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Obtener la función de transferencia de un sistema a partir de su curva de respuesta real

Si ya se dispone de una gráfica de la señal de salida del sistema ante una entrada escalón, es posible obtener la representación analítica del sistema en forma de función de transferencia G(s). Veremos a continuación varios métodos según sea el caso.

Sistema de primer orden

Obtención de G(s) a partir de la curva de la señal de salida en respuesta a un escalón.

Supongamos que la curva de respuesta real de un sistema al escalón unitario es la siguiente:

Figura 1. Respuesta real al escalón unitario de un sistema de primer orden.

En este caso, disponemos de dos métodos:

  1. Método de la constante de tiempo τ: Debemos aquí considerar que la curva alcanza el 63,212% del valor final cuando ha transcurrido un tiempo t=τ. En la gráfica observamos que el valor final de la curva y es 1. En otras palabras, y(∞)=1. Por lo tanto, debemos identificar sobre la gráfica el momento en que la curva alcanza el valor 0.63212. Es decir, el tiempo t para que y(t)=0.63212. En ese instante se cumple que t=τ. Se procede entonces a trazar una recta paralela al eje de las abscisas (eje t en este caso) que corresponda al 63,212% del valor final de y(t). En ese punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ.
  • Método de la pendiente máxima: Se traza una recta con pendiente máxima desde el origen sobre la curva de respuesta, hasta que intercepta la recta de prolongación que coincide con el valor final (y(∞)=1 en este caso). En este punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ. Es de utilidad Notar que la recta paralela al eje de las ordenadas corta la curva cuando su valor es del 63,212% del valor final.

De acuerdo con la gráfica, el valor de τ=2s  y la ganancia estática k=1(y(∞)=1), sustituimos ambos valores en la ecuación prototipo para un sistema de primer orden y obtenemos la función de transferencia G(s) del sistema (de la planta):

Comprobamos este resultado con el simulador de Matlab y vemos que el resultado se corresponde con el enunciado:

G=tf([0.5],[1 0.5]);
step(G)

Figura 2. Simulación en Matlab de al respuesta al escalón unitario de G(s)=0.5/(s+0.5)
Sistema de grado superior

Una forma de determinar la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, a partir de la gráfica de la curva real de su respuesta al escalón, es considerar que el sistema de grado n está formado por n subsistemas de primer grado interconectados en serie. Es decir, la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, se puede aproximar mediante la ecuación:

En la gráfica siguiente podemos observar respuesta críticamente amortiguadas de sistemas de grado 2 hasta grado 7:

Respuestas normalizadas críticamente amortiguadas para entradas escalón unitario de sistemas de grado 2 a grado 7.

En la gráfica anterior se observa la semejanza entre la respuesta del sistema de segundo grado con respecto a la respuesta de sistemas de grados superiores, salvo que conforme se incrementa el grado del sistema, la respuesta tiende a retrasarse cada vez más (tiempo de atraso) en su despegue para empezar a alcanzar su valor final (tiempo de crecimiento exponencial).

Definimos los parámetros:

Tiempo de atraso Ta y tiempo de crecimiento exponencial Tce para un sistema críticamente amortiguado de grado n.

En la gráfica anterior, una vez medidos los valores de Ta y Tce, nos interesa saber el valor del cociente Tce/Ta. Gracias a la siguiente tabla podemos relacionar el valor del cociente Tce/Ta con el orden del sistema y además hallar el valor de la constante de tiempo:

Aproximación de la constante de tiempo de un sistema críticamente amortiguado de grado n.

Al aplicar el método, lo conveniente es simular el resultado, para luego ajustar los valores obtenidos para la ganancia y la constante de tiempo (en el caso de un sistema de primer grado) hasta alcanzar un resultado óptimo.

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Se hacen trabajos, se resuelven ejercicios!!

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Método Ziegler-Nichols – Ajuste experimental de un PID

En primer lugar utilizamos como referencia el esquema básico de un sistema de control con un Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID):

Esquema de Controlador PID

Para asignar valores a los parámetros del controlador PID sin conocer la función de transferencia de la planta que se desea controlar, se han propuesto una serie de tablas que utilizan varios parámetros que se obtienen de forma experimental. El método más utilizado es el que propusieron John Ziegler y Nataniel Nichols para el control de servomecanismos hidráulicos en baterías antiaéreas empleadas en la segunda guerra mundial.

El ajuste de Ziegler-Nichols propone unos parámetros para el PID de forma que el sistema controlado posea un buen rechazo a las perturbaciones que se puedan introducir en el sistema. En muchos procesos industriales un buen rechazo a las perturbaciones es mucho más interesante que un buen seguimiento a la referencia.

Existen dos formas de ajuste. Una emplea los parámetros a y L de la respuesta de la planta ante una entrada escalón (Basado en la respuesta transitoria experimental en lazo abierto de la planta a una entrada escalón). Otra forma emplea los parámetros de ganancia crítica KCR y período de oscilación crítico TCR (Basado en la respuesta oscilatoria experimental en lazo cerrado de la planta). Los valores de los parámetros del PID se obtienen con la siguiente tabla:

Tabla 1. Cuadro de ajuste del PID por el método Z-N
Método basado en los parámetros a y L:  

En la figura siguiente se muestra como obtener los parámetros a y L de la respuesta de la planta ante una entrada escalón unidad:

Respuesta de la planta a un escalón unitario.

