En esta guía PDF se determina el Diagrama de Bloques y la Función de Transferencia mediante la aplicación álgebra de bloques, de los ejercicios que más se utilizan en las clases sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener la representación en variables de estado. También aparecen ejemplos de como aplicar la misma técnica a redes eléctricas y sistemas de nivel de líquido. Una vez pagado por favor Solicitar la guía vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 12.5 € por un solo problema. Toda la guía tiene un costo de 27.5 €.
1. Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) de la Figura 1, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.
2. Obtener la función de transferencia G(s)=C(s)/R(s) de la Figura 2, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.
3. Obtener la función de transferencia G(s)=C(s)/R(s) de la Figura 3, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.
4. Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) de la Figura 4, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.
5. Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) de la Figura 5, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.
6. Determinar la expresión para C(s) utilizando álgebra de diagrama de bloques de la figura 6:
7. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 7 y representarlo mediante variables de estado. A partir de allí determinar el diagrama de bloques del sistema. Luego, utilizando álgebra de diagrama de bloques, Hallar la función de transferencia X(s)/U(s). Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada. Comprobar el resultado mediante transformada de Laplace.
8. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 8. Hallar la representación matricial del sistema (variables de estado). Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y utilizando álgebra de bloques determinar la función de transferencia X1(s)/U(s).
9. Hallar las ecuaciones del sistema de la figura 22. Determinar la función de transferencia X1(s)/U(s). Determinar el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida.
10. Hallar las ecuaciones del Sistema de la Figura 24. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, considerando a Θ1(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí, mediante álgebra de bloques, determinar la función de transferencia Θ1(s)/T(s).
11. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 25. Determinar la función de transferencia X1(s)/F(s). Obtener el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida (Explicar paso a paso). Graficar la respuesta del sistema a una entrada función escalón mediante Matlab. Considerar k1= k2= k3= 1 N/m, b1= b2= b3=1 N-s/m, m1= m2= m3=1 Kg.
Gráfica de respuesta al escalón unitario del ejercicio 5.
12. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema de la Figura 75. Utilizar el método de análisis de nodos. Hallar la función de transferencia Vo(s)/V(s). Realice la representación del sistema en diagrama de bloques a partir de la función de transferencia Vo(s)/V(s). Considerar R1=1Ω, R2= R3=1 Ω, L=1 H, C1=C2=1 pF.
13. Obtener la función de transferencia Vo(s)/V(s) del sistema eléctrico de la figura 75, a partir del diagrama de bloques del sistema obtenido en el problema 12, utilizando álgebra de bloques. Simular y analizar en Matlab la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.
14. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 39 suponiendo que Θ4(t) es la salida y T(t)es la entrada. Dibujar el diagrama de bloques del sistema y hallar la función de transferencia Θ4(t)/T(t). Considerar k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4 Kg-m2
15. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Ei(s)del Sistema mostrado en la Figura 56. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, suponiendo que ΘL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Representar el Sistema mediante un diagrama de bloques. A partir del diagrama de bloques del sistema, determinar nuevamente y por medio de álgebra de bloques la función de transferencia ΘL(s)/Ei(s).
16. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Θr(s) del Sistema mostrado en la Figura 59. Diseñar el diagrama de bloques del sistema.
17. Hallar la función de transferencia Q2(s)/Q1(s) del Sistema de Nivel de Líquido mostrado en la Figura 68. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema tomando a q2(t)como la salida, y a q1(t)como la entrada. Obtener el diagrama de bloques del sistema y determinar la misma función de transferencia por medio de álgebra de bloques.
18. Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V(t) y otra horizontal H(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x(0)=0, y(0)=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:
ATENCIÓN: Si no encuentra lo que busca….Puedo resolverle ejercicios y problemas de diagrama de bloques de inmediato. Por favor envíe un mensaje a mi WhatsApp y le doy la solución lo más pronto posible…+34633129287…puede pagar con Paypal y TC. a continuación:
Diagrama de Bloques – Problemas resueltos – Catálogo 8
En esta guía PDF se determina el Diagrama de Bloques y la Función de Transferencia mediante la aplicación álgebra de bloques, de los ejercicios que más se utilizan en las clases sistemas de control. Una vez pagado, por favor solicitar la guía al WhatSapp +34633129287
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Para resolver esta guía se utilizarán las siguientes reglas:
Un sistema de control puede estar a lazo abierto o a lazo cerrado. Para entender esta diferencia debemos poner atención al efecto que tiene la salida en la acción de control del sistema (Ogata, 1998). Si la salida influye en la acción de control, el sistema está a lazo cerrado. En cambio, si la salida no afecta la acción de control, estamos en presencia de un sistema de control a lazo abierto.
