Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de Controlador PD utilizando sisotool de Matlab

Para determinar los valores de las constantes Kp y Td de un controlador PD, utilizaremos Matlab. Considere un Sistema con una planta inestable con función de transferencia Gp(s):

null
Función de transferencia de la Planta

Usando el enfoque del LGR diseñar un control proporcional-derivativo (determinar los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 0.5 rad/seg.

Respuesta:

  1. Para describir cualitativamente el comportamiento de la planta, la incorporamos a un sistema de control elemental (realimentación unitaria) como el que se muestra en el siguiente diagrama de bloques, Figura 1:
null
Figura 1. Se incorpora la planta a un sistema de control con realimentación unitaria

Luego, observamos el Lugar Geométrico de sus Raíces (LGR) mediante el siguiente comando en Matlab (para un repaso de LGR ver:):

>> G=tf([1],[10000 0 -11772])

>> rlocus(G)

>> grid

null
Figura 2. Lugar Geométrico de las raíces de la planta antes de incorporar el controlador PD

Podemos ver en la Figura 2 que para ganancias cercanas a 1, el sistema tiene raíces ubicadas en el lado derecho del plano s, por lo tanto se trata de un sistema inestable (para un repaso de estabilidad ver:Estabilidad). Podemos además solicitar a Matlab las raíces de nuestra planta para la ganancia exactamente igual a 1 mediante:

>> pole(G)

ans =    1.0850     -1.0850

Para alcanzar las especificaciones solicitadas (factor de amortiguamiento ζ=0.7 y frecuencia natural no amortiguada ωn =0.5 rad/seg.), introducimos en la función de transferencia directa un controlador PD, Figura 3:

null
Figura 3. Se incorpora el controlador PD al sistema de control.

La justificación de aplicar un controlador PD es que las especificaciones involucran a la respuesta transitoria, etapa en la cual la aplicación del controlador PD es ideal, según se concluye en la teoría. Analíticamente ya se demostró en Controlador PD que los valores de las constantes son Kp =14272 y Td =0.49 s. En esta oportunidad vamos a determinar estos valores utilizando el Matlab Control System Toolbox, en especial el comando sisotool:

>> sisotool(G)

Esta herramienta ofrece una interface gráfica que facilita el diseño del controlador de acuerdo con los requerimientos solicitados (Graphical Tuning, Root Locus Design). En la Figura 4 podemos observar las dos pantallas iniciales:

Figura 4

Hacemos click derecho sobre el LGR, seleccionamos las pestañas según la Figura 5:

Figura 5

Al asignar el valor del parámetro ζ, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 6

Aplicamos el mismo procedimiento para asignar el valor de ωn:

Figura 7

Al asignar los valores solicitados en las ventanas para cada parámetro, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 8

En la Figura 8 el punto donde se interceptan las curvas negras señalan el lugar geométrico donde se cumplen ambas especificaciones.

Como ya sabemos, agregar un controlador PD es agregar un cero y una ganancia (ver Controlador PD). Ello lo podemos hacer utilizando el menú del LGR:

Figura 9

Procedemos agregar un cero al eje real del plano s:

Figura 10. Agregamos un cero al eje real del plano s.

Ahora arrastramos el cero a lo largo del eje real, utilizando click derecho, hasta que el LGR (líneas azules) coincida con el punto de intercepción de las líneas negras:

Figura 11. Arrastramos el cero a la izquierda del eje s hasta que el LGR coincida con la intercepción de las curvas negras.

Ahora, arrastramos los polos hasta el punto de intercepción de las curvas negras y el LGR:

Figura 12. Los polos coinciden con la intercepción de las curvas.

En el borde inferior izquierdo, mientras ubicamos los polos en el lugar correcto del LGR, podemos ver como evolucionan los valores de los parámetros damping y frecuencia natural;

Figura 13. Movemos los polos hasta que se cumplan los requerimientos.

Seleccionamos la pestaña “compensator editor” para ver los cambios en el controlador:

Figura 14. Valores de las constantes del compensador

Vemos que los valores del compensador se asemejan a los obtenidos de manera analítica:

Valores de las constantes del controlador PD

En la misma ventana del “compensator editor” seleccionamos la pestaña “Analysis Plots”:

Figura 15. Solicitud de gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario.