Este método se puede utilizar Si la planta:

  • No posee integradores;
  • Polos dominantes complejos conjugados;
  • La respuesta no tiene oscilaciones;
  • Posee un retardo de tal forma que se forma una “s”.

Se obtiene de forma experimental la respuesta de la planta a una entrada escalón, y si cumple las condiciones anteriores, pueden obtenerse los parámetros del controlador PID mediante el método mencionado.

Figura 1. Curva de reacción y recta tangente. Parámetros L y T.

Existe variedad de notación. Alternativamente, para aplicar el criterio Ziegler-Nichols a la curva de reacción de la planta ante el escalón unitario, podemos considerar la Tabla 2, que utiliza los parámetros Ta (tiempo de atraso) y m (pendiente máxima) para la modulación de los controladores P, PI y PID:

Tabla 2. Cuadro de ajuste del PID por el método Z-N
Figura 2. Curva de reacción de la planta ante entrada escalón unitario. Parámetros Ta y m.

En el siguiente ejemplo, lograremos los siguientes objetivos:

  1. De acuerdo con la siguiente gráfica:
Figura 3. Curva de reacción de la planta ante entrada escalón unitario.
  • Obtener la Función de Transferencia G(s) de la planta a partir de la curva real de respuesta al escalón por método de aproximación analítica.
  • Sintonizar los controladores P, PI, PID, mediante los dos métodos de Ziegler-Nichols:
    • Curva de reacción (respuesta de planta ante una entrada escalón);
    • Utilizando la función de transferencia de la planta;
    • Ganancia crítica (o ganancia máxima).
  • Simulación en Matlab de cada métodos. Análisis de la respuesta del sistema al aplicar los controladores diseñados.
  • El costo del ejercicio incluye:
    • Solución paso a paso en PDF;
    • Una hora de clase online para explicar y asesorar en cuanto a la teoría y solución de este u otros ejercicios parecidos.

En construcción…

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise

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Diagrama de polos y ceros de la Transformada Z

Sea x[n] una señal analógica y sea X(z)  su transformada z.

Un cero de X(z) es todo valor de z para el que la expresión de X(z) es igual a 0.

Un polo de X(z) es todo valor de z para el que la expresión de X(z) es igual a infinito.

El diagrama de polos y ceros de X(z) es una representación gráfica sobre el plano z de los polos y ceros de X(z), en la cual:

  • La ubicación de un cero en plano z se simboliza mediante un círculo (O).
  • La coincidencia de dos o más ceros en la misma ubicación (ci= cj,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido al círculo (O2, O3,…, ON).
  • La ubicación de un polo en el plano z se simboliza mediante una cruz (×).
  • La coincidencia de dos o más polos en la misma ubicación (pi= pj,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido a la cruz (×2, ×3,…, ×N).

Ejemplo:

  1. Calcular ceros y polos y representar gráficamente su diagrama de polos y ceros. Considere la señal x[n]:

A partir de la ecuación:

Podemos señalar que la transformada Z de x[n] es:

Para la convergencia de X(Z) se requiere que:

En consecuencia, la región de convergencia es el rango de valores de z ara el cual:

Entonces, añadiendo la información relativa a la ROC, la transformada Z de x[n] es:

Entonces hablamos del siguiente par transformado:

Al tratarse de una señal racional, el cálculo de los polo y ceros de X(Z) pasa por evaluar los valores de z que o bien anulan o bien hacen tender a infinito al numerador, por un lado, y al denominador, por otro. Así pues:

  • Un cero de un X(Z) racional se corresponde o bien con un cero del numerador o bien con un valor de z para el que el denominador tienda a infinito.
  • Un polo de un X(Z) racional se corresponde o bien con un cero del denominador o bien con un valor de z para el que el numerador tienda a infinito.

En el caso de la X(Z) del ejemplo, la función presenta un cero en el origen (z=0), mientras presenta un polo en z=a. Para la representación gráfica se asume arbitrariamente que a es una constante real positiva, de modo tal que:

Entonces el diagrama de X(Z) es:

Es importante tener presente que la ROC de una transformada z y los ceros y los polos de la misma están íntimamente relacionadas entre sí. Por ello, es de gran utilidad la representación conjunta del diagrama de polos y ceros y la ROC de X(Z):

ROC de la transformada z de una señal infinita orientada a la derecha que presenta un
cero en z = 0 y un polo en z = a

Este ejemplo ilustra bien algunos conceptos a tomar en cuenta siempre que se calcula una Transformada z:

  • Que un cero sea un punto en que la transformada sea igual a cero no quiere decir que los ceros de una transformada pertenezcan a su ROC
  • Posiblemente habrá uno o más polos situados en las circunferencias fronteras que delimitan la ROC. En todo caso, es seguro que nunca habrá  polos en el interior de la ROC.
  • Una vez calculada la transformada, conviene siempre comprobar si los valores particulares z=0 y z→∞, pertenecen o no a la ROC.

Teoría completa:

Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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