Análisis de sistemas de control, Diagrama de Bode

Respuesta forzada a una entrada exponencial utilizando el Diagrama de Bode

Si la respuesta libre (respuesta natural u homogénes) tiende a cero (circuito estrictamente estable), en régimen permanente sólo queda la componente forzada. La respuesta forzada a una excitación sinusoidal (o salida en régimen permanente sinusoidal en circuitos estrictamente estables) es la sinusoide de la entrada amplificada y desfasada, como se puede ver en la Figura 1:

null

Figura 1

Suponga un sistema con función de transferencia H(s), entrada X(s) y salida Y(s), representado mediante el  diagrama de bloques de la Figura 2:

null

Figura 2

De la Figura 2 sabemos que:

null

Entonces, ¿Cuál será entonces la respuesta forzada a una excitación exponencial? Razonamos de la siguiente manera analítica:

nullPor tanto:nullUtilizando la ecuación (1) entonces:null

Utilizando la técnica de expansión en fracciones simples vemos que:

null

Vemos en la ecuación anterior que la respuesta forzada Yf(s) es:

null

Al hacer la antitransformada de la respuesta forzada Yf(s), obtenemos que yf(t) es:

null

La ecuación (2) confirma que la respuesta forzada a una excitación sinusoidal  es la sinusoide de la entrada amplificada en H(so) (la función de transferencia evaluada en so).

¿Qué pasa si tomamos valores complejos para K y argumento imaginario puro para la exponencial?

Razonamos de la siguiente manera analítica:

null

Aplicando el mismo procedimiento obtenemos que en este caso la respuesta forzada yf(t)  es:

null

Dónde:

null

La ecuación para yf(t) confirma que la respuesta forzada a una excitación sinusoidal  es la sinusoide de la entrada amplificada en H(jω) y desfasada en <H(jω).

Estos últimos, el módulo y la fase, son los elementos de un diagrama de Bode de la función de transferencia del sistema. Por lo tanto, conociendo la función de entrada x(t) y disponiendo del diagrama de Bode de la función de transferencia de dicho sistema, podemos obtener la respuesta forzada yf(t) del sistema a la entrada x(t).

Ejemplo:

Disponiendo del siguiente Diagrama de Bode de la función de transferencia de un sistema, así como de la entrada a dicho sistema, determinar la respuesta forzada por esta entrada.

null

nullRespuesta:nullDónde:null

Ya que:nullEntonces:

nullPodemos ver en el diagrama de Bode que:

null

nullPor lo tanto:nullEs decir:null

Te puede interesar:

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Diagrama de Bode

Formulario de examen resuelto – Diagrama de Bode

  1. Determinar el valor de la constante K en la función de transferencia T(jω) para obtener el diagrama de Bode de la Figura:

null

Respuesta:

null

Podemos comprobar este resultado en Matlab mediante:

>> G=tf([1 10],[1 100]);

>> sys=1.9275*G;

>> bode(sys)

null

2. En base al diagrama siguiente, indica si el sistema de control en lazo cerrado con realimentación unitaria es estable.

null

Respuesta:

Se utiliza el siguiente criterio:

null

Vemos en el diagrama de Bode el sector rodeado por las líneas negras, la ganancia es positiva mientras que la fase es negativa con un valor entre -180° y  -270°:

null

Podemos concluir que el sistema es inestable.

3. Disponiendo del siguiente Diagrama de Bode de la función de transferencia de un sistema, así como de la entrada a dicho sistema, determinar la respuesta forzada por esta entrada.

null

nullRespuesta:nullDónde:null

Ya que:nullEntonces:

nullPodemos ver en el diagrama de Bode que:

null

nullPor lo tanto:nullEs decir:null

Basado en: Respuesta forzada a una entrada exponencial utilizando el Diagrama de Bode

4. Sea el siguiente diagrama de Bode, determinar una posible función de transferencia.

null

Respuesta:

The logarithmic amplitude frequency characteristic (LAFC) of Figure 1 shown that:nullsuggesting that the transfer function of this system has a factor (jω), a zero in the origin. The slope of the logarithmic magnitude curve for this factor is n. If  n=1 , we get a slope of 20 db/dek and we get the straight line of Figure 1, approximately from ω=0.1  to ω=10, including the fact that the magnitude is zero at ω=1.

Then the LAFC shown a straight line of slope equal to zero from ω=10  to ω=100, suggesting that a subtraction of slopes have happened at ω=10. That is possible if the transfer function has a factor 1/(1+jωT1), where ω=1/T1  is the corner frequency. The factor 1/(1+jωT1)  has a slope of 20 db/dek from ω=10 and on. Thus, we get a slope equal to zero from ω=10.

Finally, the LAFC shown a straight line of slope equal to 20 db/dek  from ω=100  and on. Clearly, a new subtraction of slopes have happened at ω=100. Thus, the transfer function has a second factor 1/(1+jωT2), where ω=1/T2  is the corner frequency.

Thus, the possible transfer function is as follows:

nullWhere:

null

Replacing these values and , we get:

null

We can corroborate this result by applying the following commands in the Command Window of Matlab and matching this result to the original curve:

>> s=tf(‘s’);

>> G=1000*s/((s+10)*(s+100));

>> bode(G)

null

null

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Análisis de sistemas de control, Diagrama de Bode, Función de Transferencia

Función de transferencia a partir del diagrama de Bode.

Los gráficos de Bode son una presentación conveniente de los datos de respuesta de frecuencia para el propósito de estimar la función de transferencia. El Diagrama de Bode permite determinar y extraer partes de la función de transferencia, lo que abrirá el camino a más cálculos para encontrar las partes restantes de dicha función.

Aunque la experiencia y la intuición son invaluables en el proceso, los siguientes pasos  ofrecen una guía:

1. Observe las gráficas de magnitud y fase de Bode y estime la configuración de polos y zeros del sistema. Observar la pendiente inicial en el diagrama de magnitud para determinar el tipo de sistema. Observar las excursiones de fase para tener una idea de la diferencia entre el número de polos y el número de zeros.
2. Vea si partes de las curvas de magnitud y fase representan gráficas obvias de respuesta de frecuencia de polo o zero de primer o segundo orden.
3. Observar si hay algún pico revelador o depresiones en la gráfica de magnitud que indique un polo de segundo orden o zero amortiguado, respectivamente.
4. Si alguna respuesta típica de un polo o un zero puede ser identificada, superponer líneas apropiadas de ± 20 o ± 40 dB / década en la curva de magnitud o líneas de ±45°/década en la curva de fase y estimar las frecuencias de ruptura. Para polos o zeros de segundo orden, calcule la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural a partir de las curvas estándar.

5. Diseñar una función de transferencia de ganancia unitaria utilizando los polos y zeros encontrados. Obtenga la respuesta de frecuencia de esta función de transferencia y reste esta respuesta de la respuesta de frecuencia anterior, con la que comenzó el ejercicio. Ahora tiene una respuesta de frecuencia de complejidad reducida a partir de la cual comenzar el proceso nuevamente para extraer más información sobre los polos y ceros del sistema. Un programa de computadora como MATLAB es de gran ayuda para este paso.

Example

Encontrar la función de transferencia del sistema cuyo diagrama de Bode se muestra en la Figura 1:

null

Figura 1

Primero extraigamos los polos subamortigados, basados en el pico en la curva de magnitud. Estimamos que la frecuencia natural está cerca de la frecuencia pico, o aproximadamente 5 rad/s. De la Figura 1, podemos ver un pico alrededor de 6.5 dB, que se interpreta como un factor de amortiguamiento ζ=0,24. La función de transferencia estándar de un sistema de segundo orden con ganancia unitaria es:

null

Se restan los diagramas de Bode en la Figura 2:

null

Figura 2

Al superponer una línea de -20 dB/decade en la respuesta de magnitud y una línea de -45°/decade en la respuesta de fase, detectamos un polo final. A partir de la respuesta de fase, estimamos la frecuencia de ruptura a 90 rad/s. Restando la respuesta de G2(s)=90/(s+90) de la respuesta anterior se obtiene la respuesta en la Figura 3.

null

Figura 3

La figura 3 tiene una curva de magnitud y fase similar a la generada por una función de retraso. Dibujamos una línea de -20 dB/decade y la ajustamos a las curvas. Las frecuencias de ruptura se leen de la figura como 9 y 30 rad/s. Una función de transferencia de ganancia unitaria que contiene un polo en -9 y un cero en -30 es G3(s)=0.3(s+30)/(s+9). Al restar G1(s)G2(s)G3(s), encontramos la respuesta de frecuencia de magnitud plana ± 1 dB y la respuesta de fase plana a -3 ± 5 °. Por lo tanto, concluimos que hemos terminado de extraer las funciones de transferencia dinámica, la cual es:

null

Es interesante notar que la curva original se obtuvo de la función:

null

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Análisis de sistemas de control, Diagrama de Bode

El diagrama de Bode – Gráfica de respuesta en frecuencia de un sistema de control.

El diagrama de Bode es el trazado de la respuesta de frecuencia de un sistema con gráficos de magnitud y fase separados. Las curvas de respuesta en frecuencia, de magnitud y  de fase como funciones de log ω se denominan Diagramas de Bode. El dibujar diagramas de Bode se puede simplificar porque se pueden aproximar como una secuencia de líneas rectas. Las aproximaciones en línea recta simplifican la evaluación de la de magnitud y  de fase de la respuesta en frecuencia.

Cuando elaboramos las gráficas de magnitud y  de fase por separado, la gráfica de la curva de magnitud puede tener el eje de las ordenadas en decibeles (dB) vs. log ω en el eje de las abscisas, donde dB = 20 log M.

Ejemplo

Graficar el Diagrama de Bode para la respuesta en frecuencia del sistema descrito por la función de Transferencia G(s):

null

null

Factores Básicos de G(jω)H(jω)

La ventaja principal de usar una traza logarítmica es la facilidad relativa de graficar las curvas de la respuesta en frecuencia. Los factores básicos que suelen ocurrir en una función de transferencia arbitraria G(jω)H(jω) son:

  1. La ganancia K
  2. Los factores de integral y de derivada null,
  3. Los factores de primer orden null,
  4. Los factores cuadráticos null.

Una vez que nos familiarizamos con las trazas logarítmicas de estos factores básicos, es posible utilizarlas con el fin de construir una traza logarítmica compuesta para cualquier forma de G(jω)H(jω), trazando las curvas para cada factor y agregando curvas individuales en forma gráfica, ya que agregar los logaritmos de las ganancias corresponde a multiplicarlos entre sí.

El proceso de obtener la traza logarítmica se simplifica todavía más mediante aproximaciones asintóticas para las curvas de cada factor.

La ganancia K. Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles, en tanto que un número menor que la unidad tiene un valor negativo.

La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibeles. El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.

Factores de integral y de derivadanull(polos y ceros en el origen). La magnitud logarítmica de l/ en decibeles es:

null

El ángulo de fase de l/ es constante e igual a -90°.

En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a 2ω1, en donde ω1 es cualquier frecuencia. Una década es una banda de frecuencia de ω1 a 10ω1, en donde, otra vez, ω1 es cualquier frecuencia. (En la escala logarítmica del papel semi logarítmico, cualquier razón de frecuencia determinada se representa mediante la misma distancia horizontal. Por ejemplo, la distancia horizontal de ω=1  a ω=10  es igual a la de ω=3  a ω=30.

