Categoría: Análisis de sistemas de control

La función de transferencia normalizada de un sistema de 1er orden es la siguiente:

Dónde:

El método más utilizado para estudiar el comportamiento de los sistemas de 1er orden consiste en someter dicho sistema a un conjunto de entradas típicas: el impulso, el escalón unitario, la rampa y una señal alterna sinusoidal (ver Anexo 1).

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada impulso unitario (impulse)

Supongamos que probamos un sistema de 1er orden con una entrada impulso unitario. Es decir, con R_(s)=1.  (Para repasar la transformada de Laplace de señales elementales ver: La Transformada de Laplace) De esta manera la salida C_(s) se puede despejar fácilmente de la ecuación (1) mediante:

Es decir, la función de transferencia de la ecuación (1) es igual que la respuesta la impulso. La ecuación (2) es la respuesta sistema al impulso en función de la frecuencia. Si queremos conocer esta respuesta c_(t) en función del tiempo aplicamos la antitransformada de Laplace:

 La ecuación anterior muestra un comportamiento exponencial decreciente. Esta es la salida de un sistema de primer orden ante una entrada impulso unitario, la cual se puede ver en la siguiente gráfica:

En la Figura 1, la constante de tiempo T es el tiempo que tardaría el sistema en alcanzar el valor final si variase al ritmo que lo hace inicialmente. También coincide la constante T con el tiempo en que la salida alcanza el 37% de su valor final.

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada escalón (Step)

Supongamos ahora que probamos el sistema de 1er orden con una entrada escalón con amplitud A, es decir, R_(s)=A/s. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos los siguientes resultados:

En este caso, la salida de un sistema de primer orden ante una entrada escalón de amplitud A tiene un valor inicial igual a cero (suponiendo condiciones iniciales nulas) y luego aumenta exponencialmente hasta estabilizarse en un valor igual a Ak. Dicha respuesta se puede ver en la siguiente gráfica:

En la Figura 2, la constante de tiempo T es el tiempo en que la salida del sistema alcanza el 0.632 (63.2%) de su valor final. Podemos apreciar además que un tiempo igual a 4 constantes de tiempo (4T) el sistema se estabiliza (tiempo de establecimiento; t_s=4T) ya que la salida alcanza su valor final o se mantiene al menos a 98.2% del mismo.

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada rampa (ramp) 

Probemos ahora el sistema de 1er orden con una entrada rampa con amplitud A, es decir, R_(s)=A/s². Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos los siguientes resultados:

En la Figura 3 podemos ver que u sistema de 1er orden ante una entrada rampa siempre tiene un error La constante de tiempo T representa en este caso el tiempo del que parte la asíntota a la que tiende la respuesta del sistema en estado estacionario.

Veamos un ejemplo para mostrar esta teoría.

Ejemplo 1

En el link Dinámica de un sistema de nivel de líquidos hemos demostrado la siguiente función de transferencia para el sistema de la Figura:

De acuerdo con la ecuación normalizada (1) para un sistema de 1er orden, en el sistema de la figura anterior se cumple que:

Supongamos los siguientes valores para r y c:

Para probar h_(t), la respuesta del sistema al impulso unitario, al escalón unitario y a la rampa unitaria, así como el valor de la salida cuando t= 1 s (constante de tiempo), utilizamos los siguientes scripts en Matlab:

Segunda aproximación

Un sistema de primer orden es aquel que queda definido por una ecuación diferencial de primer orden del tipo:

A continuación representa la función de transferencia G_(s) de la ecuación anterior, la cual es:

Luego, se observa la ubicación del polo de G_(s), localizado en s=-a₀:

Por conveniencia analítica vamos a ordenar G_(s) de la siguiente manera:

Dónde:

K y τ son los parámetros más importantes de un sistema de primer orden ya que ayudan a comprender (o anticipar) rápidamente el comportamiento del sistema. Esto es posible porque por lo general se utiliza el escalón unitario como entrada de prueba u_(t) a la mayoría de los sistemas para saber cómo va a comportarse la salida y_(t).

Aplicando la antitransformada de Laplace a la ecuación Y_(s)/U_(s), en término de los parámetros definidos anteriormente, podemos ver fácilmente que la salida y_(t) de un sistema de primer orden sometido a una entrada escalón u_e(t)  de amplitud A, es:

Bien interesante en la expresión anterior es darse cuenta de lo siguiente:

• Que si la constante a₀ es positiva, la respuesta exponencial del sistema termina estabilizándose. Esto concuerda con la teoría que dice que los polos de una función de transferencia deben estar ubicados en el lado izquierdo del plano s para que un sistema sea estable.
• Que la constante de tiempo τ es positiva si la constante a₀ es positiva. Lo que tiene mucho sentido ya que τ es un intervalo de tiempo. Si a₀ fuera negativa, la constante τ es negativa y el sistema es inestable.

Ejemplo 2

El siguiente ejemplo y su gráfica en Matlab (Figura 4) nos permite ver la forma estándar de y_(t) como salida de un sistema de primer orden sometido a una entrada escalón u_e(t)  de amplitud 1, K=2, τ=1:

>> G=tf([2],[1 1]);

>> step(G)

En la Figura 4 podemos ver el significado cualitativo de las constantes K y τ. La constante K es el valor final del sistema de primer orden cuando ha pasado mucho tiempo (estado estable). En el ejemplo y gracias a la gráfica de la Figura 5, vemos que ese valor final es 2, tal como lo especifica G_(s). De allí la utilidad de saber el valor de K si el sistema es de primer orden….ya sabemos cuál es el valor final del sistema en estado estable para una entrada escalón unitario.  

