Análisis de sistemas de control, Diagrama de Bode, Función de Transferencia

Función de transferencia a partir del diagrama de Bode.

Los gráficos de Bode son una presentación conveniente de los datos de respuesta de frecuencia para el propósito de estimar la función de transferencia. El Diagrama de Bode permite determinar y extraer partes de la la función de transferencia, lo que abrirá el camino a más cálculos para encontrar las partes restantes de dicha función.

Aunque la experiencia y la intuición son invaluables en el proceso, los siguientes pasos  ofrecen una guía:

1. Observe las gráficas de magnitud y fase de Bode y estime la configuración de polos y zeros del sistema. Observar la pendiente inicial en el diagrama de magnitud para determinar el tipo de sistema. Observar las excursiones de fase para tener una idea de la diferencia entre el número de polos y el número de zeros.
2. Vea si partes de las curvas de magnitud y fase representan gráficas obvias de respuesta de frecuencia de polo o zero de primer o segundo orden.
3. Observar si hay algún pico revelador o depresiones en la gráfica de magnitud que indique un polo de segundo orden o zero amortiguado, respectivamente.
4. Si alguna respuesta típica de un polo o un zero puede ser identificada, superponer líneas apropiadas de ± 20 o ± 40 dB / década en la curva de magnitud o líneas de ±45°/década en la curva de fase y estimar las frecuencias de ruptura. Para polos o zeros de segundo orden, calcule la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural a partir de las curvas estándar.

5. Diseñar una función de transferencia de ganancia unitaria utilizando los polos y zeros encontrados. Obtenga la respuesta de frecuencia de esta función de transferencia y reste esta respuesta de la respuesta de frecuencia anterior, con la que comenzó el ejercicio. Ahora tiene una respuesta de frecuencia de complejidad reducida a partir de la cual comenzar el proceso nuevamente para extraer más información sobre los polos y ceros del sistema. Un programa de computadora como MATLAB es de gran ayuda para este paso.

Example

Encontrar la función de transferencia del sistema cuyo diagrama de Bode se muestra en la Figura 1:

null

Figura 1

Primero extraigamos los polos subamortigados, basados en el pico en la curva de magnitud. Estimamos que la frecuencia natural está cerca de la frecuencia pico, o aproximadamente 5 rad/s. De la Figura 1, podemos ver un pico alrededor de 6.5 dB, que se interpreta como un factor de amortiguamiento ζ=0,24. La función de transferencia estándar de un sistema de segundo orden con ganancia unitaria es:

null

Se restan los diagramas de Bode en la Figura 2:

null

Figura 2

Al superponer una línea de -20 dB/decade en la respuesta de magnitud y una línea de -45°/decade en la respuesta de fase, detectamos un polo final. A partir de la respuesta de fase, estimamos la frecuencia de ruptura a 90 rad/s. Restando la respuesta de G2(s)=90/(s+90) de la respuesta anterior se obtiene la respuesta en la Figura 3.

null

Figura 3

La figura 3 tiene una curva de magnitud y fase similar a la generada por una función de retraso. Dibujamos una línea de -20 dB/decade y la ajustamos a las curvas. Las frecuencias de ruptura se leen de la figura como 9 y 30 rad/s. Una función de transferencia de ganancia unitaria que contiene un polo en -9 y un cero en -30 es G3(s)=0.3(s+30)/(s+9). Al restar G1(s)G2(s)G3(s), encontramos la respuesta de frecuencia de magnitud plana ± 1 dB y la respuesta de fase plana a -3 ± 5 °. Por lo tanto, concluimos que hemos terminado de extraer las funciones de transferencia dinámica, la cual es:

null

Es interesante notar que la curva original se obtuvo de la función:

null

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Diagrama de Bode

El diagrama de Bode – Gráfica de respuesta en frecuencia de un sistema de control.

El diagramas de Bode es el trazado de la respuesta de frecuencia de un sistema con gráficos de magnitud y fase separados. Las curvas de respuesta en frecuencia, de magnitud y  de fase como funciones de log ω se denominan Diagramas de Bode. El dibujar diagramas de Bode se puede simplificar porque se pueden aproximar como una secuencia de líneas rectas. Las aproximaciones en línea recta simplifican la evaluación de la de magnitud y  de fase de la respuesta en frecuencia.

Cuando elaboramos las gráficas de magnitud y  de fase por separado, la gráfica de la curva de magnitud puede tener el eje de las ordenadas en decibeles (dB) vs. log ω en el eje de las abscisas, donde dB = 20 log M.

Ejemplo

Grafica el Diagrama de Bode para la respuesta en frecuencia del sistema descrito por la función de Transferencia G(s):

null

null

Fuentes:

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Análisis de sistemas de control, Criterio de Nyquist

Estabilidad vía Nyquist Diagrama – El criterio de Nyquist

The Nyquist criterion can tell us if the system is stable or unstable by determining how many closed-loop poles are in the right half-plane of the closed-loop system of Figure 1:

null

Figure 1

Consider the contour A defined in s-plane of Figure 2:

null

Figure 2

If a contour, A, that encircles the entire right half-plane of the root-locus of the system determined by the characteristic equation 1+ G(s)H(s), is mapped through G(s)H(s), then the number of closed-loop poles, Z, in the right half-plane equals the number of open-loop poles, P, that are in the right half-plane minus the number of counterclockwise revolutions, N, around -1 of the mapping; that is, Z:

null

Thus, to reach stability, Z must be equal to zero.

This mapping is called the Nyquist diagram, or Nyquist plot, of G(s)H(s).

To understand the Nyquist criteria for stability, we must first establish four important concepts that will be used during its application:

(1) the relationship between the poles of 1+ G(s)H(s) and the poles of G(s)H(s); (2) the relationship between the zeros of 1+ G(s)H(s) and the poles of the closed-loop transfer function (3) the concept of mapping points; and (4) the concept of mapping contours.

We could demonstrate that the poles of 1+ G(s)H(s) are the same as the
poles of G(s)H(s), the open-loop system, and (2) the zeros of  1+ G(s)H(s) are the
same as the poles of closed-loop transfer function of the system.

In construction…

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
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Análisis de sistemas de control, Criterio de Nyquist

El diagrama de Nyquist

El diagrama de Nyquist, también es conocido como “La Traza Polar” de una función de transferencia senoidal G(jω), es una gráfica de la magnitud de G(jω) contra el ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares, conforme ω varía de cero a infinito. Por tanto, El diagrama de Nyquist es el lugar geométrico de los vectores:

null
conforme ω varía de cero a infinito. Observe que, en las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj (en el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo.

La siguiente figura muestra un ejemplo de un diagrama de Nyquist:

null

Todos los puntos de la traza polar de G(jω) representan el punto terminal de un vector en un valor determinado de ω. Las proyecciones de G(jω) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria. La magnitud y el ángulo de fase de G(jω) deben calcularse directamente para cada frecuencia ω con el propósito de construir trazas polares.

Conceptualmente, el diagrama de Nyquist se traza sustituyendo los puntos del “contorno” que encierra el semiplano derecho, en la función G(s)H(s). Este proceso se llama mapeo (mapping):

null

Consideremos el sistema de control a lazo cerrado de la Figura 1:

null

Figura 1

Thus, in the Nyquist diagram, the contour that encloses the right half-plane, shown in Figure 2, can be mapped through the function G(s)H(s), derived from Figure 1,  by substituting points along the contour into G(s)H(s):

null

Figura 2

Entonces, en el Diagrama de Nyquist, el contorno que encierra el semiplano derecho, que se muestra en la Figura 2, puede mapearse a través de la función G(s)H(s), derivada de la Figura 1, sustituyendo puntos a lo largo del contorno en la función G (s) H ( s).