De manera automática obtenemos la gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario:

Figura 16

A la gráfica de la Figura 16 se le puede pedir otros valores de importancia en la respuesta transitoria del sistema, como por ejemplo el sobreimpulso:

Figura 17. Sobreimpulso de la respuesta del sistema al escalón unitario.
Otro Ejemplo

Utilice MATLAB y su “Control System Toobox“, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:

  1. Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
  2. Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
  3. En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
  4. En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
  5. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  6. Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
  7. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  8. Elija Settling time y click OK.
  9. Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
  10. Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
  11. Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
  12. Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
  13. Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
  14. Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
  15. Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.

Entradas Relacionadas:

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. 4 PD, PI, PID

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Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Error en estado estable para sistemas de control de realimentación no unitaria

En numerosos casos, los sistemas de control no tienen realimentación unitaria. El recorrido de realimentación puede estar constituido por una ganancia diferente de cero, o una función de transferencia específica. Es por ello que debemos considerar el caso de un sistema de control general con realimentación no unitaria. Considere el sistema de la Figura 1:

null

Figura 1

La función de transferencia a lazo cerrado del sistema de la Figura 1 es:

nullLa función de transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de entrada r(t)  es:

nullDado que:

nullEl error en estado estable ess del sistema es:

nullEl error en estado estable ess del sistema para el escalón unitario es:

nullLa constante de error de posición estática Kp se define utilizando la función de transferencia a lazo abierto G(s)H(s), mediante :

nullPor ende, el error en estado estable ess del sistema para el escalón unitario, en términos de la constante de error de posición estática Kp es:

null

Ejemplo

El diagrama de bloques de un sistema se muestra en la Figura 2:

null

Figura 2

Calcular el error del sistema en régimen permanente ante una entrada escalón unitario y el error en régimen permanente ante una entrada rampa.

Respuesta:

Para calcular el error del sistema e(∞) en régimen permanente ante una entrada escalón, utilizamos la fórmula siguiente:

null

Donde Kp es la constante de error de posición estática:

nullDe donde:

nullEste resultado es el esperado ya que el sistema representado por la función de transferencia directa G(s) es un sistema tipo 1. Revisar clasificación de los sistemas en: Error en estado estable de un sistema de control 

Para calcular el error del sistema e(∞) en régimen permanente ante una entrada rampa, utilizamos la fórmula siguiente:

null

Donde Kv es la constante de error de velocidad estática:

nullDe donde:

null

Te puede interesar:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Ingeniería Eléctrica, Sistemas trifásicos

Generador de tensiones trifásicas

La Figura 1 muestra el esquema básico de la generación de tensiones trifásicas, donde existe un imán N-S fijo y dentro de él un cilindro (rotor) que se mueve a la velocidad angular ω rad/seg dentro de un campo magnético uniforme B teslas (T). Este rotor tiene arrollado sobre él tres juegos de bobinas, constituidos por los devanados AA’, BB’ y CC’, que están separados entre sí 120° en el espacio (A, B y C representan puntas de flecha o dirección de salida de corriente de las bobinas, mientras que A’, B’ y C’ representan partes posteriores de flecha o entradas de corriente de las bobinas…inicio y fin de un corte transversal a las bobinas, visto en una dimensión).

null

Las tres bobinas tienen el mismo número de espiras y giran a la misma velocidad angular ω. En consecuencia, la f.e.m (fuerza electromotriz) inducida en cada devanado tiene el mismo valor pico, la misma forma de onda sinusoidal y la misma frecuencia. Cada onda está desfasada 120° una de la otra en el tiempo. Suponiendo que en el tiempo t=0, la tensión en la bobina AA’ es máxima, la Figura 2 muestra la tres tensiones trifásicas en el tiempo:

null

Las expresiones instantáneas para cada tensión son las siguientes:

null

Donde U es el valor eficaz de la tensión U(t). Cada devanado donde se produce tensión sinusoidal se denomina Fase. En consecuencia, este mecanismo se conoce popularmente como Generador Trifásico. La representación fasorial de las tensiones, corrientes, y demás parámetros posibles en un circuito trifásico, aporta información cualitativa que permite entender mejor como funciona dicho circuito. En este caso, las tensiones de un generador trifásico se representan mediante el siguiente diagrama fasorial:

null

Si a esta altura tiene alguna duda sobre la generación de tensión sinusoidal, recomiendo ver primero: El Alternador – Generación de ondas sinusoidales

