Example 2

Find the state-space representation of the transfer function shown in
Figure 3(a).

null

Step 1. Separate the system into two cascaded blocks, as shown inFigure 3(b).The
first block contains the denominator and the second block contains the numerator.

Step 2. Find the state equations for the block containing the denominator. We notice that the first block’s numerator is 1/24 that of Example 1. Thus, the state equations are the same except that this system’s input matrix is 1/24 that of Example 1.

Step 3. Introduce the effect of the block with the numerator. The second block of
Figure 3(b) yields:

null

Taking the inverse Laplace transform with zero initial conditions, we get:

null

But:

null

Hence:

null

Thus, the last box of Figure 3(b) ‘‘collects’’ the states and generates the output equation:

null

Although the second block of Figure 3(b) shows differentiation, this block was implemented without differentiation because of the partitioning that was applied to the transfer function. The last block simply collected derivatives that were already formed by the first block.

Thus, the full state-space representation of the system is:

null

Once again we can produce an equivalent block diagram that vividly represents
our state-space model:

null

Sources:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

 

Literature review by:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Variables de estado

Convertir la Función de Transferencia en variables de estado.

Para convertir una función de transferencia en ecuaciones de estado, primero convertimos la función de transferencia a una ecuación diferencial por
multiplicación cruzada y aplicación de la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero.

Una vez con la ecuación diferencial del sistema, procedemos a diseñar la matriz en espacio de estados del sistema. Un ejemplo ilustra este proceso.

Ejemplo 1

Encuentre la representación del sistema en espacio- estado para el sistema cuya función de transferencia que se muestra en la Figura (1):

null
Figura 1

Paso 1. Encuentra la ecuación diferencial asociada a la función de transferencia:

null

La multiplicación cruzada genera lo siguiente:

null
La ecuación diferencial correspondiente se encuentra tomando la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales cero:

null

Paso 2. Seleccionar las variables de estado. Al elegir las variables de estado como  derivadas sucesivas, obtenemos:

null

Utilizando esta notación, podemos reescribir la ecuación (1) como:

null

Paso 3. Diferenciando ambos lados de estas últimas ecuaciones, debemos encontrar _x1 y _x2. Luego usamos la ecuación (2) para encontrar x3. Procediendo de esta manera obtenemos las ecuaciones de estado. Como la salida es c = x1, las ecuaciones de estado y la ecuación de salida son:

null

Paso 4. Al expresar estas últimas ecuaciones en forma de matriz de vectores, obtenemos la representación del sistema en espacio de estados:

null

Función de transferencia con polinomio en s en el numerador

La función de transferencia del ejemplo anterior tiene un término constante en el numerador. Si una función de transferencia tiene un polinomio en función de s en el numerador que es de orden menor que el polinomio en el denominador, como se muestra en la Figura 2(a), el numerador y el denominador se pueden manejar por separado. Primero, separar la función de transferencia en dos funciones de transferencia en cascada, como se muestra en la Figura 2(b). En la primera función de transferencia se procede como en el ejercicio anterior. Por lo tanto, la variable de fase x1 es la salida, y el resto de las variables de fase son las variables internas del primer bloque, como se muestra en la Figura 2(b).

null
Figura 2

La primera etapa del diagrama de bloques de la Figura 2, sabemos como tratarla, ya que es el mismo caso que el del ejemplo 1. La segunda función de transferencia con solo el numerador genera:

null

Donde, después de tomar la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

null

Pero los términos derivados de la ecuación anterior son las definiciones de las variables de fase obtenidas en el primer bloque. Por lo tanto, al escribir los términos en orden inverso para ajustarse a una ecuación de salida, obtenemos:

null

Por lo tanto, el segundo bloque simplemente forma una combinación lineal específica del estado variables desarrolladas en el primer bloque. Desde otra perspectiva, el denominador de la función de transferencia produce las ecuaciones de estado, mientras que el numerador produce la ecuación de salida. El siguiente ejemplo demuestra el proceso.

Ejemplo 2

Encuentre la representación en el espacio de estado de la función de transferencia que se muestra en la Figura 3(a).

null
Figura 3

Paso 1. Separar el sistema en dos bloques en cascada, como se muestra en la Figura 3(b).
El primer bloque contiene el denominador y el segundo bloque contiene el numerador.

