## Mass-spring-damper Problems solved. Catalog 1

The transfer function of a Mass-Spring-Damper System.

In this PDF guide, the Transfer Function of the exercises that are most commonly used in the mass-spring-damper system classes that are in turn part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks with DC motor, is determined. electronic systems in mechatronics, etc. It is a good resource to also learn how to obtain the block diagram of the system, or the representation in state variables. Request via email – WhatsApp. Payment is provided by PayPal, Credit or debit card. Cost: € 21.5

Below, the statements of problems solved in this guide.

1. Given the System of Figure 1, find the transfer function X(s)/U(s).

2. Given the System of Figure 2, find the transfer function X(s)/Y(s) .

3. Given the System of Figure 3, find the transfer function X2(s)/U(s) using its model in the frequency domain and linear algebra.

4. Given the System of Figure 4, find the transfer function Y2(s)/U(s):

5. Given the System of Figure 5, find the transfer function X2(s)/U(s). Illustrate the use of free-body diagrams.

6. Given the System of Figure 6, find the transfer functions X1(s)/U(s) and X2(s)/U(s).

7. Given the System of Figure 7, find the transfer function X(s)/U(s). Check the same result using the combination of state-space representation and block diagrams. Take u(t) as the input and x(t) as the output.

8. Given the System of Figure 8, find its state-space representation, taking x1(t) as the output and u(t) as the input. Build the block diagram of the system and determine the transfer function  X1(s)/U(s).

9.Given the System of Figure 9, find the transfer function X2(s)/U(s). Consider k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Illustrate the use of Matlab and linear algebra.

10. Given the System of Figure 10, find the transfer functions Y1(s)/U(s) and Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (The same exercise is solved with state variables in the exercise 11)

11. Find the state-space representation of the system of the previous exercise, Figure 10, taking y2(t) as the output and u(t) as the input. Transform the state-space representation obtained in the transfer function Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.

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Mass-spring-damper system. Problems solved. Catalog 1

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## Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:

Nota: Este ejercicio demuestra la ventaja de contar con la representación del sistema en variables de estado para la confección del diagrama de bloques del sistema.

1. Dinámica del sistema – Ecuaciones

2. Variables de estado

Definición:

De la definición obtenemos que:

Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para  Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:

Despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:

Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t),  utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

3. Diagrama de bloques

Las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), nos permiten además obtener fácilmente el diagrama de bloques del sistema si consideramos el hecho de que cada variable de estado es un nodo, y cada nodo se consigue mediante la suma, resta y multiplicación de variables, tal como lo muestran las mencionadas ecuaciones.

Podemos iniciar nuestro diagrama de bloques colocando la salida X2(s) al final y la entrada F(s) al principio del diagrama, y colocando bloques integradores que conducen directamente a las variables de estado definidas. Recordar que la transformada de Laplace de dX2(s)(t)/dt es:

El diagrama de bloques para representar esta operación es:En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:Luego, deducimos que:

Así se procede como sigue. Si consideramos la ecuación (4):

Podemos expresar la ecuación (4) utilizando las reglas de construcción de diagrama de bloques como sigue:

Igualmente podemos obrar con la ecuación (3):

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Ahora unimos secciones (1) y (2) apropiadamente y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Fuente:

• Control Systems Engineering, Nise
• Diagrama de bloques – algebra y Mason

Para determinar la función de transferencia de este mismo ejercicio , ver: Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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`Atención: `

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## Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguador

Determinar las ecuaciones de la dinámica del sistema mostrado en la siguiente figura: Se definen los siguientes parámetros: es la masa del remolque, bh es el coeficiente de fricción de amortiguación del acoplamiento, kh es la constante del resorte del acoplamiento, bt es el coeficiente de fricción viscosa del remolque,  x1(t) es el desplazamiento del vehículo remolcador, x2(t) es el desplazamiento del remolque, y f(t)  es la fuerza del vehículo remolcador.
1. Ecuaciones del sistema
Dónde m1 es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema: Por otra parte: Dónde es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema: Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin facilitar la determinación de la transformada de Laplace y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador 2. Transformada de Laplace Utilizando las ecuaciones (1) y (2), podemos dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada elemento de movimiento X1 y Xrespectivamente: El punto 1 es el punto de unión entre el vehículo y el acoplamiento. Luego: Así obtenemos las ecuaciones siguientes: Aplicando propiedad asociativa: Para revisar la teoría sobre Transformada de Laplace ver: La Transformada de Laplace 3. Función de Transferencia En forma de matriz, las ecuaciones anteriores se expresan como: Que tiene la forma: Si el objetivo fuera encontrar la función de transferencia G(s):Entonces al aplicar álgebra lineal a la matriz anterior obtenemos que: Dónde: Mientras que: Por tanto: De donde: Factorizando: Simplificando, obtenemos: Para revisar la teoría sobre Función de Transferencia ver: La Función de Transferencia Para ejecutar el mismo ejercicio utilizando Variables de Estado, ver: Ejercicio de dinámica y variables de estado Fuente: Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

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## Dinámica de un Motor DC – Diagrama de bloques – Función de Transferencia

La dinámica de un Motor DC es determinada por un conjunto de ecuaciones que gobiernan su comportamiento. Obtener estas ecuaciones requiere la aplicación de leyes de mecánica, principios de electricidad y conocimiento de campo magnético. Especialmente, implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio. Para echar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.

Las ecuaciones de un Motor DC a lazo abierto son:

`Deducción a partir de principios físicos`

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 1, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo if que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).

Figura 1. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.

El motor es controlado por un voltaje ea(t) aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 1.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:

Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente ia(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia(t) donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia(t) . De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:

Donde Km es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor Km de la ecuación anterior se reduce a una constante denominada KiDe esta manera, dicha ecuación se reduce a:

Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt , viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje vb(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ωm(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

Dónde:

Denominamos a vb(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf.

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz vb(t), provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

Donde Jes el momento inercial (inercia) del rotor, y bes el coeficiente de fricción viscosa del motor.

Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

dónde:

`Obtención del diagrama de bloques del sistema`

Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θm(s), luego mediante un integrador obtenemos Ωm(s):

Paso siguiente, despejamos Ωm(s)  de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:

Ahora, podemos obtener Tm(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:

Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para Ia(s):

De esta manera, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

Figura 2. Diagrama de bloques de un Motor DC a lazo abierto.

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a KbΩm(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.

`Función de Transferencia del motor DC a lazo abierto`

A continuación, vamos a deducir La Función de Transferencia Gm(s) a lazo abierto de un Motor DC. Dicha función la podemos obtener reduciendo el diagrama de bloques del sistema, Figura 2.

Tal como se muestra en la Figura 1.b:

Para repasar el álgebra de diagrama de bloques, revisar: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

En primer lugar, reducimos los bloques que están en cascada a uno solo:

Luego, reducimos la realimentación negativa, aplicando la siguiente regla:

Dónde:

Entonces:

Es decir:

Al reducir el diagrama de bloques, obtenemos:

De donde podemos deducir fácilmente la Función de Transferencia Gm(s) para un Motor DC a lazo abierto, la cual es:

El cociente θm(s)/Ea(s)  es conocido como Función de Transferencia Directa Gm(s).

`El Motor DC a lazo cerrado`

El Servomotor DC controlado por armadura es ampliamente utilizado en sistemas electromecánicos. La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15 mediante un diagrama de bloques, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. Mientras, en la Figura 4-38 se muestra el motor DC funcionando en lazo cerrado, es decir, con realimentación, formando parte de un sistema de control de posición. Cuando el motor DC forma parte de un mecanismo de control de posición, como este último caso, se denomina “Servomotor”.

A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición:

SIGUIENTE:

Fuentes:

• Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
• Control Systems Engineering, Nise
• Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
• Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
• dinamica_de_sistemas
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## Ejemplo 2 – Función de transferencia de sistema electromecánico.

Encontrar en términos genéricos, la función de transferencia del sistema de realimentación unitaria mostrado en la Figura P5.52(b) del cual es parte el sistema  electromecánico de la Figura P5.52(a).

`1. Dinámica del sistema`

`2. Transformada de Laplace`

`3. Función de Transferencia Motor&Load`

donde:

`4. Función de transferencia directa`

Para el sistema:

La función de transferencia a lazo abierto Ga(s) es:

`5. Función de transferencia a lazo cerrado`

La función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) es:

Es decir:

Este problema es la primera parte de uno donde se solicita la respuesta transitoria para que el sobresalto sea de 20% y el tiempo de establecimiento sea de 2 segundos, ver el problema completo en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Referencia:

1. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
2. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

## Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador – Ejemplo 2

Hallar la Función de Transferencia del sistema masa-resorte-amortiguador que se muestra a continuación:

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente:

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

Para la Masa 3 el diagrama de cuerpo libre es:

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Supongamos que nuestra intención es hallar X3(s)/F(s). Primero vamos a hallar el determinante de la matriz mediante el siguiente comando en matlab:
>> s=sym(‘s’); >> A=[4*s^2+4*s+8 -4 -2*s;-4 5*s^2+3*s+4 -3*s;-2*s -3*s 5*s^2+5*s+5]; >> delta=det(A)
delta =100*s^6 + 260*s^5 + 544*s^4 + 652*s^3 + 484*s^2 + 280*s + 80 Luego:
>> Us=sym(‘Us’); >> B=[4*s^2+4*s+8 -4 0;-4 5*s^2+3*s+4 Us;-2*s -3*s 0]; >> CX3=det(B)
CX3 =12*Us*s^3 + 12*Us*s^2 + 32*Us*s Entonces:De donde: Te puede interesar:

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## Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador – Ejemplo 1

Obtener la Función de Transferencia X1(s)/U(s) del sistema mecánico de la Figura 3-83 Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149.

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente (el análisis debido a cada movimiento X(s) se hace por separado para mayor claridad): Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es: La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Así, aplicando álgebra lineal obtenemos la Función de Transferencia X2(s)/U(s) como:

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