Por medio de las Figuras 2 y 3 podemos ver que al sumar los tres vectores, o las tres tensiones instantáneas, obtenemos cero como respuesta. Es decir:

null

Observación 1: estas últimas ecuaciones son válidas por el hecho de que la velocidad angular ω de todas las tensiones es igual. Por ello, es importante que al utilizar estas ecuaciones en el análisis de circuitos polifásicos, el ingeniero primero constate que todas las fases tengan la misma velocidad angular.

Observación 1: el orden en que se suceden los valores máximos de las tensiones de fase en un generador trifásico, se denomina secuencia de fases. En el rotor de la Figura 1, la secuencia de fases es ABC. Pero, puede presentarse el caso en que la secuencia de fases sea ACB. Por ello, es importante que al utilizar estas ecuaciones en el análisis de circuitos trifásicos, el ingeniero primero determine cuál es la secuencia de fase del generador.

Este asunto de la secuencia de fase también se maneja de la siguiente manera: la secuencia ABC se conoce como secuencia directa o positiva; la secuencia ACB se conoce como secuencia indirecta o negativa. Esta convención se ilustra en la Figura 4, donde es importante notar la dirección de la velocidad angular ω para determinar el orden en que un observador ve las fases:

null

La Figura 5 muestra el circuito que representa al generador trifásico. Se trata de tres generadores de tensión con los valores de las Figuras 2 y 3, de tal forma que cada uno de ellos alimenta a sendas impedancias de carga: Za, Zb y Zc. Este circuito en el que cada fase está unida a un receptor, independiente de las demás, se denomina circuito trifásico independiente:

null

Si se cumple la igualdad de las cargas en el circuito de la Figura 5, entonces, el sistema está equilibrado. Es decir, si:

null

Donde Z es el módulo de la impedancia, y Ø es la fase de la carga, la Figura 6 muestra el diagrama fasorial del sistema trifásico equilibrado:

null

En un sistema trifásico equilibrado se cumple también que:

null

El resultado es fundamental a la hora de analizar circuitos trifásicos, ya que va a facilitar enormemente la cantidad de cálculos necesarios para describir completamente el sistema, utilizando una sola fase y su correspondiente circuito equivalente monofásico. Veremos de inmediato de lo que estamos hablando en el análisis del Circuito Trifásico en Estrella, tema de nuestro próximo artículo.

Con el fin de disminuir la cantidad de conductores que unen el generador con la carga de la Figura 5, se utiliza un único conductor de retorno en lugar de tres. El resultado se muestra en la Figura 3.7:

null

SIGUIENTE: Circuito Trifásico Y-Y balanceado. Conexión Estrella-Estrella balanceada.

Fuente:

  1. Jesús Fraile, Circuitos Eléctricos, páginas 280-291.

Te puede interesar también:

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

El Alternador – Generación de ondas sinusoidales – Análisis

La Figura 1 muestra el esquema básico del mecanismo para generar una onda sinusoidal, mecanismo conocido como alternador (generador de corriente alterna – CA). Una espira de superficie S (m2) girando sobre un eje a una velocidad angular constante ω rad/seg dentro de un campo magnético uniforme B teslas (T) producido por un imán (o un electroimán) . El movimiento de la espira puede ser producido por un mecanismo exterior como por ejemplo la turbina de una central eléctrica, o puede moverse el imán en vez de la espira, algo que ha resultado ser más práctico en el caso de los vehículos automotores.

