Análisis de sistemas de control, Convolución - respuesta al impulso, Procesamiento de señales digitales

Convolución de señales en tiempo discreto – Matlab

La salida y[n] de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI-system) puede ser determinada mediante la sumatoria siguiente:

La ecuación anterior se denomina Convolución entre las señales discretas x[n] y h[n], donde x[n] es la entrada al sistema y h[n] es la respuesta al impulso del sistema.

Por convención, la convolución entre x[n] y h[n] se expresa mediante al siguiente notación:

Ejemplo 1. 

El pulso rectangular x[n] definido por la siguiente ecuación es la entrada a un sistema LTI con respuesta l impulso h[n]:

Determine la salida y[n] del sistema.

Solucion:

En el link Graficar el escalón unitario hemos diseñado en Matlab la función stepseq para graficar , o cualquier combinación tal como la señal x[n] del ejemplo 1. El siguiente Script permite graficar x[n].

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Figure 1. Input sequence x[n], example 1.

Por su parte, el siguiente Script permite graficar h[n].

n=[0:40];
h=(0.9).^n;
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Figure 2. Impulse response h[n] for system in example 1.

Ahora, utilizamos la función conv del toolbox de Matlab para determinar y[n]:

y=conv(x,h);
n=[0:80];
stem(n,y);
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Figure 3. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Otra aproximación es utilizando la función filter (ver Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto):

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
h=(0.9).^n;
y=filter(h,1,x);
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)
grid

Este comando genera:

Figure 4. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Hay una diferencia en los resultados de estas dos implementaciones que debe tenerse en cuenta. Como puede ver en la Figura 3, la secuencia de salida de la función conv(x, h) tiene una longitud mayor que las secuencias x[n] y h[n]. Por otro lado, la secuencia de salida de la función filter(h, 1, x) en la Figura 4 tiene exactamente la misma longitud que la secuencia de entrada x[n]. En la práctica, se recomienda el uso de la función filter.

Nota: la función filter se ha utilizado para calcular la convolución indirectamente. Eso fue posible debido a que la respuesta al impulso en el ejemplo 1 era una secuencia exponencial de un solo lado (sólo definida pra n>=0), para la cual podríamos determinar una representación en forma de ecuación en diferencias. No todas las respuestas de impulso de longitud infinita se pueden convertir en ecuaciones en diferencias.

Convolución analíticamente

También podemos hacer la convolución entre x[n] y h[n] Analíticamente:

Aplicando la ecuación para la convolución obtenemos :

Ahora usamos la expresión para la suma de componentes de una serie geométrica (Serie geométrica):

En consecuencia, la ecuación (1) es equivalente a:

La ecuación (3) tiene la misma forma que la ecuación (2) excepto por el término u(n-k) el cual toma diferentes valores dependiendo de los valores que toman n y k. Existen tres posibilidades para u(n-k) que deben ser evaluadas por separado:

Cas0 1. n<0: Entonces u(n-k)=0 para 0 k 9. Por lo tanto:

Caso 2. En este caso, los valores son distintos de cero y no se superponen. Entonces, en el intervalo 0n<9, u(n-k)=1 para 0kn. Así:

Aplicando la fórmula de la ecuación (2):

Caso 3. En este caso la respuesta al impulso h[n] se superpone parcialmente con x[n]. Así, en el intervalo 9 n, u(n-k)=1 para 0 k 9. En consecuencia:

En el último caso h[n] se superpone completamente a la entrada x[n].

Método gráfico de convolución

Para desarrollar la convolución entre dos señales también podemos utilizar un método gráfico, como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2

The input signal x[n] to an LTI system with impulse response h[n]:

Determine graphically y[n] through:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-63.png

Solution:

Sequences x[k] and h[n-k], and the convolution of both signals can be seen as follows:

El método de convolución gráfica anterior involucra los siguientes pasos:

  1. La respuesta al impulso h[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h[-k]  y posteriormente se desplaza mediante n para formar h[n-k] = h[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
  2. Las dos secuencias x[k] y h[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
  3. El producto x[k]h[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y[n];
  4. Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y[n].
Ejemplo 3
Convolution Properties.

Otras propiedades de interés son:

Ante una entrada x[n], la respuesta y[n] de un sistema LTI es:

Se conoce que la respuesta al impulso h[n] del sistema:

Determinar x[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:

Respuesta:

Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:

Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:

Luego, si seleccionamos:

Entonces:

Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a). Vamos a demostrarlo con Matlab.

La respuesta al impulso h[n] y la opción a) para la entrada x[n] pueden ser graficadas en Matlab utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Figure 5. Impulse response h[n] for system in example 3.

n=[-3:10];
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Figure 6. Input signal x[n] for system in example 3.

Ahora, podemos graficar y[n] utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
x1=stepseq(-2,-3,10)-stepseq(2,-3,10);
x2=stepseq(-1,-3,10)-stepseq(3,-3,10);
x3=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
y=x+x1+x2+x3;
stem(n,y)

Figure 7. Output sequence y[n] for example 3.

El mismo resultado lo hubiésemos obtenido utilizando:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-64.png

n=[-3:10];;
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
y=conv(h,x);
n=[0:26];
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Figure 8. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 3.

Fuente:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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Análisis de sistemas de control

Examen resuelto de Sistema de Control

La siguiente función de transferencia es el modelo matemático de un sistema cuya respuesta al escalón unitario se observa a continuación:

Respuesta:

2) De un sistema cuya función de transferencia es el siguiente,:

3) De un circuito electrónico de segundo orden se conoce que su diagrama de Bode de bucle abierto es el siguiente:

4) Se conoce el LGR siguientes, sobre los cuáles se pregunta:

5) Para un sistema realimentado se ha trazado el Diagrama de Bode que se muestra:

6. Se conoce la función de transferencia siguiente:

Respuesta:

7. Del sistema que se muestra en la siguiente Figura:

8. Con respecto al siguiente DB se pide:

9. Con respecto al siguiente DB y LGR se pide:

10. Con respecto al siguiente DB se pide:

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Análisis de sistemas de control, Respuesta Transitoria

Sistemas de primer orden – Respuesta Transitoria

La función de transferencia normalizada de un sistema de 1er orden es la siguiente:

Dónde:

El método más utilizado para estudiar el comportamiento de los sistemas de 1er orden consiste en someter dicho sistema a un conjunto de entradas típicas: el impulso, el escalón unitario, la rampa y una señal alterna sinusoidal (ver Anexo 1).

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada impulso unitario (impulse)

Supongamos que probamos un sistema de 1er orden con una entrada impulso unitario. Es decir, con R(s)=1.  (Para repasar la transformada de Laplace de señales elementales ver: La Transformada de Laplace) De esta manera la salida C(s) se puede despejar fácilmente de la ecuación (1) mediante:

Es decir, la función de transferencia de la ecuación (1) es igual que la respuesta la impulso. La ecuación (2) es la respuesta sistema al impulso en función de la frecuencia. Si queremos conocer esta respuesta c(t) en función del tiempo aplicamos la antitransformada de Laplace:

 La ecuación anterior muestra un comportamiento exponencial decreciente. Esta es la salida de un sistema de primer orden ante una entrada impulso unitario, la cual se puede ver en la siguiente gráfica:

Figura 1. Respuesta al impulso de un sistema de 1er orden.

En la Figura 1, la constante de tiempo T es el tiempo que tardaría el sistema en alcanzar el valor final si variase al ritmo que lo hace inicialmente. También coincide la constante T con el tiempo en que la salida alcanza el 37% de su valor final.

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada escalón (Step)

Supongamos ahora que probamos el sistema de 1er orden con una entrada escalón con amplitud A, es decir, R(s)=A/s. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos los siguientes resultados:

En este caso, la salida de un sistema de primer orden ante una entrada escalón de amplitud A tiene un valor inicial igual a cero (suponiendo condiciones iniciales nulas) y luego aumenta exponencialmente hasta estabilizarse en un valor igual a Ak. Dicha respuesta se puede ver en la siguiente gráfica:

Figura 2. Respuesta al escalón de amplitud A de un sistema de 1er orden.

En la Figura 2, la constante de tiempo T es el tiempo en que la salida del sistema alcanza el 0.632 (63.2%) de su valor final. Podemos apreciar además que un tiempo igual a 4 constantes de tiempo (4T) el sistema se estabiliza (tiempo de establecimiento; ts=4T) ya que la salida alcanza su valor final o se mantiene al menos a 98.2% del mismo.

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada rampa (ramp) 

Probemos ahora el sistema de 1er orden con una entrada rampa con amplitud A, es decir, R(s)=A/s2. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos los siguientes resultados:


Figura 3. Respuesta a la entrada rampa de amplitud A de un sistema de 1er orden.

En la Figura 3 podemos ver que u sistema de 1er orden ante una entrada rampa siempre tiene un error La constante de tiempo T representa en este caso el tiempo del que parte la asíntota a la que tiende la respuesta del sistema en estado estacionario.

Veamos un ejemplo para mostrar esta teoría.

Ejemplo 1

En el link Dinámica de un sistema de nivel de líquidos hemos demostrado la siguiente función de transferencia para el sistema de la Figura:

De acuerdo con la ecuación normalizada (1) para un sistema de 1er orden, en el sistema de la figura anterior se cumple que:

Supongamos los siguientes valores para r y c:

Para probar h(t), la respuesta del sistema al impulso unitario, al escalón unitario y a la rampa unitaria, así como el valor de la salida cuando t= 1 s (constante de tiempo), utilizamos los siguientes scripts en Matlab:

Segunda aproximación

Un sistema de primer orden es aquel que queda definido por una ecuación diferencial de primer orden del tipo:

A continuación representa la función de transferencia G(s) de la ecuación anterior, la cual es:

Luego, se observa la ubicación del polo de G(s), localizado en s=-a0:

Por conveniencia analítica vamos a ordenar G(s) de la siguiente manera:

Dónde:

K y τ son los parámetros más importantes de un sistema de primer orden ya que ayudan a comprender (o anticipar) rápidamente el comportamiento del sistema. Esto es posible porque por lo general se utiliza el escalón unitario como entrada de prueba u(t) a la mayoría de los sistemas para saber cómo va a comportarse la salida y(t).

Aplicando la antitransformada de Laplace a la ecuación Y(s)/U(s), en término de los parámetros definidos anteriormente, podemos ver fácilmente que la salida y(t) de un sistema de primer orden sometido a una entrada escalón ue(t)  de amplitud A, es:

Bien interesante en la expresión anterior es darse cuenta de lo siguiente:

  • Que si la constante a0 es positiva, la respuesta exponencial del sistema termina estabilizándose. Esto concuerda con la teoría que dice que los polos de una función de transferencia deben estar ubicados en el lado izquierdo del plano s para que un sistema sea estable.
  • Que la constante de tiempo τ es positiva si la constante a0 es positiva. Lo que tiene mucho sentido ya que τ es un intervalo de tiempo. Si a0 fuera negativa, la constante τ es negativa y el sistema es inestable.
Ejemplo 2

El siguiente ejemplo y su gráfica en Matlab (Figura 4) nos permite ver la forma estándar de y(t) como salida de un sistema de primer orden sometido a una entrada escalón ue(t)  de amplitud 1, K=2, τ=1:

>> G=tf([2],[1 1]);

>> step(G)

Figura 4

En la Figura 4 podemos ver el significado cualitativo de las constantes K y τ. La constante K es el valor final del sistema de primer orden cuando ha pasado mucho tiempo (estado estable). En el ejemplo y gracias a la gráfica de la Figura 5, vemos que ese valor final es 2, tal como lo especifica G(s). De allí la utilidad de saber el valor de K si el sistema es de primer orden….ya sabemos cuál es el valor final del sistema en estado estable para una entrada escalón unitario.  

Por su parte, por definición, la constante τ es el tiempo en el que un sistema tarda en alcanzar el 63.2% de su valor final. Esto lo podemos comprobar en nuestro ejemplo. Si el valor final del sistema a la entrada escalón unitario es igual a 2, el 63,2% de 2 es 1.264. En nuestra gráfica de Matlab podemos marcar el valor de la salida con click derecho sobre la curva azul, y luego arrastrar este punto hasta τ=1, y notar que el valor es el esperado en la Figura 5:

Figura 5

 En la siguiente gráfica, Figura 6, podemos observar en general el significado de los parámetros definidos para un sistema de primer orden:

Figura 6. Respuesta de un sistema de 1er orden ante una entrada escalón unitario.

Otra característica de importancia es el tiempo en que el sistema alcanza el estado estable, conocido como ts (tiempo de establecimiento o tiempo de asentamiento) para lo cual existen dos criterios, el criterio del 2% o el criterio del 5%. El tiempo de asentamiento ts es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.

De acuerdo con la Figura 6, y según el criterio del 5%, el ts se alcanza en t=3τ.  Por otra parte, según el criterio del 2%, el ts se alcanza en t=4τ. Podemos corroborar estas afirmaciones en nuestro ejemplo y su gráfica en Matlab (Figura 7), sabiendo que el 2% de 2 es 0.04 (la salida tiene que valer 1.96 o menos después de t=4s), mientras que el 5% de 2 es 0.1 (la salida tiene que valer 1.90 o menos después de t=3s):

Figura 7

La ecuación que permite relacionar el tiempo de asentamiento ts con la constante τ es la siguiente:

Donde tR es el tiempo de retraso si es que llega a presentarse.

Ejemplo 3

Para incorporar  un retraso de 2 segundos en nuestro ejemplo anterior (Figura 4), modificamos nuestra G(s) de la manera siguiente (Figura 8):

>> s=tf(‘s’);

>> H=exp(-2*s);

>> G2=G*H;

>> step(G2)

Figura 8

Por lo tanto, el tiempo de establecimiento en nuestro ejemplo, de acuerdo con ambos criterios, es:

Figura 9
Ejemplo 4. 

Considerando un sistema de primer orden definido por:

Obtenga la respuesta del sistema cuando se le aplica una entrada escalón U(t)=9, así como su valor final y(∞):

Respuesta:

Sabemos que la salida de un sistema de primer orden es del tipo:

Donde A es la amplitud de la entrada escalón. Por lo tanto, sólo debemos obtener el valor de ambos parámetros K y τ a partir de la función G(s):

Sabemos también que en un sistema de primer orden la función G(s) tiene la siguiente forma:

Entonces podemos aseverar que:

Por lo tanto:

De donde también podemos deducir el valor final de yt):

Ejemplo 4

Hablemos ahora de un sistema físico de primer orden muy común, un circuito RC (también lo es un circuito RL) como el de la Figura:

null
null

Demostrar que la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario es:

null

Respuesta:

Sabemos que la salida de un sistema de primer orden es del tipo:

Que a su vez es la solución para la ecuación diferencial del tipo:

Comparamos las siguientes ecuaciones:

De la comparación podemos asignar lo siguiente:

Entonces la expresión para Vc es del tipo:

La expresión anterior supone que la condición inicial V(0) del capacitor es cero. Caso contrario, debe incluirse de la manera siguiente:

Queda así demostrado el enunciado del problema, ya que en un circuito RC la constante τ=RC.

Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta: Sistemas de segundo orden

Anexo 1: Señales típicas para probar sistemas
Figura 10. Señales típicas de prueba de sistemas.
Anexo 2
Figura 11. Respuesta transitoria (homogénea) y permanente (particular).

Anexo 3: sistema de segundo orden

Figura 12. Sistema de segundo orden

Te puede interesar:

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Automática – Tema 4 – Respuesta temporal
  4. Introducción a los sistemas de control con matlab
  5. 2.1 Respuesta transitoria

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de Controlador PD utilizando sisotool de Matlab

Para determinar los valores de las constantes Kp y Td de un controlador PD, utilizaremos Matlab. Considere un Sistema con una planta inestable con función de transferencia Gp(s):

null
Función de transferencia de la Planta

Usando el enfoque del LGR diseñar un control proporcional-derivativo (determinar los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 0.5 rad/seg.

Respuesta:

  1. Para describir cualitativamente el comportamiento de la planta, la incorporamos a un sistema de control elemental (realimentación unitaria) como el que se muestra en el siguiente diagrama de bloques, Figura 1:
null
Figura 1. Se incorpora la planta a un sistema de control con realimentación unitaria

Luego, observamos el Lugar Geométrico de sus Raíces (LGR) mediante el siguiente comando en Matlab (para un repaso de LGR ver:):

>> G=tf([1],[10000 0 -11772])

>> rlocus(G)

>> grid

null
Figura 2. Lugar Geométrico de las raíces de la planta antes de incorporar el controlador PD

Podemos ver en la Figura 2 que para ganancias cercanas a 1, el sistema tiene raíces ubicadas en el lado derecho del plano s, por lo tanto se trata de un sistema inestable (para un repaso de estabilidad ver:Estabilidad). Podemos además solicitar a Matlab las raíces de nuestra planta para la ganancia exactamente igual a 1 mediante:

>> pole(G)

ans =    1.0850     -1.0850

Para alcanzar las especificaciones solicitadas (factor de amortiguamiento ζ=0.7 y frecuencia natural no amortiguada ωn =0.5 rad/seg.), introducimos en la función de transferencia directa un controlador PD, Figura 3:

null
Figura 3. Se incorpora el controlador PD al sistema de control.

La justificación de aplicar un controlador PD es que las especificaciones involucran a la respuesta transitoria, etapa en la cual la aplicación del controlador PD es ideal, según se concluye en la teoría. Analíticamente ya se demostró en Controlador PD que los valores de las constantes son Kp =14272 y Td =0.49 s. En esta oportunidad vamos a determinar estos valores utilizando el Matlab Control System Toolbox, en especial el comando sisotool:

>> sisotool(G)

Esta herramienta ofrece una interface gráfica que facilita el diseño del controlador de acuerdo con los requerimientos solicitados (Graphical Tuning, Root Locus Design). En la Figura 4 podemos observar las dos pantallas iniciales:

Figura 4

Hacemos click derecho sobre el LGR, seleccionamos las pestañas según la Figura 5:

Figura 5

Al asignar el valor del parámetro ζ, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 6

Aplicamos el mismo procedimiento para asignar el valor de ωn:

Figura 7

Al asignar los valores solicitados en las ventanas para cada parámetro, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 8

En la Figura 8 el punto donde se interceptan las curvas negras señalan el lugar geométrico donde se cumplen ambas especificaciones.

Como ya sabemos, agregar un controlador PD es agregar un cero y una ganancia (ver Controlador PD). Ello lo podemos hacer utilizando el menú del LGR:

Figura 9

Procedemos agregar un cero al eje real del plano s:

Figura 10. Agregamos un cero al eje real del plano s.

Ahora arrastramos el cero a lo largo del eje real, utilizando click derecho, hasta que el LGR (líneas azules) coincida con el punto de intercepción de las líneas negras:

Figura 11. Arrastramos el cero a la izquierda del eje s hasta que el LGR coincida con la intercepción de las curvas negras.

Ahora, arrastramos los polos hasta el punto de intercepción de las curvas negras y el LGR:

Figura 12. Los polos coinciden con la intercepción de las curvas.

En el borde inferior izquierdo, mientras ubicamos los polos en el lugar correcto del LGR, podemos ver como evolucionan los valores de los parámetros damping y frecuencia natural;

Figura 13. Movemos los polos hasta que se cumplan los requerimientos.

Seleccionamos la pestaña “compensator editor” para ver los cambios en el controlador:

Figura 14. Valores de las constantes del compensador

Vemos que los valores del compensador se asemejan a los obtenidos de manera analítica:

Valores de las constantes del controlador PD

En la misma ventana del “compensator editor” seleccionamos la pestaña “Analysis Plots”:

Figura 15. Solicitud de gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario.

De manera automática obtenemos la gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario:

Figura 16

A la gráfica de la Figura 16 se le puede pedir otros valores de importancia en la respuesta transitoria del sistema, como por ejemplo el sobreimpulso:

Figura 17. Sobreimpulso de la respuesta del sistema al escalón unitario.
Otro Ejemplo

Utilice MATLAB y su “Control System Toobox“, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:

  1. Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
  2. Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
  3. En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
  4. En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
  5. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  6. Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
  7. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  8. Elija Settling time y click OK.
  9. Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
  10. Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
  11. Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
  12. Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
  13. Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
  14. Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
  15. Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.

Entradas Relacionadas:

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. 4 PD, PI, PID

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Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Error en estado estable para sistemas de control de realimentación no unitaria

En numerosos casos, los sistemas de control no tienen realimentación unitaria. El recorrido de realimentación puede estar constituido por una ganancia diferente de cero, o una función de transferencia específica. Es por ello que debemos considerar el caso de un sistema de control general con realimentación no unitaria. Considere el sistema de la Figura 1:

null

Figura 1

La función de transferencia a lazo cerrado del sistema de la Figura 1 es:

nullLa función de transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de entrada r(t)  es:

nullDado que:

nullEl error en estado estable ess del sistema es:

nullEl error en estado estable ess del sistema para el escalón unitario es:

nullLa constante de error de posición estática Kp se define utilizando la función de transferencia a lazo abierto G(s)H(s), mediante :

nullPor ende, el error en estado estable ess del sistema para el escalón unitario, en términos de la constante de error de posición estática Kp es:

null

Ejemplo

El diagrama de bloques de un sistema se muestra en la Figura 2:

null

Figura 2

Calcular el error del sistema en régimen permanente ante una entrada escalón unitario y el error en régimen permanente ante una entrada rampa.

Respuesta:

Para calcular el error del sistema e(∞) en régimen permanente ante una entrada escalón, utilizamos la fórmula siguiente:

null

Donde Kp es la constante de error de posición estática:

nullDe donde:

nullEste resultado es el esperado ya que el sistema representado por la función de transferencia directa G(s) es un sistema tipo 1. Revisar clasificación de los sistemas en: Error en estado estable de un sistema de control 

Para calcular el error del sistema e(∞) en régimen permanente ante una entrada rampa, utilizamos la fórmula siguiente:nullDonde Kv es la constante de error de velocidad estática:nullDe donde:nullTe puede interesar:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, NiseSistemas de Control Automatico Benjamin C KuoModern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.WhatsApp: +34633129287 Atención Inmediata!! Mentoring Académico / Emprendedores / EmpresarialCopywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.Contacto: España. +34 633129287Caracas, Quito, Guayaquil, JaénWhatsApp: +34633129287email: dademuchconnection@gmail.com

Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de transferencia a lazo abierto y lazo cerrado – ejemplos

Para entender el concepto de Función de Transferencia a lazo abierto, o por el contrario, a lazo cerrado, utilizamos un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado, Figura 1:

null

Figura 1

Donde G(s) es la función de transferencia de la planta y H(s)  es la función de transferencia del sensor. El sensor genera una señal B(s) que se realimenta al punto de suma, donde se compara con la señal de referencia R(s), generando una señal denominada señal de error E(s). Aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver claramente que la señal de salida C(s) se puede obtener multiplicando E(s) por G(s):

nullEs decir:null

A la función G(s) de la ecuación (1) se le conoce como Función de transferencia de trayectoria directa (cociente entre la salida y la señal de error):

null

Nuevamente aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver que la señal de realimentación B(s)  se puede obtener multiplicando C(s) por H(s), es decir, E(s)G(s) por H(s):

nullO sea:null

El producto G(s)H(s) de la ecuación (2) se le conoce como Función de transferencia en lazo abierto (cociente entre la señal de realimentación y la señal de error):

null

Notas importantes:

  1. Si la función de transferencia H(s) de la trayectoria de realimentación (FT del sensor) es igual a uno, H(s)=1, sólo en este caso, la función de transferencia a lazo cerrado es igual a la función de transferencia de trayectoria directa;
  2. A la función de transferencia de trayectoria directa G(s) también se le conoce simplemente como Función de transferencia directa.

Es decir, si el sistema está representado por el DB de la  Figura 2:

null

Figura 2

Entonces la función de transferencia directa G(s) es también la función a lazo abierto.

Una vez más, aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver que la señal de salida C(s)  se puede obtener multiplicando G(s) por E(s), es decir:

nullDespejando C(s) , obtenemos que:

nullDe donde:

null

A la función C(s)/R(s) de la ecuación (3) se le conoce como Función de transferencia en lazo cerrado (cociente entre la señal de salida y la señal de entrada):

null

Nota importante: La ecuación (3) nos permite obtener la transformada de Laplace de la salida para cualquier entrada, una vez que sabemos cuál es la función de transferencia a lazo cerrado, mediante:

null

Ejemplo:

Recomiendo ver: Efecto de añadir un Zero – Diseño de Sistema de control

Fuente:

  1. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 65-66.

