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Lugar Geométrico de las Raíces – Problemas resueltos – Catálogo 16

La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de sistemas de control para el cálculo del Lugar Geométrico de las Raíces. Cada problema tiene un costo de 12.5 euros. Se realiza cálculo analítico y luego se utiliza Matlab para comprobar el resultado. La Guía completa tiene un valor de 21.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal. El autor también ofrece servicio para resolver problemas, ejercicios y laboratorios de forma inmediata.

1. Considerar el sistema de la Figura 1. Obtenga los puntos de cruce con el eje imaginario en el Lugar Geométrico de las Raíces de un sistema cuya función de transferencia G(s), es:

Lugar Geométrico de las Raíces – Problemas resueltos – Catálogo 16

Pago por un (1) ejercicio. Luego de pagar, por favor comunicarse por medio del whatsapp +34633129287 para la entrega del PDF. Considerar la diferencia de horario (España).

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Serie de Fourier – DSF – Problemas resueltos

La guía en PDF ofrece la solución de los problemas enunciados. La guía completa tiene un costo de 21 euros (está en construcción). Un solo ejercicio tiene un costo de 12.5 euros. Puede pagar con Paypal o TC. El autor también se pone a disposición para dar clase online, resolver ejercicios, problemas de manera inmediata.

1. Sea la señal x(t), ¿es periódica? ¿Cuál es su período? Calcular los coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier Exponencial y el espectro X(f). Representarlo gráficamente, en magnitud y fase, indicando claramente el valor de amplitud y la fase a la frecuencia de interés.

Series de Fourier – Problemas resueltos – Catálogo 16

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Ecuaciones diferenciales – Problemas resueltos – Catálogo

La respuesta completa o solución completa de una ecuación diferencial ordinaria (EDO – que involucra derivadas de una función de una sola variable) está conformada por la suma de la respuesta transitoria y la respuesta permanente.

  1. Determinar la respuesta y(t) para la siguiente ecuación diferencial, con entrada x(t)  y condiciones iniciales señaladas:

Ecuaciones diferenciales – Problemas resueltos – Catálogo

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Análisis y diseño de sistemas de control mediante el Lugar Geométrico de las Raíces

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos en lazo cerrado del sistema de la Figura 1:

Figura 1. Sistema en lazo cerrado.

Dónde:

El denominador de la ecuación (1) igualada a cero, se denomina Ecuación Característica. Las raíces de la Ecuación Característica (ecuación 2) son los polos del sistema.

Si el sistema tiene una ganancia variable K en G(s)H(s) (o ganancia de lazo abierto, ecuación 3), la localización de los polos de lazo cerrado depende del valor de dicha ganancia. En consecuencia, para un diseñador encontrar el valor de los polos del sistema para un valor específico de K no tiene mucha utilidad. En este caso, la ecuación característica tiene la siguiente forma:

Donde z1, z2, … zm, son los ceros de G(s)H(s), mientras que los p1, p2, … pm, son los polos de G(s)H(s).

G(s)H(s) se conoce como Función de Transferencia a lazo abierto. Por lo tanto z1, z2, … zm, p1, p2, … pm, son los ceros y los polos del sistema en lazo abierto. W.R. Evans diseñó un método sencillo denominado El Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), que permite localizar las raíces de la ecuación característica para todos los valores de la ganancia K, desde cero hasta infinito. Este método permite además al diseñador, predecir los efectos de variar K en la localización de los polos en lazo cerrado. Se hace evidente, por ejemplo, el intervalo de valores de K para los cuáles el sistema es estable, o la forma como deben moverse los polos y los ceros de lazo abierto para que el sistema cumpla con especificaciones como factor de amortiguamiento, frecuencia natural, máximo sobrepaso o tiempo de establecimiento.

Compensación.