Por su parte, por definición, la constante τ es el tiempo en el que un sistema tarda en alcanzar el 63.2% de su valor final. Esto lo podemos comprobar en nuestro ejemplo. Si el valor final del sistema a la entrada escalón unitario es igual a 2, el 63,2% de 2 es 1.264. En nuestra gráfica de Matlab podemos marcar el valor de la salida con click derecho sobre la curva azul, y luego arrastrar este punto hasta τ=1, y notar que el valor es el esperado en la Figura 5:

 En la siguiente gráfica, Figura 6, podemos observar en general el significado de los parámetros definidos para un sistema de primer orden:

Otra característica de importancia es el tiempo en que el sistema alcanza el estado estable, conocido como t_s (tiempo de establecimiento o tiempo de asentamiento) para lo cual existen dos criterios, el criterio del 2% o el criterio del 5%. El tiempo de asentamiento t_s es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.

De acuerdo con la Figura 6, y según el criterio del 5%, el t_s se alcanza en t=3τ.  Por otra parte, según el criterio del 2%, el t_s se alcanza en t=4τ. Podemos corroborar estas afirmaciones en nuestro ejemplo y su gráfica en Matlab (Figura 7), sabiendo que el 2% de 2 es 0.04 (la salida tiene que valer 1.96 o menos después de t=4s), mientras que el 5% de 2 es 0.1 (la salida tiene que valer 1.90 o menos después de t=3s):

La ecuación que permite relacionar el tiempo de asentamiento t_s con la constante τ es la siguiente:

Donde t_R es el tiempo de retraso si es que llega a presentarse.

Ejemplo 3

Para incorporar  un retraso de 2 segundos en nuestro ejemplo anterior (Figura 4), modificamos nuestra G_(s) de la manera siguiente (Figura 8):

>> s=tf(‘s’);

>> H=exp(-2*s);

>> G2=G*H;

>> step(G2)

Por lo tanto, el tiempo de establecimiento en nuestro ejemplo, de acuerdo con ambos criterios, es:

Ejemplo 4. 

Considerando un sistema de primer orden definido por:

Obtenga la respuesta del sistema cuando se le aplica una entrada escalón U_(t)=9, así como su valor final y(∞):

Respuesta:

Sabemos que la salida de un sistema de primer orden es del tipo:

Donde A es la amplitud de la entrada escalón. Por lo tanto, sólo debemos obtener el valor de ambos parámetros K y τ a partir de la función G_(s):

Sabemos también que en un sistema de primer orden la función G_(s) tiene la siguiente forma:

Entonces podemos aseverar que:

Por lo tanto:

De donde también podemos deducir el valor final de y_t):

Para demostrar este resultado podemos utilizar el siguiente script en Matlab:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]);
opt=stepDataOptions(‘stepAmplitude’,9);
[y,t]=step(G,opt);
plot(t,y)

Ejemplo 5

Hablemos ahora de un sistema físico de primer orden muy común, un circuito RC (también lo es un circuito RL) como el de la Figura:

• De acuerdo con: Respuesta natural y forzada de un circuito RC – Definición y ejemplos, la ecuación diferencial que representa de voltaje de salida v_C es la siguiente:

Demostrar que la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario es:

Respuesta:

Sabemos que la salida de un sistema de primer orden es del tipo:

Que a su vez es la solución para la ecuación diferencial del tipo:

Comparamos las siguientes ecuaciones:

De la comparación podemos asignar lo siguiente:

Entonces la expresión para V_c es del tipo:

La expresión anterior supone que la condición inicial V₍₀₎ del capacitor es cero. Caso contrario, debe incluirse de la manera siguiente:

Queda así demostrado el enunciado del problema, ya que en un circuito RC la constante τ=RC.

Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta: Sistemas de segundo orden

Aplicar control PID a Función de Transferencia – 1er grado ó 2do grado – Catálogo 14

Este catálogo ofrece la solución analítica completa a prácticas de configuración y diseño de sistemas de control para Función de Transferencia de primer orden o de segundo orden, generalmente aplicando un controlador PID, álgebra de bloques, y la teoría que forma parte de la cátedra de sistemas de control, señales y sistemas, ingeniería industrial, mecatrónica, etc. Además, la solución implica el uso de Matlab y/o Simulink. Cada laboratorio tiene un costo de 21.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal. También el autor ofrece servicio para resolver prácticas y laboratorios a particulares: +34633129287.

Práctica 1

Para la función de transferencia:

• Graficar la respuesta para una entrada de 250 sin control en lazo abierto y sin control en lazo cerrado;
• Graficar la salida aplicando control PID con las siguientes constantes de K_p=60; K_i=400; K_d=10 y con una entrada escalón unitario. Ejecutar ambas: Solución analítica y Solución haciendo uso de la herramienta sisotool de Matlab para configurar el controlador.
• Simular en Simulink

Anexo 1: Señales típicas para probar sistemas

Anexo 2

Anexo 3: sistemas de primer orden

Anexo 4: sistema de segundo orden

SIGUIENTE:

Sistema de primer orden a lazo abierto y a lazo cerrado

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Fuente:

1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
2. Control Systems Engineering, Nise
3. Automática – Tema 4 – Respuesta temporal
4. Introducción a los sistemas de control con matlab
5. 2.1 Respuesta transitoria

Revisión literaria hecha por:

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