Paso 2. Determinar las ecuaciones de estado para el primer bloque, el que contiene el denominador. Notamos que se trata del ejemplo 1, multiplicado por 1/24. Por lo tanto, las ecuaciones de estado son las mismas, excepto que la matriz de entrada de este sistema es 1/24 que la del Ejemplo 1.

Paso 3. Introducir el efecto del bloque con el numerador. El segundo bloque de la Figura 3(b) genera:

null

Tomando la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

null

Pero:

null

Por lo tanto:

null

Así podemos observar que el último bloque de la Figura 3(b) “recoge” los estados y genera la ecuación de salida. En forma matricial obtenemos:

null

Aunque el segundo bloque de la Figura 3(b) muestra diferenciación, este bloque se implementó sin diferenciación debido a la partición que se aplicó a la función de transferencia. El último bloque simplemente recolectó derivados que ya estaban formados por el primer bloque.

En definitiva, la representación completa en espacio de estados del sistema es:

null

Una vez más, podemos producir un diagrama de bloques equivalente que represente  nuestro modelo de espacio de estado:

null

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Dinámica de sistemas, Función de Transferencia, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Mass-spring-damper Problems solved. Catalog 1

The transfer function of a Mass-Spring-Damper System. 

In this PDF guide, the Transfer Function of the exercises that are most commonly used in the mass-spring-damper system classes that are in turn part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks with DC motor, is determined. electronic systems in mechatronics, etc. It is a good resource to also learn how to obtain the block diagram of the system, or the representation in state variables. Request via email – WhatsApp. Payment is provided by PayPal, Credit or debit card. Cost: € 5

Below, the statements of problems solved in this guide.

  1. Given the System of Figure 1, find the transfer function X(s)/U(s).

null

2. Given the System of Figure 2, find the transfer function X(s)/Y(s) .

null

3. Given the System of Figure 3, find the transfer function X2(s)/U(s) using its model in the frequency domain and linear algebra.

null

4. Given the System of Figure 4, find the transfer function Y2(s)/U(s):

null

5. Given the System of Figure 5, find the transfer function X2(s)/U(s). Illustrate the use of free-body diagrams.

null

6. Given the System of Figure 6, find the transfer functions X1(s)/U(s) and X2(s)/U(s).

null

7. Given the System of Figure 7, find the transfer function X(s)/U(s). Check the same result using the combination of state-space representation and block diagrams. Take u(t) as the input and x(t) as the output.

null

8. Given the System of Figure 8, find its state-space representation, taking x1(t) as the output and u(t) as the input. Build the block diagram of the system and determine the transfer function  X1(s)/U(s).

null

9.Given the System of Figure 9, find the transfer function X2(s)/U(s). Consider k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Illustrate the use of Matlab and linear algebra.

null

10. Given the System of Figure 10, find the transfer functions Y1(s)/U(s) and Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (The same exercise is solved with state variables in the exercise 11)

null

11. Find the state-space representation of the system of the previous exercise, Figure 10, taking y2(t) as the output and u(t) as the input. Transform the state-space representation obtained in the transfer function Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Variables de estado

Motor DC – Problemas resueltos – Sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6

La función de transferencia de un Sistema Electromecánico con motor DC. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas electromecánicos que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía .

1. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 1.

null

2. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 2.

null

3. Hallar la representación en espacio de estados de la Figura 2, suponiendo que θL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Determinar el diagrama de bloques del sistema a partir de la representación en espacio de estados. Determinar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) a partir del diagrama de bloques.

4. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 3. Determinar a partir de allí el diagrama de bloques del sistema.

null

5. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 4.

null

6. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 5, en la cual se incorpora la curva Torque Vs. Velocidad Angular del motor. Considerar bm=8, b2=36  N-m-s/rad, Jm=1, J1=4, J2=18 Kg-m2 .

null

7. Hallar la función de transferencia del Sistema θL(s) / Ei(s) mostrado en la Figura 6. La curva Torque-Velocidad Angular está dada por:

null

 Considerar bm=5, bL=800  N-m-s/rad, Jm=1,  JL=400 Kg-m2.

null

8. Realizar el diagrama de bloques y determinar la función de transferencia entre el ángulo de la carga θC(s)  y el ángulo de referencia θr(s)  del Sistema mostrado en la Figura 7. Considerar:

null

null

9. Determinar la función de transferencia X(s) / Ea(s) a partir de la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 8, tomando a x(t) como la salida, y a ea(t) como la entrada.

null

10. Hallar la función de transferencia X(s) / Ea(s) del Sistema de la Figura 9. Considerar bm=1, bG=4 N-m-s/rad, Jm=1, Kg-m2, M=1 Kg, R= 2 m , Ra=1, kb=1 V-s/rad, ki=1 N-m/A

null

11. Hallar la función de transferencia θL(s) / θi(s) del Sistema de la Figura 10. Realizar el diagrama de bloques del sistema.

null

 

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Motor DC Problemas resueltos – Sistema Electromecánico – Función de Transferencia, Catálogo 6

En esta guía se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas electromecánicos que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado.

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Variables de estado

Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado de un sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:

  1. Dinámica del sistema – Ecuaciones

2. Variables de estado

Definición:

De la definición obtenemos que:

Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para  Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:

Despejamos :

 Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:

Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t),  utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

3. Función de Transferencia

La representación matricial del sistema tiene la forma:Dónde:

De la teoría de sistemas de control se extrae que:

En este caso:

Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace.

Buscando ayuda en Matlab:

>> s=sym(‘s’);

…..

>> k3=sym(‘k3’) // declarar todas las variables

>> sIA= [s -1 0 0;(k1+k2)/m1 s+(fv1+fv3)/m1 -k2/m1 -fv3/m1;0 0 s -1;-k2/m2 -fv3/m2 (k2+k3)/m2 s+(fv2+fv3)/m2]

>> C=[0 0 1 0]

>> B= [0;1/m1;0;0]

>> V=(sI-A)^-1

>> G=C*V*B

G = (k2 + fv3*s)/(k1*k2 + k1*k3 + k2*k3 + fv1*m2*s^3 + fv2*m1*s^3 + fv3*m1*s^3 + fv3*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + k3*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + fv1*k2*s + fv2*k1*s + fv1*k3*s + fv2*k2*s + fv3*k1*s + fv3*k3*s + fv1*fv2*s^2 + fv1*fv3*s^2 + fv2*fv3*s^2)

Dónde:Definimos el determinante como:

Por lo tanto:

Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: Representación de un sistema en variables de estado

Para elaborar el diagrama de bloques del mismo sistema, ver: Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 

Fuente: Control Systems Engineering, Nise

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Simulación en Matlab, Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Dinámica de sistemas, Variables de estado

Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:

Nota: Este ejercicio demuestra la ventaja de contar con la representación del sistema en variables de estado para la confección del diagrama de bloques del sistema.

  1. Dinámica del sistema – Ecuaciones

2. Variables de estado

Definición:

De la definición obtenemos que:

Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para  Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:

Despejamos :

 Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:

Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t),  utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

3. Diagrama de bloques

Las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), nos permiten además obtener fácilmente el diagrama de bloques del sistema si consideramos el hecho de que cada variable de estado es un nodo, y cada nodo se consigue mediante la suma, resta y multiplicación de variables, tal como lo muestran las mencionadas ecuaciones.

Podemos iniciar nuestro diagrama de bloques colocando la salida X2(s) al final y la entrada F(s) al principio del diagrama, y colocando bloques integradores que conducen directamente a las variables de estado definidas. Recordar que la transformada de Laplace de dX2(s)(t)/dt es:

El diagrama de bloques para representar esta operación es:En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:Luego, deducimos que:

Así se procede como sigue. Si consideramos la ecuación (4):

Podemos expresar la ecuación (4) utilizando las reglas de construcción de diagrama de bloques como sigue:

Sección 1

Igualmente podemos obrar con la ecuación (3):

Sección 2

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Ahora unimos secciones (1) y (2) apropiadamente y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Fuente:

Para determinar la función de transferencia de este mismo ejercicio , ver: Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Ejercicio de dinámica y variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar las ecuaciones de la dinámica del sistema mostrado en la siguiente figura:

Vehículo jala remolque mediante acoplamiento resorte-amortiguador.

