Análisis de circuitos eléctricos, Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de Sistema Eléctrico. Problemas resueltos. Catálogo 5

La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de sistemas de control para el cálculo de la función de transferencia de un Sistema Eléctrico. Se facilita pago a través de Paypal. Para algunos problemas se obtiene el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Costo de la guía completa: 21.5 €. Costo de un solo ejercicio: 12.5 €. A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

1. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema mostrado en la Figura 42. Hallar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) del Sistema Eléctrico.

null

2. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema mostrado en la Figura 43. Hallar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) del Sistema Eléctrico.

null

3. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema Eléctrico del ejercicio anterior, Figura 43, suponiendo i2(t) como la salida, y ei(t) como la entrada. Determinar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) a partir de la matriz de variables de estado.

4. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema mostrado en la Figura 45. Hallar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) del Sistema Eléctrico. Considerar R1=2 Ω, R2=2 Ω, R3=4 Ω, R4=8 Ω, L1=4 H, L2=6 H, C=1/2 F.

null

5. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema mostrado en la Figura 46. Hallar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) del Sistema. Considerar R1=R2=R3=2 Ω, L=2 H, C1=C2=1 F.

null

6. Hallar la representación en espacio de estados del sistema del ejercicio anterior, mostrado nuevamente en la Figura 47, suponiendo que iL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Determinar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s)Considerar R1=R2=R3=2 Ω, L=2 H, C1=C2=1 F.

null

7. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema mostrado en la Figura 48. Hallar la función de transferencia del Sistema Eléctrico Eo(s)/Ei(s). Considerar R=1 Ω, L1=L2= L3=1 H, C1=C2=1 F.

null

8. Hallar la función de transferencia Vo(s)/Vi(s) del Sistema Electrónico mostrado en la Figura 49. Considerar R1=500 KΩ, R2= 100 KΩ , C1=2 F, C2=2 F.

null

9. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema de la Figura 75. Utilizar el método de análisis de nodos. Hallar la función de transferencia Vo(s)/V(s). Realice la representación del sistema en diagrama de bloques. Considerar R1=1Ω,  R2= R3=1 Ω, L=1 H, C1=C2=1 pF.

null

10. Obtener la función de transferencia Vo(s)/V(s) del sistema eléctrico del ejercicio anterior, figura 75, a partir del diagrama de bloques del sistema, utilizando álgebra de bloques. Simular y analizar en Matlab la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.

11. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema de la Figura 76. Utilizar el método de análisis de nodos. Hallar la función de transferencia Vo(s)/Vi(s).

null

12. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema de la Figura 77. Hallar la representación en variables de estado del sistema y luego hallar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) a partir de la matriz de variables de estado.

null

13. Determinar la función de transferencia Vo(s)/Yi(s) del circuito de la Figura 77.1.

null

Figura 77.1

14. Determinar Vo(s) en el dominio transformado, y luego mediante anti transformada de Laplace, obtener vo(t), del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 78.

 

15. Determinar Vo(s) en el dominio transformado, y luego mediante anti transformada de Laplace, obtener vo(t) para t >0, del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 79. Es necesario calcular las condiciones iniciales no nulas de los componentes reactivos.

16. Calcule el equivalente Thevenin del sub circuito a la izquierda de los nudos A y B del circuito de la Figura 81, suponiendo condiciones iniciales nulas en los elementos reactivos. Determinar tipo de amortiguamiento.

Sistema Eléctrico – Problemas resueltos – Función de Transferencia – Catálogo 5

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Sistema Eléctrico – Problemas resueltos – Función de Transferencia- Catálogo 5

Guía de Sistema Eléctrico. Pago por un solo ejercicio (12.5 euros). Luego de pagar por favor solicitar la entrega de la solución en PDF al WhatsApp +34633129287

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Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos

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Análisis de circuitos eléctricos, Función de Transferencia

Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC

Hallar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 42, a partir de las ecuaciones diferenciales de la dinámica del sistema.