null

El flujo magnético Φ que atraviesa la espira cuando los vectores S y B forman un ángulo θ=ωt, teniendo en cuenta una inducción uniforme en todos los puntos de la superficie de la espira, es:

null

De acuerdo con la Ley de Faraday, el flujo magnético Φ producirá una f.e.m (fuerza electromotriz) inducida e de valor:

null

Que por convención se considera como:

null

La ecuación (1) representa la f.e.m instantánea generada en la bobina y que en el tiempo tiene una forma sinusoidal como se muestra en la Figura 2:

null

Se puede ver en la Figura 2 que Em es el valor máximo o pico de la cresta, T es el período de la onda y se relaciona con la frecuencia angular ω mediante:

null

Por conveniencia analítica, muchos centros académicos de Ingeniería Eléctrica prefieren trabajar con la función coseno en vez de trabajar con la función seno, por lo que se prefiere la siguiente versión para la ecuación (1), la f.e.m generada por un alternador:

null

En la práctica de ingeniería resulta más útil trabajar ángulos en grados. Por lo que la forma de onda más generalmente utilizada en el análisis matemático de estas señales es:

null

Esta última ecuación se representa en la Figura 3, donde φ se denomina ángulo de fase:

null

Se denomina diferencia de fase o desfase entre dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia, a la diferencia entre sus fases respectivas. Supongamos dos señales u(t) e i(t), voltaje y corriente respectivamente, cuyas expresiones matemáticas son las siguientes:

null

La señal u(t) presenta un adelanto, mientras que la señal i(t) presenta un retraso. Dichas señales se representan en la Figura 4:

null

El desfase φ entre las señales u(t) e i(t) es:

null

El desfase  entre dos señales es igual a cero, se dice que las señales están en fase.

Existen dos valores esenciales que se utilizan en el análisis de este tipo de ondas: el valor medio Ymed y el valor eficaz Y. En este caso:

null

El valor eficaz I de una corriente periódica i(t) por ejemplo, es el valor de una corriente contínua que en un mismo período T generaría la misma cantidad de energía disipada al pasar por una resistencia R. Notar que, utilizando las relaciones estudiadas hasta ahora, la expresión matemática para la i(t) de nuestro ejemplo sería:

null

El generador de la Figura 1 es un generador monofásico porque evidentemente, produce una sola onda alterna. Si el número de bobinas en el rotor se incrementa de una forma especial, el resultado es un generador polifásico que produce más de una onda alterna en cada revolución. Este mecanismo polifásico fue inventado en 1888 por el ingeniero croata-americano Nikola Tesla (1856-1943). Consistía en un motor asíncrono polifásico cuya patente fue adquirida por el empresario George Westinghouse (1846-1914) para presentar dicho invento en la Exposición Mundial de Chicago en 1893, en la forma de un generador bifásico que suministraba dos tensiones desfasadas en 90°.

A continuación se estudian los sistema trifásicos, que destacan por ser los más utilizados en generación de potencia eléctrica, transporte y distribución de energía eléctrica:

SIGUIENTE: Generador de tensiones trifásicas

Fuente:

  1. Jesús Fraile, Circuitos Eléctricos, páginas 144-147.

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Control System Analysis, Transfer function

Open loop and closed loop transfer function – examples

To understand the concept of Transfer Function in open loop, or on the contrary, closed loop, we use a block diagram of a closed loop system, Figure 1:

null

Figure 1

Where G (s) is the transfer function of the plant and H (s) is the transfer function of the sensor. The sensor generates a signal B (s) that is fed back to the summing point, where it is compared with the reference signal R (s), generating a signal called the error signal E(s). Applying block algebra to Figure 1 we can clearly see that the output signal C (s) can be obtained by multiplying E (s) by G (s):

nullThat is to say:null

The function G (s) of equation (1) is known as the direct path transfer function (quotient between the output and the error signal):

null

Again applying block algebra to Figure 1 we can see that the feedback signal B (s) can be obtained by multiplying C (s) by H (s), that is:

nullThat is:null

The product G(s)H (s) from equation (2) is known as the open-loop transfer function (quotient between the feedback signal and the error signal):

null

Important notes:

  • If the transfer function H (s) of the feedback path (FT of the sensor) is equal to one, H(s)=1, only in this case, the closed-loop transfer function is equal to the transfer function direct path;
  • The direct path transfer function G (s) is also known simply as the Direct Transfer Function.

