Tomamos en cuenta el sistema de nivel de líquido de la Figura 3-23.
Atendiendo a las definiciones del artículo anterior (Dinámica de un sistema de nivel de líquidos), nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:
A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:
Por tanto:
O sea:
Por otra parte:
Es decir:
Además:
Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:
Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:
Que debido a f es:
La función de transferencia del sistema es:
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El sistema de nivel de líquido se considera lineal si el flujo es laminar.
Los parámetros de un sistema de nivel de líquido son la resistencia y la capacitancia. Si consideramos un flujo de líquido a través de un tubo corto, la resistencia R para dicho flujo se define como la diferencia de nivel de líquido H de dos tanques necesaria para producir un cambio en la velocidad del flujo Q entre los dos tanques, entonces:
Por su parte, la capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario de la cantidad de líquido en el tanque para producir un cambio en el nivel de líquido H. Ahora bien, ese cambio de cantidad de líquido se puede representar en términos de la velocidad de flujo Q. Para darnos una idea gráfica, considere la Figura 3-22 (a):
(a)
Supongamos que al tanque entra líquido a un flujo constante , llamado también velocidad de flujo de líquido en estado estable porque es la misma a la entrada que a la salida del tanque. Intuitivamente podemos ver que para producir un pequeño cambio de cantidad de líquido dentro del tanque es necesario un cambio de flujo, igual a qi-qo, en un pequeño intervalo de tiempo dt. Entonces, en términos generales, de acuerdo a su definición:
Donde:
Si consideramos qi-qo=q, podemos escribir la ecuación 1 como:
Con respecto a este valor para la resistencia R, en la Figura 3-22(a) h es la diferencia de altura entre dos tanques necesaria para definir la resistencia, considerando que no hay un segundo tanque. Esta última ecuación se puede apoyar además si consideramos que el sistema de nivel de líquidos trabaja alrededor de un punto de operación donde la curva H(Q) tiene pendiente P, como se observa en la Figura 3-22(b):
Figura 3-22(b)
De ahora en adelante se consideran variaciones pequeñas para las variables de importancia, a partir de sus valores en estado estable.
Es interesante notar la analogía que se establece entre esta teoría y la de un circuito eléctrico de corriente i y voltaje v:
Circuito eléctrico
Sistema de nivel de líquidos
Resistencia:
Resistencia:
Capacitancia:
Capacitancia:
Atendiendo a esta analogía, podemos aplicar la teoría de circuitos a la Figura 3-22(a), donde tenemos una fuente de poder y una carga. La fuente de poder está conformada por la válvula de control y el tanque de capacitancia c, mientras la carga está constituida por la válvula de carga de resistencia r. De acuerdo con la definición para resistencia representada en la ecuación 1:
Así, podemos reescribir la ecuación 2 como:
De esta manera, la ecuación que determina la dinámica del sistema de la Figura 3-22(a) es entonces:
Si consideramos qi como la entrada y h como la salida, aplicando Laplace:
La función de transferencia de este sistema es:
Sin embargo, cuando se trata de sistemas colocados en serie, a diferencia de lo que se supone en el caso de un sistema eléctrico, los tanques que conforman el sistema interactúan entre sí. Por ello, la función de transferencia del sistema total no es igual a la multiplicación de las funciones de transferencia de cada sistema por separado.
Sistema de nivel de líquido con interacción
Tomamos en cuenta ahora el sistema de la Figura 3-23.
Atendiendo a las definiciones del apartado anterior, nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:
A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:
Por tanto:
O sea:
Por otra parte:
Es decir:
Además:
Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:
Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:
Que debido a f es:
La función de transferencia del sistema es:
Ejemplo 2
Hallar la función de transferencia Qo(s)/Qe(s) del sistema mostrado en la siguiente figura:
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Por tanto:
O sea:
Por otra parte:
Es decir:
(a)
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