La variable controlada es la cantidad o condición que se mide o se controla. La variable manipulada, o variable de control, es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.
Para entender mejor el concepto de lazo abierto, considere el siguiente esquema, el cual representa a un componente muy frecuente y básico en todo sistema electromecánico, un Potenciómetro:
Figura 1
En la práctica el funcionamiento del sistema de la Figura 1 es simple. La posición B de la aguja (variable de control) depende del desplazamiento angular Θi(t)(entrada del sistema). La posición de la aguja determina un voltaje Vo(t) (salida del sistema, variable controlada) que puede tener un valor entre +50 y -50 voltios. En este sistema, la salida no afecta la acción de control, que es el movimiento mecánico de la manecilla (controlador). Por lo tanto, se trata de un sistema a lazo abierto, el cual podemos representar mediante el siguiente diagrama de bloques:
Figura 2
Si quisiéramos configurar el sistema de la Figura 2 como un sistema a lazo cerrado, tendríamos que medir la salida, en primer lugar, y compararla con la señal de referencia, en segundo lugar, de manera tal que un Controladorejecute la acción controladora en base al resultado de dicha comparación. Este proceso podría ser representado mediante el siguiente diagrama:
Con bastante frecuencia, el Potenciómetro de la Figura 1 es el componente que activa un Motor DC como se muestra en el siguiente ejemplo:
Figura 4
El sistema de la Figura 4 es otro ejemplo de sistema electromecánico a lazo abierto, que involucra una mayor cantidad de componentes entre los que resaltan el uso de un Motor DC y una Caja de Engranajes que permite trasformar un movimiento rotacional en un desplazamiento traslacional, pero en el cual la salida no influye a la acción controladora.
El siguiente sistema, en cambio, tiene también un Potenciómetro que mide el desplazamiento a la salida y ésta medida influye sobre la acción de control:
Figura 5
El sistema de la Figura 5 es un sistema electromecánico a lazo cerrado que compara el voltaje de salida c con el voltaje de entrada r. Esta comparación se manifiesta como una diferencia de voltaje ev=r-c que luego alimenta un Amplificador Diferencial, que a su vez activa un Motor DC que, a través de un sistema de Engranajes, mueve el Potenciómetro c. Este proceso se repite hasta que ev=0, es decir, hasta que r=c. Dicho de otro modo, el sistema busca que la salida iguale a la entrada, por lo que a este sistema se le denomina sistema automático seguidor de la entrada, Sistema de Control de Posición o Servosistema.
Cuando un Motor DC forma parte de un Servosistema, se le denomina ServoMotor. El Sistema de Control de Posición es uno de los mecanismos esenciales más utilizados en la ingeniería, de allí su gran importancia. Si quieres saber más sobre este proceso básico, ve a Servomotores – Sistema de control de posición.
La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador rotacional que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo por toda la guía: 21.5 €. Costo por un ejercicio: 12.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.
1. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 22.
2. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 23.
3. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)del Sistema mostrado en la Figura 24.El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.
4. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 24, considerando a Θ1(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí la función de transferencia Θ1(s)/T(s).
5. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Tm(s) del Sistema Motor-Eje Flexible-Carga mostrado en la Figura 26.
6. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s) del Sistema mostrado en la Figura 27.
7. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 28.
8. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 29.
9. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)del Sistema mostrado en la Figura 30. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2. El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.
10. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 30, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s), directamente desde la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2.
11. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema mostrado en la Figura 32, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Utilizando Matlab, hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) directamente a partir de la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1= k2=1 N-m/rad, b1= b2=1 N-m/rad, J=1 Kg-m2.
12. Hallar Las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s)del Sistema mostrado en la Figura 33.
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La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 21.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía .
1. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 12.
2. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 13.
3. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 14.
4. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 15. Considerar k1=1, k2= 15 N/m, b1=4, b2= 16 N-s/m, m1= 8, m2=3 Kg.