Definición: La función de Transferencia H(s) de un sistema eléctrico es el cociente de la transformada de Laplace de la salida Y(s) y la entrada X(s) cuando las condiciones iniciales son nulas:

null

null

Ejemplo
  1. Hallar la función de transferencia Eo(s)/Ei(s) del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 42.

null

  • Dinámica del sistema:

null

Dónde:

null

  • Transformada de Laplace:

Ecuación 1:nullEcuación 2:null

  • Función de transferencia:

null

La intención es hallar I2(s) en función de Ei(s) y luego utilizar la ecuación (3):

null De tal manera que:null

Luego, por la ecuación (3) sabemos que:

null

Igualando las ecuaciones (4) y (5) obtenemos:

nullDe donde:

null

Es decir:

null

Te recomiendo ver: Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

Revisión literaria hecha por:

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador con engranajes. Problemas resueltos. Catálogo 4

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador con engranajes que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 21.5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

1. Hallar la función de transferencia Θ2(s) /T(s) del Sistema rotacional mostrado en la Figura 34. Utilizar el método que consiste en reflejar el eje de entrada hacia la carga. Considerar k=4 N-m/rad, b=1 N-m-s/rad, J=1 Kg-m2.

null

2. Hallar la función de transferencia Θ2(s) /T(s) del Sistema rotacional mostrado en el ejercicio anterior, Figura 34, reflejando las impedancias desde el eje de salida hacia el eje de entrada. Considerar k=4 N-m/rad, b=1 N-m-s/rad, J=1 Kg-m2.

3. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /Tm(s) del Sistema rotacional mostrado en la Figura 36.

null

4. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /T(s) del Sistema mostrado en la Figura 37. Considerar k=3 N-m/rad, b1=2, b2=0.04  N-m-s/rad, J=1  Kg-m2

null

5. Hallar la función de transferencia Θ2(s) /T(s) del Sistema mostrado en la Figura 38. Considerar k1=3, k2=250 N-m/rad, b=1k N-m-s/rad, J1=3, J2=200, J3=200  Kg-m2

null

6. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 39 suponiendo que Θ4(t) es la salida y T(t) es la entrada. Dibujar el diagrama de bloques del sistema y hallar la función de transferencia Θ4(s) /T(s). Considerar k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4  Kg-m2

null

7. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /T(s) del Sistema mostrado en la Figura 40. Considerar k=3 N-m/rad, ba=2, bL=4  N-m-s/rad, Ja=1, JL=8 Kg-m2

null

8. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema mostrado en la Figura 41, considerando a Θ4(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar la función de transferencia Θ4(s) /T(s). Considerar k1=1, k2=2 N-m/rad, b=8, N-m-s/rad, J1=1, J2=2 Kg-m2

null

9. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 56.

null

10. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 56, suponiendo que ΘL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Representar el Sistema mediante un diagrama de bloques.Determinar la f. de transferencia ΘL(s) /Ei(s).

11. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 61. La curva Torque-Velocidad Angular está dada por Tm(t)= -8ωm(t)+200. Considerar bm=5, bL=800  N-m-s/rad, Jm=1,  JL=400 Kg-m2

null

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Sistema masa-resorte-amortiguador con engranajes. Problemas resueltos. Catálogo 4

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema Rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador rotacional que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo por toda la guía: 21.5 €. Costo por un ejercicio: 12.5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

1. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 22.

null

2. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 23.

null

3. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s)  y Θ2(s)/T(s)  del Sistema mostrado en la Figura 24.El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.

null

4. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 24, considerando a Θ1(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí la función de transferencia Θ1(s)/T(s).

5. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Tm(s)  del Sistema Motor-Eje Flexible-Carga mostrado en la Figura 26.

null

6. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s)  del Sistema mostrado en la Figura 27.

null

7. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)  del Sistema mostrado en la Figura 28.

null

8. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 29.

null

9. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)  del Sistema mostrado en la Figura 30. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2. El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.

null

10. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 30, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s), directamente desde la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2.

11. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema mostrado en la Figura 32, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Utilizando Matlab, hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) directamente a partir de la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1= k2=1 N-m/rad, b1= b2=1 N-m/rad, J=1 Kg-m2.

null

12. Hallar Las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s)  del Sistema mostrado en la Figura 33.

null

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Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema Rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3

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Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema Rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 2

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 21.5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía .

1. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 12.

null

2. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 13.

null

3. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 14.

null

4. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 15. Considerar k1=1, k2= 15 N/m, b1=4, b2= 16 N-s/m, m1= 8, m2=3  Kg.

null

5. Hallar la función de transferencia X3(s)/U(s)  del Sistema mostrado en la Figura 16. Considerar k1=5, k2= 4. k3= 4  N/m, b1=2, b2= 2, b3= 3  N-s/m, m1= 4, m2=5, m3=5  Kg.

null

6. Hallar la función de transferencia X1(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 17. Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1  N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1  Kg. El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número.

null

7. Hallar el modelo en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior Figura 17, tomando a x1(t) como la salida y u(t) como la entrada. Transformar dicho modelo en la función de transferencia X1(s)/U(s). Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1  N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1  Kg.

8. Hallar la función de transferencia Yh(s)/fup(s) del Sistema de la Figura 19. Considerar kh=7, ks=8, kave=5  N/m, bf=3, bh= 10  N-s/m, mh=1, mf=2 Kg.

null

9. Hallar las funciones de transferencia X2(s)/U(s) y X3(s)/U(s) del Sistema de la Figura 20. Considerar k1=1, k2=2, k3=3, k4=4 N/m, b1=2,b2= 1,b3= 3 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=3  Kg.

null

10. Hallar la representación en espacio de estados tomando x3(t) como salida y u(t) como entrada, y la función de transferencia X3(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 21. Considerar k=2 N/m, b1=b2=b3=b4=b5=1 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=1 Kg.

null

11. Determinar la función de transferencia y el diagrama de bloques del sistema de la figura 22:

null

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo de toda la guía: 21.5 €. Costo de un solo ejercicio : 12.5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

  1. La Figura 1 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador. La salida es el desplazamiento x(t) del sistema, mientras que la entrada es la fuerza u(t) que se ejerce sobre la masa m. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s).

null

2. La Figura 2 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador montado sobre un carro. El desplazamiento del carro es y(t) (la entrada) y el desplazamiento del sistema es x(t) (la salida). Considerar que el carro no tiene masa. Hallar la función de transferencia X(s)/Y(s) .

null

3. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema de la Figura 3 utilizando su modelo en frecuencia y algebra lineal.

null

4. Hallar la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema de la Figura 4:

null

5. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 5. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre.

null

6. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s), X2(s)/U(s), del sistema de la Figura 6.

null

7. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s) del sistema presentado en la Figura 7. Comprobar el mismo resultado utilizando la combinación variables de estado – diagrama de bloques. Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada.

null

8. Hallar la representación matricial del sistema de la Figura 8. Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y determine la función de transferencia X1(s)/U(s).

null

9. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 9. Considerar k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Ilustrar el uso de Matlab para la aplicación del álgebra lineal.

null

10. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema de Suspensión Vehicular de la Figura 10. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número)

null

11. Hallar la representación en el espacio de estados del sistema del ejercicio anterior, Figura 10, considerando u(t) como la entrada y y2(t) como la salida. Transformar la representación matricial en la función de transferencia Y2(s)/U(s) directamente, utilizando álgebra de matrices. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.

Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1.

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Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1.

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La Figura 6 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador. Las salidas del sistema son el desplazamiento x1(t) y el desplazamiento x2(t), mientras que la entrada es la fuerza u(t) que se ejerce sobre la masa m1.