Al analizar compensadores, se suelen utilizar términos como red de adelanto, red de atraso, red de adelanto-atraso. Si se aplica una entrada senoidal ei a la entrada de una red, y la salida en estado estable eo tiene un adelanto de fase, el sistema se denomina red de adelanto. El mismo principio aplica para los otros casos. Un compensador que tenga una característica similar a estas redes se denomina compensador de adelanto, compensador de atraso, compensador de adelanto-atraso.

Los problemas de diseño son aquellos que implican la mejora del desempeño de un sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema consiste en diseñar un filtro cuya función o actuación tiendan a compensar aquellas características inconvenientes o inalterables de la planta. Este proceso pasa por seleccionar apropiadamente los polos y ceros de un compensador en serie con la planta, para alterar el lugar geométrico de las raíces (LGR) con el propósito de cumplir las especificaciones de diseño.

En la práctica, el desempeño deseado no se puede obtener con sólo ajustar la ganancia en el LGR.  Por ello, con la incorporación del compensador se construye otro LGR que permita incluir un par de polos dominantes en el sistema a lazo cerrado, con el fin de lograr el comportamiento deseado.

Compensación de adelanto.

El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto, conlleva la ejecución de los siguientes pasos:

  1. Determinar la ubicación deseada para los polos dominantes a lazo cerrado, a partir de las especificaciones de diseño;
  2. Por medio del LGR, comprobar si los polos dominantes del paso 1 se pueden obtener con un simple ajuste de ganancia. De lo contario, calcular la deficiencia de ángulo, dato que se convierte en el aporte necesario del compensador de adelanto para que el nuevo LGR pase por los polos dominantes deseados;
  3. Suponer que el compensador de adelanto tiene la siguiente función de transferencia (a y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo, mientras que Kc se determina a partir de la ganancia en lazo abierto K):

4. Suponer Si no se especifican las constantes de error estático, determinar la localización del polo y cero del compensador, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo necesario.

Condiciones de ángulo y magnitud del LGR.

Son las condiciones de ángulo y magnitud del LGR las que nos permite cumplir con el procedimiento de diseño del compensador de adelanto descrito anteriormente. A continuación desarrollamos estas condiciones a partir de la ecuación (2):

Condición de ángulo del LGR:

Condición de magnitud del LGR:

Ahora, si G(s)H(s) tiene la forma de la ecuación (3):

Los ángulos de los polos y los ceros se miden en sentido contrario a las agujas del reloj, haciendo uso de un punto de prueba “s”, como se muestra en la Figura 2:

Figura 2. Diagrama sobre la medición de ángulos de los polos y ceros en lazo abierto con respecto al punto de prueba s.

Utilizando la ecuación (4) se cumple que:

Si, por ejemplo, nos interesa conocer el valor de algún ángulo en particular (cálculo muy utilizado en diseño de compensadores), utilizando el caso más sencillo, k=0, y 180° positivos, podemos utilizar la expresión anterior:

Si queremos además conocer el valor de la ganancia K, utilizamos la ecuación (5):

Lugares de las raíces con factor de amortiguamiento ζ y frecuencia natural ωn constantes.

En el plano complejo, la razón de amortiguamiento ζ de un par de polos complejos conjugados se puede expresar en función del ángulo Φ, el cual se mide desde el eje real negativo, como se muestra en la Figura 3:

Figura 3. Polos complejos y líneas de amortiguamiento ζ constante.

Se cumple que la razón de amortiguamiento ζ:

Por ejemplo, una razón de amortiguamiento ζ =0.5 requiere que los polos complejos conjugados se encuentren sobre las líneas que pasen por el origen con un ángulo de +-60° con el eje negativo. Otra forma de decirlo es que el factor de amortiguamiento determina la localización de los polos. Mientras, la distancia del polo al origen es determinada por la frecuencia natural ωn.  

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. 2.1 Respuesta transitoria
  5. Ingeniería de Control Moderna. Ogata, 5ta edición.

Revisión literaria hecha por:

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