5. Hallar la función de transferencia X3(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 16. Considerar k1=5, k2= 4. k3= 4 N/m, b1=2, b2= 2, b3= 3 N-s/m, m1= 4, m2=5, m3=5 Kg.
6. Hallar la función de transferencia X1(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 17. Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg. El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número.
7. Hallar el modelo en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior Figura 17, tomando a x1(t)como la salida y u(t) como la entrada. Transformar dicho modelo en la función de transferencia X1(s)/U(s). Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg.
8. Hallar la función de transferencia Yh(s)/fup(s) del Sistema de la Figura 19. Considerar kh=7, ks=8, kave=5 N/m, bf=3, bh= 10 N-s/m, mh=1, mf=2 Kg.
9. Hallar las funciones de transferencia X2(s)/U(s) y X3(s)/U(s) del Sistema de la Figura 20. Considerar k1=1, k2=2, k3=3, k4=4 N/m, b1=2,b2= 1,b3= 3 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=3 Kg.
10. Hallar la representación en espacio de estados tomando x3(t)como salida y u(t)como entrada, y la función de transferencia X3(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 21. Considerar k=2 N/m, b1=b2=b3=b4=b5=1 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=1 Kg.
11. Determinar la función de transferencia y el diagrama de bloques del sistema de la figura 22:
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La función de transferencia de un Sistema Electromecánico con motor DC.
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1. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 1.
2. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s)del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 2.
3. Hallar la representación en espacio de estados de la Figura 2, suponiendo que θL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Determinar el diagrama de bloques del sistema a partir de la representación en espacio de estados. Determinar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) a partir del diagrama de bloques.
4. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s)del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 3. Determinar a partir de allí el diagrama de bloques del sistema.
5. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s)del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 4.
6. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 5, en la cual se incorpora la curva Torque Vs. Velocidad Angular del motor. Considerar bm=8, b2=36 N-m-s/rad, Jm=1, J1=4, J2=18 Kg-m2 .
7. Hallar la función de transferencia del Sistema θL(s) / Ei(s) mostrado en la Figura 6. La curva Torque-Velocidad Angular está dada por:Considerar bm=5, bL=800 N-m-s/rad, Jm=1, JL=400 Kg-m2.
8. Realizar el diagrama de bloques y determinar la función de transferencia entre el ángulo de la carga θC(s) y el ángulo de referencia θr(s) del Sistema mostrado en la Figura 7. Considerar:9. Determinar la función de transferencia X(s) / Ea(s)a partir de la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 8, tomando a x(t) como la salida, y a ea(t)como la entrada.
10. Hallar la función de transferencia X(s) / Ea(s) del Sistema de la Figura 9. Considerar bm=1, bG=4 N-m-s/rad, Jm=1, Kg-m2, M=1 Kg, R= 2 m , Ra=1, kb=1 V-s/rad, ki=1 N-m/A
11. Hallar la función de transferencia θL(s) / θi(s) del Sistema de la Figura 10. Realizar el diagrama de bloques del sistema.
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Problemas resueltos – Sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6
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Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuchMentoring Académico / Emprendedores / Empresarial
Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
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Hallar la función de transferencia del sistema formado por un Motor DC y su carga, como se muestra en la Figura 1:
Figura 1. Motor DC con su carga.
Dinámica del sistema
Considerando que:
La dinámica de este sistema es la siguiente:
Transformada de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a este sistema de ecuaciones obtenemos:
Función de transferencia
La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:
la obtenemos mediante el siguiente procedimiento. Sustituimos la ecuación (6) en (9) y luego despejamos Ia(s):
Luego, sustituimos este resultado y la ecuación (8) en la ecuación (7):
Es decir:
De donde obtenemos Gm(s), la función de transferencia directa del motor:
Utilizando las ecuaciones (10) y (11), podemos representar el sistema de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:
Para ilustrar el caso de un lazo cerrado, presentamos ahora el siguiente ejemplo, donde el motor DC y su carga se incorporan a un sistema de control de posición.
Hallar la función de transferencia del sistema de seguimiento de la la Figura 2:
Con estas últimas y las ecuaciones del sistema motor-carga, podemos asegurar que la función de transferencia θL(s)/ θr(s) del sistema de seguimiento de la Figura 2, y su diagrama de bloques, son:
Figura 3. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 2.