Se pide lo siguiente.

  1. Obtenga las ecuaciones diferenciales que describen su modelo matemático.
  2. Obtenga la representación en diagramas de bloques del sistema total.
  3. Obtenga la función de transferencia de las posiciones x1(t) y x2(t)  con respecto a la entrada u(t) de dicho sistema.
  4. Obtenga su representación en espacio de estados.
  5. Verifique de la correspondencia de las representaciones anteriores (diagrama en bloques, función de transferencia y espacio de estado) según los resultados con ayuda de Simulink del Matlab mediante su comportamiento (que debe ser igual) ante una señal tren de pulsos unitarios- Considere los valores:

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Variables de estado

Motor DC – Problemas resueltos – Sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6

La función de transferencia de un Sistema Electromecánico con motor DC.  En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas electromecánicos que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 21.5 €. A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía . 1. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 1. null 2. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 2. null 3. Hallar la representación en espacio de estados de la Figura 2, suponiendo que θL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Determinar el diagrama de bloques del sistema a partir de la representación en espacio de estados. Determinar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) a partir del diagrama de bloques. 4. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 3. Determinar a partir de allí el diagrama de bloques del sistema. null 5. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 4. null 6. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 5, en la cual se incorpora la curva Torque Vs. Velocidad Angular del motor. Considerar bm=8, b2=36  N-m-s/rad, Jm=1, J1=4, J2=18 Kg-m2 . null 7. Hallar la función de transferencia del Sistema θL(s) / Ei(s) mostrado en la Figura 6. La curva Torque-Velocidad Angular está dada por: null  Considerar bm=5, bL=800  N-m-s/rad, Jm=1,  JL=400 Kg-m2. null 8. Realizar el diagrama de bloques y determinar la función de transferencia entre el ángulo de la carga θC(s)  y el ángulo de referencia θr(s)  del Sistema mostrado en la Figura 7. Considerar: null null 9. Determinar la función de transferencia X(s) / Ea(s) a partir de la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 8, tomando a x(t) como la salida, y a ea(t) como la entrada. null 10. Hallar la función de transferencia X(s) / Ea(s) del Sistema de la Figura 9. Considerar bm=1, bG=4 N-m-s/rad, Jm=1, Kg-m2, M=1 Kg, R= 2 m , Ra=1, kb=1 V-s/rad, ki=1 N-m/A null 11. Hallar la función de transferencia θL(s) / θi(s) del Sistema de la Figura 10. Realizar el diagrama de bloques del sistema. null Contacto a través de:
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Problemas resueltos – Sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6
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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Ingeniería Eléctrica, Sistema Electromecánico

Función de transferencia del Motor DC y su carga

Hallar la función de transferencia del sistema formado por un Motor DC y su carga, como se muestra en la Figura 1:

Figura 1. Motor DC con su carga.

Dinámica del sistema

Considerando que:

La dinámica de este sistema es la siguiente:

Transformada de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a este sistema de ecuaciones obtenemos:

Función de transferencia

La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:

la obtenemos mediante el siguiente procedimiento. Sustituimos la ecuación (6) en (9) y luego despejamos Ia(s):

Luego, sustituimos este resultado y la ecuación (8) en la ecuación (7):

Es decir:

 

De donde obtenemos Gm(s), la función de transferencia directa del motor:

Utilizando las ecuaciones (10) y (11), podemos representar el sistema de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Para ilustrar el caso de un lazo cerrado, presentamos ahora el siguiente ejemplo, donde el motor DC y su carga se incorporan a un sistema de control de posición.

Hallar la función de transferencia del sistema de seguimiento de la la Figura 2:

Figura 2. Sistema de control de posición.

Este caso ha sido analizado al detalle en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

Considerando que:

Al aplicar la transformada de Laplace:

Con estas últimas y las ecuaciones del sistema motor-carga, podemos asegurar que la función de transferencia θL(s)/ θr(s) del sistema de seguimiento de la Figura 2, y su diagrama de bloques, son:

Figura 3. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 2.