Estabilidad vía el Diagrama de Nyquist

If a contour, A, that encircles the entire right half-plane of the root-locus of the system determined by the characteristic equation 1+ G(s)H(s), is mapped through G(s)H(s), then the number of closed-loop poles, Z, in the right half-plane equals the number of open-loop poles, P, that are in the right half-plane minus the number of counterclockwise revolutions, N, around -1 of the mapping; that is, Z:

Si un contorno, A, que rodea todo el semiplano derecho del lugar de raíces del sistema determinado por la ecuación característica 1+ G(s)H(s), se mapea a través de G(s)H(s), entonces el número de polos del sistema a lazo cerrado, Z, en el semiplano derecho, es igual al número de polos del sistema a lazo abierto, P, que están en el semiplano derecho menos el número de revoluciones en sentido antihorario, N, alrededor de -1+j0 del plano complejo ; es decir, Z:

null

Por tanto, para lograr un sistema estable a lazo cerrado, Z debe ser igual a cero.

Este “mapping” es llamado El Diagrama de Nyquist , o Nyquist plot, de G(s)H(s). Para más información y ejemplos ver: Criterio de Nyquist para estabilidad

Ejemplo 

Considere el sistema de control cuyo esquema y diagrama de bloques se muestran en la siguiente Figura 3:

null

Figura 3

Conceptualmente, el diagrama de Nyquist se representa sustituyendo los puntos del contorno que se muestran en la Figura 4(a) en G(s)H(s):

null

Cada Polo y cada Zero de G(s)H(s) que se muestra en la Figura 3(b) es un vector en la Figura 4(a) y 4(b). El vector resultante, , encontrado en cualquier punto a lo largo del contorno, es en general el producto de los vectores Zero dividido por el producto de los vectores Polo (ver Figura 4 (c)). Por lo tanto, la magnitud de la resultante es el producto de las longitudes Zero dividido por el producto de las longitudes de los Polos, y el ángulo de la resultante es la suma de los ángulos Zero menos la suma de los ángulos de los Polos.

null

Figura 4

El mapeo del punto A al punto C también puede explicarse analíticamente. Desde
A a C, la colección de puntos a lo largo del contorno es imaginaria. Por lo tanto, de A a C,
G(s)H(s)=G(s)*1=G(s)=G(jω), o de la Figura 3(b):

null

A frecuencia igual cero:

null

Por lo tanto, el diagrama de Nyquist comienza en 50/3 en un ángulo de . A medida que ω aumenta, la parte real sigue siendo positiva, y la parte imaginaria sigue siendo negativa.

En null la parte real se vuelve negativa. En null, el diagrama de Nyquist cruza el eje real negativo ya que el término imaginario va a cero. El valor real en el cruce del eje, punto Q en la Figura 4 (c), es -0.874. Continuando hacia, la parte real es negativa, y la parte imaginaria es positiva. A frecuencia infinita:

null

o cero a los 90°. aproximadamente.

Alrededor del semicírculo infinito desde el punto C hasta el punto D que se muestra en la Figura 4(b), los vectores giran en sentido horario, cada uno 180°. Por lo tanto, la resultante sufre una rotación en sentido antihorario de 3×180, comenzando en el punto C’ y terminando en el punto D’ de la Figura 4 (c).

Diagrama de Nyquist con Matlab

Considere la siguiente función de transferencia a lazo abierto:

null

Para elaborar el Diagrama de Nyquist, podemos utilizar los siguientes comandos en el command window de Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> G=1/(s^2+0.8*s+1)

>> nyquist(G)

Esta línea de comandos genera la siguiente gráfica:

null

Podemos obtener información sobre puntos de interés en el diagrama de Nyquist haciendo clik una vez sobre el punto de interés en el contorno:

null

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Dinámica de sistemas, Función de Transferencia, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Mass-spring-damper system. Problems solved. Catalog 1

The transfer function of a Mass-Spring-Shock System. 

In this PDF guide, the Transfer Function of the exercises that are most commonly used in the mass-spring-damper system classes that are in turn part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks with DC motor, is determined. electronic systems in mechatronics, etc. It is a good resource to also learn how to obtain the block diagram of the system, or the representation in state variables. Request via email – WhatsApp. Payment is provided by PayPal, Credit or debit card. Cost: € 5

Below, the statements of problems solved in this guide.