La dinámica de un Motor DC es determinada por un conjunto de ecuaciones que gobiernan su comportamiento. Obtener estas ecuaciones requiere la aplicación de leyes de mecánica, principios de electricidad y conocimiento de campo magnético. Especialmente, implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio. Para echar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.
Las ecuaciones de un Motor DC a lazo abierto son:
Deducción a partir de principios físicos
Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 1, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo if que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).
Figura 1. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.
El motor es controlado por un voltaje ea(t)aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 1.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:
Donde Lay Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.
La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente ia(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia(t)donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia(t). De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:
Donde Km es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor Km*Φde la ecuación anterior se reduce a una constante denominada Ki. De esta manera, dicha ecuación se reduce a:
DondeKies La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki,con frecuencia denominada también Kt, viene en N-m/A.
Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde ifes la corriente de campo.
Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje vb(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ωm(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:
Dónde:
Denominamos a vb(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf.
Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotrizvb(t), provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.
Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:
Donde Jm es el momento inercial (inercia) del rotor, y bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor.
Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:
dónde:
Obtención del diagrama de bloques del sistema
Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.
Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:
Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θm(s), luego mediante un integrador obtenemos Ωm(s):
Paso siguiente, despejamos Ωm(s) de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:
Ahora, podemos obtener Tm(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:
Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para Ia(s):
De esta manera, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s)como la salida, se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:
Figura 2. Diagrama de bloques de un Motor DC a lazo abierto.
Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a KbΩm(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.
Función de Transferencia del motor DC a lazo abierto
A continuación, vamos a deducir La Función de Transferencia Gm(s)a lazo abierto de un Motor DC. Dicha función la podemos obtener reduciendo el diagrama de bloques del sistema, Figura 2.
En primer lugar, reducimos los bloques que están en cascada a uno solo:
Luego, reducimos la realimentación negativa, aplicando la siguiente regla:
Dónde:
Entonces:
Es decir:
Al reducir el diagrama de bloques, obtenemos:
De donde podemos deducir fácilmente la Función de Transferencia Gm(s)para un Motor DC a lazo abierto, la cual es:
El cociente θm(s)/Ea(s) es conocido como Función de Transferencia Directa Gm(s).
El Motor DC a lazo cerrado
El Servomotor DC controlado por armadura es ampliamente utilizado en sistemas electromecánicos. La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la Figura 2.15 mediante un diagrama de bloques, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. Mientras, en la Figura 4-38 se muestra el motor DC funcionando en lazo cerrado, es decir, con realimentación, formando parte de un sistema de control de posición. Cuando el motor DC forma parte de un mecanismo de control de posición, como este último caso, se denomina “Servomotor”.
A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición:
Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
Control Systems Engineering, Nise
Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
dinamica_de_sistemas
Atención:
Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.
Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales.
INDICE
Capítulo 1———————————————————- 1
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
Capítulo 2———————————————————- 51
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
Capítulo 3———————————————————- 76
Sistema Mecánico con engranajes
Capítulo 4———————————————————- 89
Sistema eléctrico, electrónico
Capítulo 5———————————————————-114
Sistema Electromecánico – Motor DC
Capítulo 6——————————————————— 144
Sistema del nivel de líquido
Capítulo 7——————————————————— 154
Linealización de sistemas no lineales
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
La derivada del desplazamiento angular de salida del motor dθm(s)/dt, se realimenta negativamente a la entrada del sistema para mejorar el desempeño. En este caso se utiliza un tacómetro en lugar de diferenciar físicamente θm(s).
El sistema de seguimiento de la Figura 1 con realimentación tacométrica tendrá entonces el siguiente diagrama de bloques:
Figura 3. Diagrama de bloques del Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad.
Dónde kt es la constante de ganancia del tacómetro. Reduciendo la realimentación negativa interna obtenemos el diagrama de la Figura 4:
Figura 4.
De esta manera obtenemos la Función de Transferencia Directa Gm(s) del sistema de control de posición con realimentación de velocidad:
Figura 5.
Comparación de la respuesta transitoria del sistema antes y después de la realimentación de velocidad.
En construcción…
Breve reseña sobre El Tacómetro.
Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:
La dinámica del tacómetro se puede representar como:
Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t)es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t)es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:
Determinar el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistemaY2(s)/ U(s) de la siguiente figura:
Ecuaciones del sistema
Por otra parte:
Transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, (se suponen condiciones iniciales iguales a cero)
Diagrama de Bloques
La clave para elaborar el diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, es considerar la representación en diagrama de bloques del proceso de derivación de las variables del sistema. En este caso, las variables derivadas son y1(t) y y2(t). Su derivación en el dominio de la frecuencia se representa mediante diagrama de bloques como sigue, en el caso de y1(t):
Tome en cuenta que en el diagrama anterior, S2Y1(s), SY1(s) y Y1(s) son nodos.
En el caso de y2(t):
Tome en cuenta que Y2(s) es la salida según la función de transferencia que nos interesa.
El siguiente paso es utilizar las ecuaciones (3) y (4) para despejar S2Y1(s) y S2Y2(s) respectivamente, y representar el resultado en función de los nodos de los diagramas anteriores. Luego utilizar las operaciones de diagrama de bloques para representar S2Y1(s) y S2Y2(s) y añadir dichas imágenes a los diagramas de bloques anteriores.
Para S2Y2(s) utilizamos la ecuación (4) y procedemos de la siguiente manera:
Sección 1
Para S2Y1(s) utilizamos la ecuación (3) y procedemos de igual forma.
Por último unimos la sección 1 con la 2 de manera apropiada, y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:
Diagrama de bloques del sistema
3. Función de transferencia a partir del diagrama de bloques del sistema
Para hallar la función de transferencia tenemos dos opciones. La primera es reducir del diagrama de bloques del sistema. La segunda, aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Vamos con la primera opción.
Para reducir el diagrama de bloques del sistema, iniciamos reduciendo a un solo bloque las realimentaciones negativas internas. La regla de reducción que se aplica es la siguiente:
Donde C(s)/R(s) es la función de transferencia de la realimentación negativa.
Para la realimentación compuesta por las siguientes ganancias:
Se deduce que:Igualmente se procede con la realimentación formada por:
Por tanto, podemos reducir el diagrama de bloques del sistema y sustituir las realimentaciones anteriores por un solo bloque de ganancia, cada una, como sigue:
En el anterior diagrama podemos reducir aquellos bloques que están en cascada y expresarlos mediante un solo bloque:
Tomamos en cuenta ahora las realimentaciones negativas del diagrama anterior y procedemos de igual forma:
Por su parte:
Así, el diagrama de bloques del sistema se ve reducido de la siguiente manera:
Luego, transformamos los bloques en cascada en uno solo:
Así, obtenemos:
Se trata ahora con una realimentación positiva. La regla para este caso, dice que:Es decir, para la realimentación positiva ilustrada por:
La regla se aplica como sigue:
Así, al reducir aún más el diagrama de bloques, obtenemos:Simplificando:Por tanto:
Donde observamos que la función de transferencia Y2(s)/ U(s) es:
3. Función de transferencia a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema.
Como se mencionó antes, el segundo método para deducir la Función de Transferencia del sistema, consiste en aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Para ello, ordenamos convenientemente las ecuaciones (3) y (4) para luego crear una matriz y aplicar las reglas de Kramer:
Utilizamos Matlab para hallar el determinante Δ de esta matriz:
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INDICE
Capítulo 1———————————————————- 1
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
Capítulo 2———————————————————- 51
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
Capítulo 3———————————————————- 76
Sistema Mecánico con engranajes
Capítulo 4———————————————————- 89
Sistema eléctrico, electrónico
Capítulo 5———————————————————-114
Sistema Electromecánico – Motor DC
Capítulo 6——————————————————— 144
Sistema del nivel de líquido
Capítulo 7——————————————————— 154
Linealización de sistemas no lineales
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2. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 2.
5. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 4.
6. 
7. Hallar
Considerar bm=5, bL=800 N-m-s/rad, Jm=1, JL=400 Kg-m2.
8. 
10. 
11. 
Contacto a través de:
Figura 1. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.
Figura 2. Diagrama de bloques de un Motor DC a lazo abierto. 
Por otra parte:
Se deduce que:
Igualmente se procede con la realimentación formada por:
Simplificando:
Por tanto:
Luego:
