Análisis de sistemas de control, Criterio de Nyquist

Estabilidad vía Nyquist Diagrama – El criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist puede decirnos si el sistema es estable o inestable al determinar cuántos polos del sistema a lazo cerrado de la Figura 1, se encuentran en el semiplano derecho:

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Figura 1

Considere el contorno A definido en el plano s de la figura 2:

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Figura 2

Si un contorno, A, que rodea todo el semiplano derecho del lugar de raíces del sistema determinado por la ecuación característica 1+ G(s)H(s), se mapea a través de G(s)H(s), entonces el número de polos del sistema a lazo cerrado, Z, en el semiplano derecho es igual al número de polos del sistema a lazo abierto, P, que están en el semiplano derecho menos el número de revoluciones en sentido antihorario, N, alrededor de -1+j0 del mapa; es decir, Z:

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En consecuencia, para lograr estabilidad, Z debe ser igual a cero.

Ejemplo:

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Step 1. Find the open-loop transfer function G(s)H(s) of the system.

Consider the closed-loop control system as follows:

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The system characteristic equation is as follows:

null

The factor form of this characteristic equation is:

null

To determine the previous factor form:

null

Where the open-loop transfer function G(s)H(s) of the system is:

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Step 2. Use Command Window of Matlab to draw the Nyquist Diagram, applying the following commands:

>> s=tf(‘s’);

>> G=10/(s^3+2*s^2+5*s);

>> nyquist(G);

null

null

We can see at the previous Diagram that for:

null

To reach stability, Z must be equal to zero:

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Recalling that the poles of 1+ G(s)H(s), are the same as the poles of G(s)H(s), the open-loop system, we can determine P, the number of open-loop poles enclosed by the contour A from:

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null

A detour around the poles on the contour is required:

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In the Nyquist Diagram obtained for the system of Task 2, the point -1+j0 is highlighted in red:

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We can see that N=0, so:

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However, the Nyquist diagram intersects the real axis at -1+j0. Hence, according to the Nyquist Criteria, the system is marginally stable.

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Se hacen trabajos, se resuelven ejercicios!!

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Análisis de sistemas de control, Criterio de Nyquist

El diagrama de Nyquist

El diagrama de Nyquist, también es conocido como “La Traza Polar” de una función de transferencia senoidal G(jω), es una gráfica de la magnitud de G(jω) contra el ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares, conforme ω varía de cero a infinito. Por tanto, El diagrama de Nyquist es el lugar geométrico de los vectores:

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conforme ω varía de cero a infinito. Observe que, en las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj (en el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo.

La siguiente figura muestra un ejemplo de un diagrama de Nyquist:

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Todos los puntos de la traza polar de G(jω) representan el punto terminal de un vector en un valor determinado de ω. Las proyecciones de G(jω) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria. La magnitud y el ángulo de fase de G(jω) deben calcularse directamente para cada frecuencia ω con el propósito de construir trazas polares.

Conceptualmente, el diagrama de Nyquist se traza sustituyendo los puntos del “contorno” que encierra el semiplano derecho, en la función G(s)H(s). Este proceso se llama mapeo (mapping):

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Consideremos el sistema de control a lazo cerrado de la Figura 1:

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Figura 1

Entonces, en el Diagrama de Nyquist, el contorno que encierra el semiplano derecho, que se muestra en la Figura 2, puede mapearse a través de la función G(s)H(s), derivada de la Figura 1, sustituyendo puntos a lo largo del contorno en la función G(s)H(s).

null

Figura 2

Estabilidad vía el Diagrama de Nyquist

Si un contorno, A, que rodea todo el semiplano derecho del lugar de raíces del sistema determinado por la ecuación característica 1+ G(s)H(s), se mapea a través de G(s)H(s), entonces el número de polos del sistema a lazo cerrado, Z, en el semiplano derecho, es igual al número de polos del sistema a lazo abierto, P, que están en el semiplano derecho menos el número de revoluciones en sentido antihorario, N, alrededor de -1+j0 del plano complejo ; es decir, Z:

null

Por tanto, para lograr un sistema estable a lazo cerrado, Z debe ser igual a cero.

Este “mapping” es llamado El Diagrama de Nyquist , o Nyquist plot, de G(s)H(s). Para más información y ejemplos ver: Criterio de Nyquist para estabilidad

Ejemplo 

Considere el sistema de control cuyo esquema y diagrama de bloques se muestran en la siguiente Figura 3:

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Figura 3

Conceptualmente, el diagrama de Nyquist se representa sustituyendo los puntos del contorno que se muestran en la Figura 4(a) en G(s)H(s):

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Cada Polo y cada Zero de G(s)H(s) que se muestra en la Figura 3(b) es un vector en la Figura 4(a) y 4(b). El vector resultante, , encontrado en cualquier punto a lo largo del contorno, es en general el producto de los vectores Zero dividido por el producto de los vectores Polo (ver Figura 4 (c)). Por lo tanto, la magnitud de la resultante es el producto de las longitudes Zero dividido por el producto de las longitudes de los Polos, y el ángulo de la resultante es la suma de los ángulos Zero menos la suma de los ángulos de los Polos.

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Figura 4

El mapeo del punto A al punto C también puede explicarse analíticamente. Desde
A a C, la colección de puntos a lo largo del contorno es imaginaria. Por lo tanto, de A a C,
G(s)H(s)=G(s)*1=G(s)=G(jω), o de la Figura 3(b):

null

A frecuencia igual cero:

null

Por lo tanto, el diagrama de Nyquist comienza en 50/3 en un ángulo de . A medida que ω aumenta, la parte real sigue siendo positiva, y la parte imaginaria sigue siendo negativa.

En null la parte real se vuelve negativa. En null, el diagrama de Nyquist cruza el eje real negativo ya que el término imaginario va a cero. El valor real en el cruce del eje, punto Q en la Figura 4 (c), es -0.874. Continuando hacia, la parte real es negativa, y la parte imaginaria es positiva. A frecuencia infinita:

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o cero a los 90°. aproximadamente.

Alrededor del semicírculo infinito desde el punto C hasta el punto D que se muestra en la Figura 4(b), los vectores giran en sentido horario, cada uno 180°. Por lo tanto, la resultante sufre una rotación en sentido antihorario de 3×180, comenzando en el punto C’ y terminando en el punto D’ de la Figura 4 (c).

Diagrama de Nyquist con Matlab

Considere la siguiente función de transferencia a lazo abierto:

null

Para elaborar el Diagrama de Nyquist, podemos utilizar los siguientes comandos en el command window de Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> G=1/(s^2+0.8*s+1)

>> nyquist(G)

Esta línea de comandos genera la siguiente gráfica:

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Podemos obtener información sobre puntos de interés en el diagrama de Nyquist haciendo clik una vez sobre el punto de interés en el contorno:

null

Siguiente:

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
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