Categoría: Dinámica de sistemas

La dinámica de un Motor DC es determinada por un conjunto de ecuaciones que gobiernan su comportamiento. Obtener estas ecuaciones requiere la aplicación de leyes de mecánica, principios de electricidad y conocimiento de campo magnético. Especialmente, implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio. Para echar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.

Las ecuaciones de un Motor DC a lazo abierto son:

Deducción a partir de principios físicos

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 1, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo i_f que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).

Figura 1. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.

El motor es controlado por un voltaje e_a(t) aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 1.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:

Donde La y Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente i_a(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLi_a(t) donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque T_m(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente i_a(t) . De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:

Donde K_m es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor K_m*Φ de la ecuación anterior se reduce a una constante denominada K_i. De esta manera, dicha ecuación se reduce a:

Donde K_i es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. K_i, con frecuencia denominada también K_t , viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por T_m= K_mi_f, donde i_f es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje v_b(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ω_m(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

Dónde:

Denominamos a v_b(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); K_b es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf.

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz v_b(t), provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

Donde J_m es el momento inercial (inercia) del rotor, y b_m es el coeficiente de fricción viscosa del motor.

Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

dónde:

Obtención del diagrama de bloques del sistema

Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θ_m(s), luego mediante un integrador obtenemos Ω_m(s):

Paso siguiente, despejamos Ω_m(s)  de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:

Ahora, podemos obtener T_m(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:

Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para I_a(s):

De esta manera, tomando a E_a(s) como la entrada y a θ_m(s) como la salida,  se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

Figura 2. Diagrama de bloques de un Motor DC a lazo abierto. 

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a K_bΩ_m(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.

Función de Transferencia del motor DC a lazo abierto

A continuación, vamos a deducir La Función de Transferencia G_m(s) a lazo abierto de un Motor DC. Dicha función la podemos obtener reduciendo el diagrama de bloques del sistema, Figura 2.

Tal como se muestra en la Figura 1.b:

Para repasar el álgebra de diagrama de bloques, revisar: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

En primer lugar, reducimos los bloques que están en cascada a uno solo:

Luego, reducimos la realimentación negativa, aplicando la siguiente regla:

Dónde:

Entonces:

Es decir:

Al reducir el diagrama de bloques, obtenemos:

De donde podemos deducir fácilmente la Función de Transferencia G_m(s) para un Motor DC a lazo abierto, la cual es:

El cociente θ_m(s)/E_a(s)  es conocido como Función de Transferencia Directa G_m(s).

El Motor DC a lazo cerrado

El Servomotor DC controlado por armadura es ampliamente utilizado en sistemas electromecánicos. La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15 mediante un diagrama de bloques, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. Mientras, en la Figura 4-38 se muestra el motor DC funcionando en lazo cerrado, es decir, con realimentación, formando parte de un sistema de control de posición. Cuando el motor DC forma parte de un mecanismo de control de posición, como este último caso, se denomina “Servomotor”.

A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición:

SIGUIENTE:

• Servomotores – Sistema de control de posición

Fuentes:

• Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
• Control Systems Engineering, Nise
• Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
• Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
• dinamica_de_sistemas

Atención: