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Diagrama de polos y ceros de la Transformada Z

Sea x[n] una señal analógica y sea X(z)  su transformada z.

Un cero de X(z) es todo valor de z para el que la expresión de X(z) es igual a 0.

Un polo de X(z) es todo valor de z para el que la expresión de X(z) es igual a infinito.

El diagrama de polos y ceros de X(z) es una representación gráfica sobre el plano z de los polos y ceros de X(z), en la cual:

  • La ubicación de un cero en plano z se simboliza mediante un círculo (O).
  • La coincidencia de dos o más ceros en la misma ubicación (ci= cj,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido al círculo (O2, O3,…, ON).
  • La ubicación de un polo en el plano z se simboliza mediante una cruz (×).
  • La coincidencia de dos o más polos en la misma ubicación (pi= pj,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido a la cruz (×2, ×3,…, ×N).

Ejemplo:

  1. Calcular ceros y polos y representar gráficamente su diagrama de polos y ceros. Considere la señal x[n]:

A partir de la ecuación:

Podemos señalar que la transformada Z de x[n] es:

Para la convergencia de X(Z) se requiere que:

En consecuencia, la región de convergencia es el rango de valores de z ara el cual:

Entonces, añadiendo la información relativa a la ROC, la transformada Z de x[n] es:

Entonces hablamos del siguiente par transformado:

Al tratarse de una señal racional, el cálculo de los polo y ceros de X(Z) pasa por evaluar los valores de z que o bien anulan o bien hacen tender a infinito al numerador, por un lado, y al denominador, por otro. Así pues:

  • Un cero de un X(Z) racional se corresponde o bien con un cero del numerador o bien con un valor de z para el que el denominador tienda a infinito.
  • Un polo de un X(Z) racional se corresponde o bien con un cero del denominador o bien con un valor de z para el que el numerador tienda a infinito.

En el caso de la X(Z) del ejemplo, la función presenta un cero en el origen (z=0), mientras presenta un polo en z=a. Para la representación gráfica se asume arbitrariamente que a es una constante real positiva, de modo tal que:

Entonces el diagrama de X(Z) es:

Es importante tener presente que la ROC de una transformada z y los ceros y los polos de la misma están íntimamente relacionadas entre sí. Por ello, es de gran utilidad la representación conjunta del diagrama de polos y ceros y la ROC de X(Z):

ROC de la transformada z de una señal infinita orientada a la derecha que presenta un
cero en z = 0 y un polo en z = a

Este ejemplo ilustra bien algunos conceptos a tomar en cuenta siempre que se calcula una Transformada z:

  • Que un cero sea un punto en que la transformada sea igual a cero no quiere decir que los ceros de una transformada pertenezcan a su ROC
  • Posiblemente habrá uno o más polos situados en las circunferencias fronteras que delimitan la ROC. En todo caso, es seguro que nunca habrá  polos en el interior de la ROC.
  • Una vez calculada la transformada, conviene siempre comprobar si los valores particulares z=0 y z→∞, pertenecen o no a la ROC.

Teoría completa:

Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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