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

La dinámica de un Motor DC es determinada por un conjunto de ecuaciones que gobiernan su comportamiento. Obtener estas ecuaciones requiere la aplicación de leyes de mecánica, principios de electricidad y conocimiento de campo magnético. Especialmente, implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio. Para echar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.

Las ecuaciones de un Motor DC a lazo abierto son:

Deducción a partir de principios físicos

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 1, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo if que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).

Figura 1. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.

El motor es controlado por un voltaje ea(t) aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 1.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:

null

Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente ia(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia(t) donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia(t) . De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:

null

Donde Km es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor Km de la ecuación anterior se reduce a una constante denominada KiDe esta manera, dicha ecuación se reduce a:

null

Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt , viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje vb(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ωm(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:null

Dónde:null

Denominamos a vb(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kes la constante de proporcionalidad llamada también constante emf.

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz vb(t), provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

Donde Jes el momento inercial (inercia) del rotor, y bes el coeficiente de fricción viscosa del motor.

Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

dónde:

null

Obtención del diagrama de bloques del sistema

Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θm(s), luego mediante un integrador obtenemos Ωm(s):

Paso siguiente, despejamos Ωm(s)  de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:

Ahora, podemos obtener Tm(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:

Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para Ia(s):

De esta manera, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

Figura 2. Diagrama de bloques de un Motor DC a lazo abierto. 

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a KbΩm(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.

Función de Transferencia del motor DC a lazo abierto

A continuación, vamos a deducir La Función de Transferencia Gm(s) a lazo abierto de un Motor DC. Dicha función la podemos obtener reduciendo el diagrama de bloques del sistema, Figura 2.

Tal como se muestra en la Figura 1.b:

Para repasar el álgebra de diagrama de bloques, revisar: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

En primer lugar, reducimos los bloques que están en cascada a uno solo:

Luego, reducimos la realimentación negativa, aplicando la siguiente regla:

Dónde:

Entonces:

Es decir:

Al reducir el diagrama de bloques, obtenemos:

De donde podemos deducir fácilmente la Función de Transferencia Gm(s) para un Motor DC a lazo abierto, la cual es:

El cociente θm(s)/Ea(s)  es conocido como Función de Transferencia Directa Gm(s).

El Motor DC a lazo cerrado

El Servomotor DC controlado por armadura es ampliamente utilizado en sistemas electromecánicos. La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15 mediante un diagrama de bloques, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. Mientras, en la Figura 4-38 se muestra el motor DC funcionando en lazo cerrado, es decir, con realimentación, formando parte de un sistema de control de posición. Cuando el motor DC forma parte de un mecanismo de control de posición, como este último caso, se denomina “Servomotor”.

null

null

A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición:

SIGUIENTE:

Fuentes:

  • Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  • Control Systems Engineering, Nise
  • Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  • Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  • dinamica_de_sistemas
Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Revisión literaria hecha por:

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Sistema de control de posición con realimentación de velocidad (taquimétrica).

Considere un sistema de control de posición como el de la Figura 1:

Figura 1. Sistema de Control de posición. 

Anteriormente vimos que el diagrama de bloques del sistema de la Figura 1 es el siguiente:

Figura 2. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 1.

Ver deducción en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

La derivada del desplazamiento angular de salida del motor m(s)/dt, se realimenta negativamente a la entrada del sistema para mejorar el desempeño. En este caso se utiliza un tacómetro en lugar de diferenciar físicamente θm(s).

El sistema de seguimiento de la Figura 1 con realimentación tacométrica tendrá entonces el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3. Diagrama de bloques del Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad.

Dónde kt es la constante de ganancia del tacómetro. Reduciendo la realimentación negativa interna obtenemos el diagrama de la Figura 4:

Figura 4.