That is, if the system is represented by the DB in Figure 2:

null

Figure 2

Then the direct transfer function G(s) is also the open-loop function.

Once again, applying block algebra to Figure 1 we can see that the output signal C (s) can be obtained by multiplying G (s) by E (s), that is:

nullSolving for C (s), we obtain that:

nullFrom where:

null

The function C (s) / R (s) of equation (3) is known as the closed-loop transfer function (quotient between the output signal and the input signal):

null

Important note: Equation (3) allows us to obtain the Laplace transform of the output for any input, once we know what the closed-loop transfer function is, by:

null

Example:

 

I suggest to visit: Effect of adding a zero to a control system

Source:

  1. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 65-66.

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de transferencia a lazo abierto y lazo cerrado – ejemplos

Para entender el concepto de Función de Transferencia a lazo abierto, o por el contrario, a lazo cerrado, utilizamos un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado, Figura 1:

null

Figura 1

Donde G(s) es la función de transferencia de la planta y H(s)  es la función de transferencia del sensor. El sensor genera una señal B(s) que se realimenta al punto de suma, donde se compara con la señal de referencia R(s), generando una señal denominada señal de error E(s). Aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver claramente que la señal de salida C(s) se puede obtener multiplicando E(s) por G(s):

nullEs decir:null

A la función G(s) de la ecuación (1) se le conoce como Función de transferencia de trayectoria directa (cociente entre la salida y la señal de error):

null

Nuevamente aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver que la señal de realimentación B(s)  se puede obtener multiplicando C(s) por H(s), es decir, E(s)G(s) por H(s):

nullO sea:null

El producto G(s)H(s) de la ecuación (2) se le conoce como Función de transferencia en lazo abierto (cociente entre la señal de realimentación y la señal de error):

null

Notas importantes:

  1. Si la función de transferencia H(s) de la trayectoria de realimentación (FT del sensor) es igual a uno, H(s)=1, sólo en este caso, la función de transferencia a lazo cerrado es igual a la función de transferencia de trayectoria directa;
  2. A la función de transferencia de trayectoria directa G(s) también se le conoce simplemente como Función de transferencia directa.

Es decir, si el sistema está representado por el DB de la  Figura 2:

null

Figura 2

Entonces la función de transferencia directa G(s) es también la función a lazo abierto.

Una vez más, aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver que la señal de salida C(s)  se puede obtener multiplicando G(s) por E(s), es decir:

nullDespejando C(s) , obtenemos que:

nullDe donde:

null

A la función C(s)/R(s) de la ecuación (3) se le conoce como Función de transferencia en lazo cerrado (cociente entre la señal de salida y la señal de entrada):

null

Nota importante: La ecuación (3) nos permite obtener la transformada de Laplace de la salida para cualquier entrada, una vez que sabemos cuál es la función de transferencia a lazo cerrado, mediante:

null

Ejemplo:

Recomiendo ver: Efecto de añadir un Zero – Diseño de Sistema de control

Fuente:

  1. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 65-66.

Te puede interesar también:

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Control System Analysis, PID Control

Effect of adding a zero – example – Control System Design

Effects of the addition of zeros: the addition of a zero to the open loop transfer function has the effect of pulling the rootlocus to the left, with which the system tends to be more stable, and also accelerates the settlement of the response. The effect of such control is to introduce a degree of foresight to the system and speed up the transient response.

To illustrate this effect, let’s look at the following example:

Example 1

Suppose we are in the presence of a system with an unstable plant. An example of such a situation is the following:

null

Where G (s) is the transfer function of the plant and H (s) is the transfer function of the sensor used to assemble the closed-loop system, as shown in Figure 1:

null

Figure 1

We know from Block Algebra and Transfer Function theory that the open loop transfer function of this system Gd (s) is:

null

We also know that the rootlocus is drawn with the open loop transfer function of this system Gd (s), for which we can use the following command in Matlab:

null

null

Graph 1

Analysis: In graph 1 we can see that the system is unstable for all positive values ​​of gain K. That is, if we move through the blue and green curves, varying the value of K, as in graph 2, where K1 = 0.143; K2 = 3.66 and K1 = 30.5, respectively, we see that the poles of the system are located on the right side of the s-plane, and therefore it is an unstable system:

null

Let’s apply the principle of addition of a zero to the open loop transfer function for this case. We are going to add a zero at s = -0.5 (Figure 2), therefore the Gd (s) of the system is:

null

null

Figure 2

Let’s see the effect of adding a zero to the system by:

null

null

Graph 3

Analysis: In graph 3 we see that the LGR of the system has shifted to the left and that the system is stable for any positive value of the gain k, that is, that all the poles of the closed-loop system are located on the left side from plane s (Graph 4), an essential condition for the system to be stable:

null

Graph 4

Source:

Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, pages 442-443.

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Efecto de añadir un zero – Ejemplo – Diseño de Sistema de control

Efectos de la adición de zeros: la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el LGR hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y además se acelera el asentamiento de la respuesta. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.

Para ilustrar este efecto, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Supongamos que estamos en presencia de un sistema con una planta inestable. Un ejemplo de semejante situación es la siguiente:

null

Donde G(s) es la función de transferencia de la planta y H(s)  es la función de transferencia del sensor utilizado para ensamblar el sistema a lazo cerrado, como se muestra en la Figura 1:

null

Figura 1

Sabemos por Álgebra de Bloques y la teoría sobre la Función de Transferencia, que la función de transferencia a lazo abierto de este sistema Gd(s) es:

null

Sabemos también que el LGR (Lugar Geométrico de las Raíces) se traza con la función de transferencia a lazo abierto Gd(s) de este sistema, para lo cual podemos hacer uso del siguiente comando en Matlab:

null

null

Gráfica 1

Análisis: En la gráfica 1 podemos ver que el sistema es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K. Es decir, si nos desplazamos por las curvas azul y verde, variando el valor de K, como en la gráfica 2, donde K1=0.143; K2=3.66 y K1=30.5, respectivamente, vemos que los polos del sistema están ubicados en el lado derecho del plano s, y se trata por tanto de un sistema inestable:

null

Gráfica 2

Apliquemos el principio de la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto a este caso. Vamos a añadir un zero en s= -0.5 (Figura 2), por lo tanto la Gd(s) del sistema es ahora:

null

null

Figura 2

Veamos el efecto de añadir un zero al sistema mediante:

null

null

Gráfica 3

Análisis: En la gráfica 3 vemos que el LGR del sistema se ha desplazado hacia la izquierda y que el sistema es estable para cualquier valor positivo de la ganancia k, esto es, que todos los polos del sistema a lazo cerrado están ubicados en lado izquierdo del plano s (Gráfica 4), condición indispensable para que le sistema sea estable:

null

Gráfica 4

Fuente:

  1. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 408-442-443.

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Ejemplo masa unida a extremo resorte – Báscula – ecuaciones

En una fábrica de básculas se realizan pruebas para mejorar la calidad, una masa de 3 kilogramos está unida al extremo de un resorte estirado 20 centímetros por una fuerza de 15 Newtons. Es puesto en movimiento en posición inicial x=0 y velocidad inicial de -10 m/s

    1. Encuentre la ecuación que describe el movimiento x(t)
    2. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento
    3. Calcule la posición, velocidad y aceleración del cuerpo 1 segundos después de iniciado el movimiento.
Respuesta:

Una báscula es un instrumento técnico diseñado para calibrar el peso de una masa. En la primera etapa del problema el resorte está estirado 20 cm, con una masa de 3 Kg en su extremo, sometido a una fuerza de 15 N, como en la Figura 1:

null

Figura 1

El resorte está sometido a la acción de dos fuerzas: la fuerza F1=15 N, y la fuerza F2 del peso de la masa de 3 Kg, es decir:

null

Por la Ley de Hooke sabemos que el resorte se estira x=20 cm bajo la acción de estas dos fuerzas y según la fórmula siguiente:

null

De donde obtenemos el valor de la constante k:

null

En la segunda etapa del problema el resorte es puesto en movimiento en la posición inicial x=0 y con velocidad inicial vo=-10 m/s. Suponiendo que el desplazamiento es positivo hacia abajo, acudimos a la segunda ley de Newton:

nullDónde:

null

Por lo tanto:

null

Aplicamos transformada de Laplace:

null

Pero sabemos del enunciado que:

null

Sustituyendo obtenemos:

null

Despejamos X(s):

null

Para aplicar la antitransformada consideramos la siguiente tabla:

null

Entonces:

null

Aplicando la antitransformada de Laplace obtenemos x(t):

null

Podemos ver en la ecuación (1) que el desplazamiento del resorte es una oscilación infinita. Esto sucede porque no el sistema no tiene, idealmente, amortiguación. De la ecuación (1) podemos obtener los siguientes datos:

null

Para encontrar la posición en t= 1 s, sustituimos este valor en la ecuación (1):

null

El signo negativo del resultado anterior indica que el resorte se ha movido hacia arriba. Para encontrar la velocidad v(t) en t= 1 s , derivamos la ecuación (1):

null 

El signo negativo del resultado anterior indica que el resorte se mueve hacia arriba. Para encontrar la aceleración a(t) en t= 1 s , derivamos la ecuación (2):

null

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Ejemplo de funciones de carga y corriente de un circuito RLC

Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y quiere determinar la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando L=0.5 H, R=10 Ω, C=0.001 F, E(t)=150 V, q(0)=1 C, i(0)=0 A, Cuáles son las funciones de carga y de corriente del circuito? (1era parte)

Respuesta:

Las funciones de carga y de corriente del circuito están compuestas por la respuesta natural (homogénea) y la respuesta forzada (particular o permanente):

null

Para estudiar la respuesta homogénea, consideramos el circuito RLC de la Figura 1. Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor:

null

Figura 1

Dónde:

null

Al aplicar LVK al circuito de la Figura 1, obtenemos:

nullEn el tiempo t=0 s, la ecuación (1) se puede escribir como:

nullDe donde:

null

Para eliminar la integral de la ecuación (1) derivamos con respecto a la variable t:

null

Ordenamos la ecuación (2) para obtener la forma estándar:

null

Sustituyendo valores en la ecuación (3) obtenemos:

null

Con la ecuación (4) formamos un polinomio D en función de una variable p:

null

El polinomio de la ecuación (5) es denominado ecuación característica. Hallamos las raíces de la ecuación (5):

null

Estas raíces generan soluciones sinusoidales que decrecen exponencialmente de la forma: Para cada par de raíces complejas conjugadas simples del tipo null  aparecerá en la solución un término de la forma:

nullPor tanto:

null

En el estado permanente el capacitor se comporta como un corto, por lo que:

nullPor tanto:

null

Para hallar el valor de las constantes, utilizamos las condiciones iniciales:

null

Donde U(t) es la función escalón unitario. Una vez determinada la expresión para la corriente, debemos considerar el circuito de la Figura 2  para hallar el voltaje Vc en el capacitor:

Circuito RLC.png

Figura 2.

Al aplicar LVK al circuito de la Figura 2, obtenemos:

null

Necesitamos la derivada de la corriente:

null

Despejamos Vc de la ecuación (7):

null

En definitiva:

null

A continuación  las gráficas para ic(t) y Vc(t):

nullGráfica 1

Análisis: En la gráfica 1, el voltaje en el capacitor oscila alrededor de 150 V, luego esa oscilación, que es el comportamiento natural del sistema, desaparece, y sólo queda la respuesta en estado estable, que es cuando el voltaje del capacitor es igual al voltaje de la fuente.

null

Gráfica 2

Análisis: En la gráfica 2, la corriente en el capacitor oscila en su etapa de transición (respuesta natural). Podemos ver que al principio es cero como lo señala la condición inicial. Luego de oscilar se estabiliza en cero, que es cuando el capacitor se ha cargado y actúa como un circuito abierto.

2DA PARTE
  • Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y en un circuito sencillo la resistencia es 20 Ω y la inductancia es de 0.25 H, C=1/300 F. Si E(t)=0 V, q(0)=4 C, i(0)=0, el interruptor se cierra, encontrar:
    1. Las funciones q(t), i(t).
    2. i, q después de 2 segundos

Respuesta: Ejercicio RCL 2da parte

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