  1. Given the System of Figure 1, find the transfer function X(s)/U(s).

null

2. La Figura 2 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador montado sobre un carro. El desplazamiento del carro es y(t) (la entrada) y el desplazamiento del sistema es x(t) (la salida). Considerar que el carro no tiene masa. Hallar la función de transferencia X(s)/Y(s) .

null

3. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema de la Figura 3 utilizando su modelo en frecuencia y algebra lineal.

null

4. Hallar la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema de la Figura 4:

null

5. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 5. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre.

null

6. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s), X2(s)/U(s), del sistema de la Figura 6.

null

7. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s) del sistema presentado en la Figura 7. Comprobar el mismo resultado utilizando la combinación variables de estado – diagrama de bloques. Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada.

null

8. Hallar la representación matricial del sistema de la Figura 8. Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y determine la función de transferencia X1(s)/U(s).

null

9. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 9. Considerar k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Ilustrar el uso de Matlab para la aplicación del álgebra lineal.

null

10. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema de Suspensión Vehicular de la Figura 10. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número)

null

11. Hallar la representación en el espacio de estados del sistema del ejercicio anterior, Figura 10, considerando u(t) como la entrada y y2(t) como la salida. Transformar la representación matricial en la función de transferencia Y2(s)/U(s) directamente, utilizando álgebra de matrices. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques

Sistema de control a lazo abierto – Electromecánico.

Un sistema de control puede estar a lazo abierto o a lazo cerrado. Para entender esta diferencia debemos poner atención al efecto que tiene la salida en la acción de control del sistema (Ogata, 1998). Si la salida influye en la acción de control, el sistema está a lazo cerrado. En cambio, si la salida no afecta la acción de control, estamos en presencia de un sistema de control a lazo abierto.

La variable controlada es la cantidad o condición que se mide o se controla. La variable manipulada, o variable de control, es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.

Para entender mejor el concepto de lazo abierto, considere el siguiente esquema, el cual representa a un componente muy frecuente y básico en todo sistema electromecánico, un Potenciómetro:

null
Figura 1

En la práctica el funcionamiento del sistema de la Figura 1 es simple. La posición B de la aguja (variable de control) depende del desplazamiento angular Θi(t)  (entrada del sistema). La posición de la aguja determina un voltaje Vo(t) (salida del sistema, variable controlada) que puede tener un valor entre +50 y -50 voltios. En este sistema, la salida no afecta la acción de control, que es el movimiento mecánico de la manecilla (controlador). Por lo tanto, se trata de un sistema a lazo abierto, el cual podemos representar mediante el siguiente diagrama de bloques:

null
Figura 2

Si quisiéramos configurar el sistema de la Figura 2 como un sistema a lazo cerrado, tendríamos que medir la salida, en primer lugar, y compararla con la señal de referencia, en segundo lugar, de manera tal que un Controlador ejecute la acción controladora en base al resultado de dicha comparación. Este proceso podría ser representado mediante el siguiente diagrama:

null
Figure 3

Para una introducción ver: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Con bastante frecuencia, el Potenciómetro de la Figura 1 es el componente que activa un Motor DC como se muestra en el siguiente ejemplo:

null
Figura 4

El sistema de la Figura 4 es otro ejemplo de  sistema electromecánico a lazo abierto, que involucra una mayor cantidad de componentes entre los que resaltan el uso de un Motor DC y una Caja de Engranajes que permite trasformar un movimiento rotacional en un desplazamiento traslacional, pero en el cual la salida no influye a la acción controladora.

El siguiente sistema, en cambio, tiene también un Potenciómetro que mide el desplazamiento a la salida y ésta medida influye sobre la acción de control:

null
Figura 5

El sistema de la Figura 5 es un sistema electromecánico a lazo cerrado que compara el voltaje de salida c con el voltaje de entrada r. Esta comparación se manifiesta como una diferencia de voltaje ev=r-c que luego alimenta un Amplificador Diferencial, que a su vez activa un Motor DC que, a través de un sistema de Engranajes, mueve el Potenciómetro c. Este proceso se repite hasta que ev=0, es decir, hasta que r=c. Dicho de otro modo, el sistema busca que la salida iguale a la entrada, por lo que a este sistema se le denomina sistema automático seguidor de la entrada, Sistema de Control de Posición o Servosistema.