Se definen los siguientes parámetros: es la masa del remolque, bh es el coeficiente de fricción de amortiguación del acoplamiento, kh es la constante del resorte del acoplamiento, bt es el coeficiente de fricción viscosa del remolque,  x1(t) es el desplazamiento del vehículo remolcador, x2(t) es el desplazamiento del remolque, y f(t)  es la fuerza del vehículo remolcador.

  1. Ecuaciones del sistema

Dónde m1 es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema:

Por otra parte:

Dónde es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema:

Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin de facilitar la determinación de las variables de estado y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

2. Variables de estado

Definición de variables de estado :

El siguiente paso consiste en encontrar en función de las variables de estado definidas:

Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para sustituir, despejar y completar estas últimas relaciones:

Si la salida del sistema es x2(t), la entrada es f(t), y debemos obtener la función de transferencia X2(s)/F(s), lo más práctico es utilizar dx2(t)/dt como salida (ya que la tenemos de una vez despejada en la definición de variables de estado) y luego despejar X2(s). Es decir, calculamos la velocidad y luego integramos para hallar el desplazamiento, aprovechando el hecho de que el resultado que obtendremos estará expresado en el dominio de la frecuencia, y en ese caso la integración es una simple operación algebraica, tal como lo muestra la siguiente figura:Así, utilizando las ecuaciones (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

null

3. Transformar la Representación Matricial en Función de Transferencia

La anterior representación matricial del sistema tiene la forma:Dónde:

Recordando que la transformada de Laplace de la salida es:De la teoría de sistemas de control se extrae que:Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace. Entonces:Buscando ayuda en Matlab:

>> s=sym(‘s’)

>>Kh=sym(‘Kh’)

…… // declarar todas las variables

>> sIA= [s+(Kh/Bh) 0;0 s+(Bt/m)]

>> C=[0 1]

>> B= [1/Bh;1/m]

>> V=(sIA)^-1

>> G=C*V*B

G = 1/(Bt + m*s)

Por tanto:Se confirma que:

null

Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: Representación de un sistema en variables de estado

Para ejecutar este mismo ejercicio utilizando Transformada de Laplace y Función de Transferencia, ver: Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguador

Fuente: Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Simulación en Matlab, Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Representación de un sistema en variables de estado

En términos generales, la finalidad del método es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:

La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectornullen la ecuación anterior.

La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.

El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.

Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5

1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:

De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:

2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:

3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:

Sustituimos:

4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:

Nota: no depende de , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.

5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos IR, obtenemos directamente que:

O lo que es lo mismo:

Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:

Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:

  • Una ecuación de orden n genera n variables de estado

Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.

Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

Para ver todo el resultado ver el siguiente link: Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

Análisis de sistemas de control, Variables de estado

Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.

Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:

Donde:

Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.

Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:

con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:

que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:

De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado:

2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, además ya tenemos tres miembros del vector X en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:

Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:

Para hallar estas  segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:

Masa 1:

Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:

Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, obtenemos:

Masa 2

Es decir:

Masa 3:

Es decir:

Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:

Y en términos específicos:

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales.  

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales
Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

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Costo del servicio: 10 dólares por problema.

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

Análisis de sistemas de control, Física Aplicada, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

Introducción

En términos generales, la finalidad del método “Representación en variables de estado” es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:

La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectornullen la ecuación anterior.

La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.

El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.

Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5

1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:

De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:

2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:

3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:

Sustituimos:

4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:

Nota: la derivada de il no depende de il , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.

5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos iR, obtenemos directamente que:

O lo que es lo mismo:

Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:

Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:

  • Una ecuación de orden n genera n variables de estado

Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.

Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.

Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:

Donde:

Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.

Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:

con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:

que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:

De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado (que forman nuestro vector X en la ecuación anterior):

2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, y además ya tenemos tres miembros del vector X‘ en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:

Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:

Para hallar estas  segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:

Masa 1:

Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:

Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, y ordenando las variables de estado de menor a mayor, obtenemos:

 

Masa 2

Es decir:

Masa 3:

Es decir:

Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:

Y en términos específicos:

Otro ejemplo.

Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.

Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation

Figura 8

Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:

El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:

Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).

Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.

El primer paso es definir las variables de estado:

Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :

…..por tanto

El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):

En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:

El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:

Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:

….

Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

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