Desde el punto de vista matemático el muestreo de una función consiste simplemente en un producto de funciones. El muestreo sigue el mismo principio de la modulación de amplitud, solo que en este caso se denomina Modulación por Amplitud de Pulsos (PAM). El muestreo ideal se consigue cuando se multiplica la función continua x(t) con la función portadora p(t) que se define como:
O como:
A continuación se ilustra el proceso de muestreo en el tiempo:
Es decir:
En consecuencia, utilizando la Propiedad de Muestreo del impulso Delta de Dirac (El Impulso Unitario):
Notar que xp(t) es una señal del tipo x(nt), donde n es un número entero del tipo:
es decir, mediante el muestreo se genera una secuencia x[n] a partir de una señal continua x(t), según la siguiente relación:
En la ecuación (1), el factor T es el período de muestreo (sampling period) y su recíproco fs=1/T es la frecuencia de muestreo (sampling frequency – samples per second). También puede ser expresada la frecuencia como radians per second:
El sistema que implementa la operación de la Figura 4.1 es un Convertidor Ideal de Continuo-Discreto (ideal continuous-to-discret time (C/D) Converter).
En la práctica, el muestreo es llevado a cabo por un convertidor analógico-digital (analog-to-digital (A/D) Converter) que incluye los siguientes sub-procesos: cuantificación de las muestras de salida, linealidad de los pasos de cuantificación, la necesidad de circuitos de muestreo y retención y limitaciones en la frecuencia de muestreo (quantization of the output samples, linearity of the quantization steps, the need for sample-and-hold circuitry, and limitations on the sample rate)
Por lo anterior, puede resultar conveniente representar matemáticamente el proceso de muestreo mediante la Figura 4.2, en la cual resaltan dos estados:
Las etapas consisten en un modulador de tren de impulsos seguido de la conversión del tren de impulsos a una secuencia. Existen diferencias entre xp(t) y x[n]. La primera es una función en tiempo continuo, es decir, tiene valores en todo tiempo (entre muestra y muestra el valor de la función es cero), mientras que la segunda es un función en el dominio del tiempo discreto (entre muestra y muestra el valor de la función no es cero, porque no está definido).
En este capítulo hemos explorado la relación entre las señales xp(t) y x[n], es decir, entre la señal de tiempo continuo y la secuencia de tiempo discreto obtenida mediante un muestreo periódico, o muestreo ideal. El teorema fundamental que nos permite representar una señal de tiempo continuo mediante una secuencia de muestras es el Teorema de Nyquist: para una señal de banda limitada, las muestras periódicas son una representación suficiente, siempre que la tasa de muestreo sea lo suficientemente alta en relación con la frecuencia más alta en la señal de tiempo continuo (for a bandlimited signal, periodic samples are a sufficient representation, as long as the sampling rate is high enough relative to the highest frequency in the continuous-time signal.).
Para entender y aplicar este importante teorema debemos analizar el proceso antes descrito, en el dominio de la frecuencia. A grandes rasgos, desde el punto analítico haremos lo siguiente:
De aquí vemos que el espectro de frecuencias muestreadas de x(t) está dada por la convolución de X(ω) con un tren de impulsos. El espectro de la señal muestreada es una superposición de réplicas desplazadas en frecuencia con respecto al espectro original, escaladas por 1/T. El diagrama de frecuencias se muestra a continuación:
Se presenta ahora el problema de averiguar el valor de ωs o frecuencia de muestreo, para poder recuperar la señal exacta x(t) a partir de xp(t):
Este valor de Ts es llamado Intervalo de Nyquist. Vamos a verlo en detalle en el siguiente capítulo: En construcción…
FUENTE: Discrete Time Signal Processing Oppenheim, Chapter 4.
Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
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