Cuando un Motor DC forma parte de un Servosistema, se le denomina ServoMotor. El Sistema de Control de Posición es uno de los mecanismos esenciales más utilizados en la ingeniería, de allí su gran importancia. Si quieres saber más sobre este proceso básico, ve a Servomotores – Sistema de control de posición.

 

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También puedes consultar:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  4. Libro Rashid – Power Electronic Handbook p 663-666
  5. Getty Images

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Ingeniería Electrónica

Función de Transferencia de Sistema Electrónico. Problemas resueltos. Catálogo 7

La función de transferencia de un Sistema Electrónico. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas electrónicos que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

1. Hallar la función de transferencia del Sistema Electrónico mostrado en la Figura 49. Considerar R1=500 K, R2= 100 K , C1=2 F, C2=2  

null

2. Hallar la función de transferencia  del Sistema mostrado en la Figura 51. Considerar R1=400 K, R2= 600 K , R3=600 K, R4= 110 K , C1=4 F, C2=4 

null

3. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 52.

null

4. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 53.

null

5. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 54.

null

6. Hallar la función de transferencia del Sistema Electrónico mostrado en la Figura 78. Considerar R1=1 K, C=2 Determinar el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural del circuito.

null

7. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 64. Realizar el diagrama de bloques del sistema.

null

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Análisis de circuitos eléctricos, Respuesta en Frecuencia

Respuesta en frecuencia de un circuito eléctrico

Si dibujamos la curva de amplificación y de desfase de un circuito versus la frecuencia, obtenemos la respuesta en frecuencia.

En el estado estacionario, las entradas sinusoidales a un sistema lineal generan respuestas sinusoidales de la misma frecuencia. Aunque estas respuestas son de la misma frecuencia que la entrada, difieren en amplitud y ángulo de fase de la entrada. Estas diferencias son funciones de la frecuencia.

Si la respuesta libre de un circuito eléctrico tiende a cero cuando pasado mucho tiempo (sistema estable) en régimen permanente sólo queda la respuesta forzada. La respuesta forzada a una excitación sinusoidal es la sinusoide de entrada amplificada y desfasada.

Es decir, una entrada sinusoidal de amplitud R y frecuencia ωo, genera una salida sinusoidal de amplitud C y fase φ:

null

Los valores de amplificación y desfase dependen de la frecuencia de la señal excitadora.

Supongamos la representación en diagrama de bloques de un sistema cuya entrada es la función exponencial x(t), la salida es la función y(t), y la función de transferencia es H(s):

nullDónde:

null

Nuevamente se afirma que en régimen permanente sólo queda la respuesta forzada. Se podría demostrar que la respuesta forzada yf(t) de este sistema es:null

Ejemplo 1

Es decir, supongamos que:

nullEntonces:

null

Por tanto respuesta forzada yf(t) es:nullSi la señal de excitación x(t) es una señal armónica, del tipo:

null

Se podría demostrar que la respuesta forzada yf(t) de este sistema se puede expresar como:

null

Ejemplo 2

Es decir, supongamos que:

nullEntonces:

null

null

Por tanto:

null

Diagrama de Bode

Si dibujamos la curva de amplificación y de desfase de un circuito versus la frecuencia, obtenemos la respuesta en frecuencia.

null

Este tipo de gráficas es mejor realizarlas en escala logarítmica en vez de escala lineal. En tal caso, se denominan “Diagramas de Bode”:

null

Trabajando en decibeles la multiplicación de amplificaciones (conexión en cascada) de sistemas se convierte en suma de ganancias:

null

La banda entre dos frecuencias se denomina década si ω2=10ω1:

null

Utilizando el diagrama de Bode podemos hallar la respuesta forzada de la siguiente manera:

null

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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