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Efecto de añadir un zero – Ejemplo – Diseño de Sistema de control

Efectos de la adición de zeros: la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el LGR hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y además se acelera el asentamiento de la respuesta. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.

Para ilustrar este efecto, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Supongamos que estamos en presencia de un sistema con una planta inestable. Un ejemplo de semejante situación es la siguiente:

null

Donde G(s) es la función de transferencia de la planta y H(s)  es la función de transferencia del sensor utilizado para ensamblar el sistema a lazo cerrado, como se muestra en la Figura 1:

null

Figura 1

Sabemos por Álgebra de Bloques y la teoría sobre la Función de Transferencia, que la función de transferencia a lazo abierto de este sistema Gd(s) es:

null

Sabemos también que el LGR (Lugar Geométrico de las Raíces) se traza con la función de transferencia a lazo abierto Gd(s) de este sistema, para lo cual podemos hacer uso del siguiente comando en Matlab:

null

null

Gráfica 1

Análisis: En la gráfica 1 podemos ver que el sistema es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K. Es decir, si nos desplazamos por las curvas azul y verde, variando el valor de K, como en la gráfica 2, donde K1=0.143; K2=3.66 y K1=30.5, respectivamente, vemos que los polos del sistema están ubicados en el lado derecho del plano s, y se trata por tanto de un sistema inestable:

null

Gráfica 2

Apliquemos el principio de la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto a este caso. Vamos a añadir un zero en s= -0.5 (Figura 2), por lo tanto la Gd(s) del sistema es ahora:

null

null

Figura 2

Veamos el efecto de añadir un zero al sistema mediante:

null

null

Gráfica 3

Análisis: En la gráfica 3 vemos que el LGR del sistema se ha desplazado hacia la izquierda y que el sistema es estable para cualquier valor positivo de la ganancia k, esto es, que todos los polos del sistema a lazo cerrado están ubicados en lado izquierdo del plano s (Gráfica 4), condición indispensable para que le sistema sea estable:

null

Gráfica 4

Fuente:

  1. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 408-442-443.

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Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Ejemplo – Error en estado estable para dos entradas: escalón y rampa.

Dado el sistema de la siguiente figura, aplicar las siguientes señales de entrada: Escalón unitario, Rampa unitaria y Escalón de amplitud factor*2:

null

Se consideran las dos plantas siguientes:

null

Se pide: 1) Observar la respuesta temporal simulada durante 20 segundos para cada sistema y para cada entrada. 2) Obtener gráficamente el valor del error que presenta la respuesta cada sistema al cabo de 10 segundos.  3) Calcular la expresión analítica de dicho error en estado estacionario para cada una de las señales de entrada.

  1. Incluir un controlador proporcional, esto es, una ganancia (bloque Gain) en el diagrama. Dar el valor 10 a la ganancia y obtener de nuevo su respuesta ante las entradas utilizadas en el apartado anterior.
  2. De forma análoga, obtener gráficamente el valor del error que presenta la respuesta del sistema al cabo de 10 segundos. Calcular la expresión analítica de dicho error en estado estacionario para cada una de las señales de entrada.
  3. El sistema con la función de transferencia 1 se prueba con dos controladores: un P con ganancia proporcional 0.7 y un PI con la misma ganancia proporcional y con ganancia integral 10. Observar la respuesta obtenida ante un escalón unitario para el sistema sin controlador, para el sistema con el controlador P y para el que tiene el PI.
  4. Buscar una posible modificación en las ganancias de ambos controladores para mejorar la respuesta.
Respuesta:

Antes de simular la respuesta a las diferentes señales, definimos en Matlab las funciones de transferencia de cada planta mediante:

>> G1=tf([1],[1 1]);

>> G2=tf([1],[1 1 0]);

Estos comandos arrojan el siguiente resultado:

null

Definimos los sistemas de realimentación unitaria para cada una de las plantas:

>> sys1=feedback(G1,1);

>> sys2=feedback(G2,1);

null

Entrada Escalón unitario: Con la función step() simulamos la respuesta al escalón unitario de cada sistema de realimentación definido, durante 20 segundos:

>>  step(sys1)

null

Gráfica 1

>> step(sys2)

null

Gráfica 2

Mediante estas gráficas podemos calcular el valor del error que presenta la respuesta de cada sistema a la entrada escalón al cabo de 10 segundos. Comenzamos con sys1:

null

Gráfica 3

En la gráfica 3 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 1, el cual involucra a G1(s), a los 10 segundos es igual a 0.5. Por lo tanto el error, e1(t) de este sistema a la entrada escalón cuando t=10s, es:

null

También se observa en la gráfica 3 que a los 10s el sistema 1 ha alcanzado su estado estable. Esto lo podemos corroborar mediante el comando stepinfo():

null

Por lo que el error a la entrada escalón unitario a los 10 segundos es igual al error e1step(∞) del sistema a la entrada escalón en estado estable:

null

En consecuencia, se puede calcular analíticamente este error utilizando la constante de posición Kp:

null

El error en estado estable e1step(∞) del sistema 1 a la entrada escalón unitario es:

null

Aplicamos este mismo procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys2 a la entrada escalón unitario al cabo de 10 segundos:

null

Gráfica 4

En la gráfica 4 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 2, el cual involucra a G2(s), a los 10 segundos es igual a 1. Por lo tanto el error, e2(t) de este sistema a la entrada escalón cuando t=10s, es:

null

Se observa en la gráfica 4 que a los 10s el sistema 2 ha alcanzado su estado estable.

null

Por lo que el error a la entrada escalón unitario a los 10 segundos es igual al error e2step(∞) del sistema a la entrada escalón en estado estable:

null

En consecuencia, se puede calcular analíticamente este error utilizando la constante de posición Kp:

null

El error en estado estable e2step(∞) del sistema 2 a la entrada escalón unitario es:

null

Entrada Rampa unitaria:

Para evaluar la respuesta de cada sistema a la rampa unitaria debemos en primer lugar definir la función rampa unitaria mediante:

>> t=0:0.01:21;

>> x=t;

>> lsim(sys1,x,t)

null

Gráfica 5 (la salida del sistema 1 en azul)

>> lsim(sys2,x,t)

null

Gráfica 6 (la salida del sistema 2 en azul)

Aplicamos el mismo procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys1 a la entrada rampa al cabo de 10 segundos:

null

Gráfica 7 (la salida del sistema 1 en azul)

En la gráfica 7 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 1, a los 10 segundos es igual a 4.75. Por lo tanto el error e1(t) de este sistema a la entrada rampa cuando t=10s, es:

null

El error e1rampa(∞) del sistema 1 a la entrada rampa, se puede calcular analíticamente utilizando la constante de posición Kv:

null

El error en estado estable e1ramp(∞) del sistema 1 a la entrada rampa es:

null

Si vemos la gráfica 7 podemos ver que la entrada crece indefinidamente, y también crece infinitamente la separación con la salida del sistema. Por eso el error en estado estable del sistema 1 a la entrada rampa es infinito.

Para el sys2 al cabo de 10 segundos:

null

Gráfica 8 (la salida del sistema 2 en azul)

En la gráfica 8 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 2, a los 10 segundos es igual a 9. Por lo tanto el error e2(t) de este sistema a la entrada rampa cuando t=10s, es:

null

El error e2rampa(∞) del sistema 2 a la entrada rampa, se puede calcular analíticamente utilizando la constante de posición Kv:

null

El error en estado estable e2ramp(∞) del sistema 2 a la entrada rampa es:

null

Si vemos la gráfica 8 podemos ver que ambas señales, entrada y salida, crecen en paralelo indefinidamente, con una diferencia constante de 1. En conclusión, el error en estado estable del sistema 2 a la entrada rampa es igual a 1.

Escalón de amplitud factor*2:

Utilizamos el factor=0.7

Por tanto, el escalón tendrá una amplitud de 1.4

Para evaluar la respuesta de cada sistema al escalón de amplitud 1.4 simplemente multiplicamos cada sistema por 1.4 y evaluamos la respuesta para el escalón unitario. A cada sistema nombramos 1.1 y 2.2 respectivamente. Entonces:

>> sys11= 1.4*sys1

>> sys22=1.4* sys2;

null

Procedemos a graficar los sistemas anteriormente definidos:

>> step(sys11)

null

Gráfica 9

>> step(sys22)

null

Gráfica 10

Aplicamos el procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys1.1 a la entrada escalón de amplitud 1.4 al cabo de 10 segundos:

null

Gráfica 11

En la gráfica 11 podemos observar que la salida del sistema 1.1, a los 10 segundos es igual a 0.7. Por lo tanto el error, e1.1(t) de este sistema a la entrada escalón con amplitud 1.4 cuando t=10s, es:

null

Utilizando el principio de superposición, podemos calcular el error a la entrada escalón utilizando la constante de posición Kp y sumando 0.4 a la expresión para e1.1step(∞):

null

Dónde:

null

Nota: se determinó Geq mediante la regla siguiente:

null

Por tanto:

null

Se confirma que el error en estado estable del sistema 1.1 a la entrada escalón con amplitud 1.4 es:

null

Aplicamos el procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys2.2 a la entrada escalón al cabo de 10 segundos:

null

Gráfica 12

En la gráfica 12 podemos observar que la salida del sistema 2.2, a los 10 segundos es igual a 1.4. Por lo tanto el error, e2.2(t) de este sistema a la entrada escalón con amplitud 1.4 cuando t=10s, es:

null

Se puede calcular el error a la entrada escalón utilizando la constante de posición Kp:

nullDónde:

null

Por tanto:

null

Se confirma que el error en estado estable del sistema 2.2 a la entrada escalón con amplitud 1.4 es:

null

2DA PARTE
  1. Incluir un controlador proporcional, esto es, una ganancia (bloque Gain) en el diagrama. Dar el valor 10 a la ganancia y obtener de nuevo su respuesta ante las entradas utilizadas en el apartado anterior.
  2. De forma análoga, obtener gráficamente el valor del error que presenta la respuesta del sistema al cabo de 10 segundos. Calcular la expresión analítica de dicho error en estado estacionario para cada una de las señales de entrada.

Respuesta: Error Est Estable 2da parte

3RA PARTE

6. El sistema con la función de transferencia 1 se prueba con dos controladores: un P con ganancia proporcional 0.7 y un PI con la misma ganancia proporcional y con ganancia integral 10. Observar la respuesta obtenida ante un escalón unitario para el sistema sin controlador, para el sistema con el controlador P y para el que tiene el PI.

7. Buscar una posible modificación en las ganancias de ambos controladores para mejorar la respuesta.

Respuesta: Error Est Estable 3ra parte

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Función de Transferencia, Respuesta en el tiempo

FT a partir de la respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden

Sea una planta cuyo comportamiento se modela como un sistema de primer orden. La respuesta de todo el sistema controlado frente a un escalón unitario es la representada en la siguiente figura:

null

Esta planta es controlada mediante un regulador P, cuya ganancia vale 13.37, y el sistema  tiene  realimentación unitaria.

Se pide determinar:

  1. La función de transferencia de la planta.
  2. Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.

Respuesta:

Debido a que el sistema se comporta como un sistema de primer grado, podemos suponer que la función de transferencia de dicho sistema es de la forma siguiente:

null

La constante de tiempo T es el tiempo en que el sistema alcanza un 63.2% de su valor final. De acuerdo con la gráfica de la respuesta del sistema a la entrada escalón unitario, este valor final es de 0.89, por lo tanto, T es el tiempo en que el sistema alcanza el valor de 0.562:null

null

En la gráfica anterior podemos ver que el valor de 0.562 se logra aproximadamente a los 0.36 s. Entonces:

null

En la función de transferencia predeterminada para el sistema:

null

La variable a se relaciona con la constante de tiempo T de la manera siguiente:

null 

Para encontrar la constante K debemos considerar que analíticamente la respuesta del sistema a la función escalón es como sigue:

null

La antitransformada de Laplace de C(s) nos permite obtener c(t):

null

La ecuación para c(t) nos permite ver que el valor final de la respuesta del sistema es k/a. De la gráfica podemos afirmar entonces que:

nullEs decir:

null

De esta manera podemos afirmar que la función de transferencia del sistema es:

null

Este resultado lo podemos corroborar con la siguiente simulación:

>> Gs=tf([2.47],[1 2.78]);

>> step(Gs)

null

La planta es controlada mediante un regulador P, de ganancia k1=13.37, y realimentación unitaria. Ambos componentes se pueden representar mediante el siguiente diagrama de bloque:

null

Es decir:

null

Dónde:

null

Entonces:nullDe donde:

null

En definitiva, la función de transferencia de la planta es:

null

2da parte

Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.

Respuesta 2:

La nueva situación se representa mediante el siguiente diagrama de bloques:

null

Dónde:

null

La función de transferencia del lazo realimentado es:

null

La función de transferencia del sistema en su totalidad es:

null

Para estudiar la estabilidad del sistema nos enfocamos en su ecuación característica para aplicar el criterio de Routh-Hurwitz:

null

Para lograr estabilidad deben cumplir estas dos condiciones:

null

Del análisis de estabilidad del sistema concluimos que el valor máximo de la constante del controlador integral para garantizar estabilidad es 13.14.

SIGUIENTE:

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Análisis de sistemas de control, Variables de estado

Ejemplo de la representación en espacios de estados de y(t) a partir la función de transferencia

Obtener la representación en espacio de estados  de y(t)  a partir de la función de transferencia Y(s)/U(s):

null

HallaPara obtener la representación en espacios de estados del sistema utilizamos la expresión para Y(s)/U(s) de la siguiente manera:

Representamos este sistema mediante el siguiente diagrama de bloques:

null

Dónde:

null

Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos:

null

Asignamos las siguientes variables de estado:

null

Sustituimos:

null

Además vemos que:

null

De esta manera, la primera parte de la representación en espacios de estados del sistema es:

null

Para determinar el resto de la representación tomamos en cuenta que:

null

Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos que:

null

Al sustituir las variables de estado ya definidas obtenemos que:

nullPor lo tanto, la salida y(t)  a partir del espacio de estados es:

null

2. Graficar y(t) en Matlab y explicar a partir de la gráfica la estabilidad del sistema.

Para graficar y(t) para una entrada escalón unitario utilizamos la función de transferencia y el siguiente comando en Matlab:

>> sys=tf([1 3 7],[1 6 9 4]);

>> step(sys)

Así obtenemos:

null

En la gráfica anterior podemos ver claramente que el estado final del sistema es estable, ya que el valor de la salida y(t) se estabiliza en:

null

El valor final, o valor en estado estable, para y(t), y el tiempo de establecimiento en t=5.76 s, se pueden comprobar en la gráfica siguiente:

null

Además se le puede preguntar a la cónsola de Matlab si el sistema es estable mediante el siguiente comando (el número 1 significa verdadero):

>> isstable(sys)

ans = 1

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