De esta manera obtenemos la Función de Transferencia Directa Gm(s) del sistema de control de posición con realimentación de velocidad:

Figura 5.

Comparación de la respuesta transitoria del sistema antes y después de la realimentación de velocidad.

En construcción…

Breve reseña sobre El Tacómetro.

Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:

La dinámica del tacómetro se puede representar como:

null

Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t) es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t) es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:

null

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

ambién puedes consultar:

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Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de un sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema Y2(s)/ U(s) de la siguiente figura:

  1. Ecuaciones del sistema

Por otra parte:

  1. Transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, (se suponen condiciones iniciales iguales a cero)

  1. Diagrama de Bloques

La clave para elaborar el diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, es considerar la representación en diagrama de bloques del proceso de derivación de las variables del sistema. En este caso, las variables derivadas son y1(t) y y2(t). Su derivación en el dominio de la frecuencia se representa mediante diagrama de bloques como sigue, en el caso de y1(t):

Tome en cuenta que en el diagrama anterior, S2Y1(s), SY1(s) y Y1(s) son nodos.

En el caso de y2(t):

Tome en cuenta que Y2(s) es la salida según la función de transferencia que nos interesa.

El siguiente paso es utilizar las ecuaciones (3) y (4) para despejar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  respectivamente, y representar el resultado en función de los nodos de los diagramas anteriores. Luego utilizar las operaciones de diagrama de bloques para representar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  y añadir dichas imágenes a los diagramas de bloques anteriores.

Para S2Y2(s) utilizamos la ecuación (4)  y procedemos de la siguiente manera:

Sección 1

Para S2Y1(s) utilizamos la ecuación (3)  y procedemos de igual forma.

null
Sección 2

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Por último unimos la sección 1 con la 2 de manera apropiada, y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Diagrama de bloques del sistema

3. Función de transferencia a partir del diagrama de bloques del sistema

Para hallar la función de transferencia tenemos dos opciones. La primera es reducir del diagrama de bloques del sistema. La segunda, aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Vamos con la primera opción.

Para reducir el diagrama de bloques del sistema, iniciamos reduciendo a un solo bloque las realimentaciones negativas internas. La regla de reducción que se aplica es la siguiente:

Donde C(s)/R(s) es la función de transferencia de la realimentación negativa.

Para la realimentación compuesta por las siguientes ganancias:

Se deduce que:Igualmente se procede con la realimentación formada por:

Por tanto, podemos reducir el diagrama de bloques del sistema y sustituir las realimentaciones anteriores por un solo bloque de ganancia, cada una, como sigue:

En el anterior diagrama podemos reducir aquellos bloques que están en cascada y expresarlos mediante un solo bloque:

null

Tomamos en cuenta ahora las realimentaciones negativas del diagrama anterior y procedemos de igual forma:

Por su parte:

Así, el diagrama de bloques del sistema se ve reducido de la siguiente manera:

Luego, transformamos los bloques en cascada en uno solo:

Así, obtenemos:

Se trata ahora con una realimentación positiva. La regla para este caso, dice que:Es decir, para la realimentación positiva ilustrada por:

La regla se aplica como sigue:

Así, al reducir aún más el diagrama de bloques, obtenemos:Simplificando:Por tanto:

Donde observamos que la función de transferencia Y2(s)/ U(s)  es:

3. Función de transferencia a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. 

Como se mencionó antes, el segundo método para deducir la Función de Transferencia del sistema, consiste en aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Para ello, ordenamos convenientemente las ecuaciones (3) y (4) para luego crear una matriz y aplicar las reglas de Kramer:

Utilizamos Matlab para hallar el determinante Δ  de esta matriz:

Δ=k1*k2 + b1*m2*s^3 + b2*m1*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + m1*m2*s^4 + b1*k2*s + b2*k1*s + b2*k2*s + b1*b2*s^2

Es decir: Luego:

De donde obtenemos que la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema es:

Fuente: Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

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