Si se gráfica la magnitud logarítmica de -20logω dB contra ω en una escala logarítmica,  se obtiene una recta. Para trazar esta recta, necesitamos ubicar un punto (0 dB, ω= 1) en ella. Dado que:

null

La pendiente m de la recta para l/ es de:

null

El ángulo de fase del factor l/ es constante e igual a -90°

De igual forma:

null

La pendiente m de la recta para  es de:

null

El ángulo de fase del factor  es constante e igual a 90°

La siguiente figura muestra curvas de respuesta en frecuencia para l/ y , respectivamente.

null

Observar que ambas magnitudes logarítmicas se vuelven iguales a 0 dB en ω=1.

Por tanto, si la función de transferencia contiene el factor (l/)n o ()n , la magnitud logarítmica se convierte, respectivamente, en:

null

Por tanto, las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores  (l/)n y ()n son -20n dB/década y 20n dB/década, respectivamente.

El ángulo de fase de (l/)n es igual a -90°n durante todo el rango de frecuencia, en tanto que el ángulo de fase de ()n es igual a 90°n en todo el rango de frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0 dBω= 1).

Factores de primer ordennull. La magnitud logarítmica del factor de primer orden l/(1+jωT) en decibeles es:

null

Para frecuencias bajas, tales que ω<<1/T, la magnitud logarítmica se aproxima mediante:

null

Por tanto, la curva de magnitud logarítmica para frecuencias bajas en este factor es la línea 0 dB constante. Para frecuencias altas, tales que :

null

Ésta última es una expresión aproximada para el rango de altas frecuencias. En ω=1/T , la magnitud logarítmica es igual a 0 dB; en ω=10/T, la magnitud logarítmica es de -20 dB. Por tanto, el valor de -20logωT dB  disminuye en 20 dB para todas las décadas de ω. De esta forma, para ω>>1/T, la curva de magnitud logarítmica es una línea recta con una pendiente de -20 dB/década (o -6 dB/octava).

Nuestro análisis muestra que la representación logarítmica de la curva de respuesta en frecuencia del factor l/(1+jωT) se aproxima mediante dos asíntotas (líneas rectas), una de las cuales es una recta de 0 dB para el rango de frecuencia 0<ω<1/T  y la otra es una recta con una pendiente de -20 dB/década (o -6 dB/octava) para el rango de frecuencia 1/T<ω<∞. La frecuencia en la cual las dos asíntotas se encuentran se denomina frecuencia de esquina o frecuencia de corte. Para el factor l/(1+jωT), la frecuencia ω=1/T es la frecuencia de esquina, dado que en ese punto ambas asíntotas tienen el mismo valor.

null

Una ventaja de las trazas de Bode es que, para factores recíprocos, por ejemplo, el factor 1+jωT, las curvas de magnitud logarítmica y de ángulo de fase sólo necesitan cambiar de signo. Por tanto, la pendiente de la asíntota de alta frecuencia de 1+jωT es 20 dB/década, y el ángulo de fase varía de 0°  a 90°  conforme la frecuencia ω se incrementa de cero a infinito., como se puede ver en la siguiente Figura:

null

Factores cuadráticosnull. Los sistemas de control suelen tener factores cuadráticos de la forma:

null

Si ζ>1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con polos reales. Si 0<ζ<1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados.

La curva asintótica de respuesta en frecuencia para null se obtiene del modo siguiente. Dado que:

null

para frecuencias bajas tales que ω<<ωn, la magnitud logarítmica se convierte en:

null

Por tanto, la asintota de frecuencia baja es una recta horizontal en 0 dB. Para frecuencias altas tales que ω>>ωn, la magnitud logarítmica se vuelve:

null

La ecuación para la asíntota de alta frecuencia es una recta con pendiente de -40dB/década, dado que:

null

La asíntota de alta frecuencia intersecta la de baja frecuencia en ω=ωn, dado que en esta frecuencia:

null

Esta frecuencia ωn es la frecuencia de esquina para el factor cuadrático considerado.

null

Ejemplo:

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