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Sistema de primer orden a lazo abierto y a lazo cerrado

Un sistema de control a lazo abierto para un sistema de primer orden, nos permite aumentar o disminuir la ganancia estática k del sistema, pero no nos permite cambiar su constante de tiempo T, lo que representa una gran limitación para el diseño de un sistema que cumpla con tareas específicas donde, quizás, sea necesario una respuesta más rápida (para un repaso de los parámetros k y T ver Sistema de primer orden). En cambio, con un sistema de control a lazo cerrado para un sistema de primer orden, podemos variar ambos parámetros. Vamos a verlo mediante una simulación de la respuesta del sistema a la entrada escalón unitario.

Supongamos ambos casos, representados por los siguientes Diagramas de Bloques para un sistema de control constituidos por un controlador y una planta. La función de transferencia (FT) de la planta de primer orden es Gp(s), mientras que la FT del controlador proporcional ajustable es Gc(s):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-38.png

(Para un repaso de Diagramas de Bloques ver: Diagrama de Bloques)

Veamos que pasa considerando los siguientes valores:

Sistema de primer orden a lazo abierto

Para el sistema a lazo abierto se cumple que:

Atención: No confundir la K del controlador con la k (ganancia estática) del sistema (ver Sistema de primer orden).

El siguiente script en Matlab muestra como varía la respuesta (salida) del sistema en lazo abierto a la entrada escalón unitario a medida que la ganancia del controlador K adquiere los siguientes valores:

G=tf([2.9276],[1 0.2336]);
K=[1 2 3 4];
G1=K(1)*G; G2=K(2)*G;
G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;
step(G1,G2,G3,G4)

legend(‘K=1′,’K=2′,’K=3′,’K=4’)

Gráfica 1. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo abierto, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

En la gráfica 1 podemos observar como varía la salida del sistema a medida que cambia la ganancia K del controlador. Podemos ver que aumenta la ganancia estática k del sistema de primer orden a medida que aumenta la K del controlador. Sin embargo, en cada caso, la constante de tiempo T se mantiene constante. De acuerdo con Sistema de primer orden, el valor de la constante de tiempo T es igual a:

En la gráfica 2 podemos comprobar que la constante T, el tiempo en que cada sistema alcanza el 63,2% de su valor final, se mantiene constante para los 4 valores de K considerados:

Gráfica 2. El valor de la constante de tiempo se mantiene constante para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

La gráfica 3 nos permite ver que la ganancia estática k de cada sistema a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional es:

Gráfica 3. La ganancia estática para un sistema de primer orden a lazo abierto a medida que se varía la ganancia K del controlador proporcional.

La mayoría de los sistemas sencillos son de cero, primer o segundo orden. Pero luego dichos sistemas sencillos interactúan entre ellos, generando sistemas de orden superior (de tercer orden en adelante). Un ejemplo es un solenoide, considerado como un sistema híbrido (electromecánico), representado mediante el siguiente diagrama de bloques, donde se muestra la conexión en serie de tres sistemas de primer grado (parte eléctrica), cero grado (transductor) y segundo grado (parte mecánica), respectivamente. Es un buen ejemplo también de dónde en la práctica, podemos encontrar un sistema de primer orden a lazo abierto: Definición de Sistema Electromecánico

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-36.png
Sistema de primer orden a lazo cerrado

En construcción…

G=tf([2.9276],[1 0.2336]); K=[1 2 3 4]; G1=K(1)*G; G2=K(2)*G; G3=K(3)*G; G4=K(4)*G;

sys1=feedback(G1,1);
sys2=feedback(G2,1);
sys3=feedback(G3,1);
sys4=feedback(G4,1);
step(sys1,sys2,sys3,sys4)
legend(‘K1=1′,’K2=2′,’K3=3′,’K4=4’)

Gráfica 4. Respuesta en el tiempo del sistema de primer orden a lazo cerrado, a la entrada escalón unitario para diferentes valores de K del controlador proporcional.

La gráfica 4 muestra como el sistema es más rápido a medida que la ganancia K del controlador aumenta. Es decir, la constante de tiempo T del sistema de primer orden en lazo cerrado, disminuye a medida que la ganancia K del controlador aumenta:

Los resultados anteriores muestran que para el sistema a lazo cerrado, podemos utilizar la ganancia K del controlador proporcional para ajustar el sistema de tal manera que responda a una velocidad determinada. Observar que el polo del sistema se va desplazando hacia la izquierda del eje real a medida que aumenta K.

sys=feedback(G1,1);
rlocus(sys)

Gráfica 5. El Lugar de las raíces para un sistema de primer orden a lazo cerrado. El polo del sistema se desplaza hacia la izquierda del eje real a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

La gráfica 6 muestra la constante T de cada sistema, el tiempo en que cada sistema alcanza el 63,2% de su valor final:

Gráfica 6. Para un sistema de primer orden a lazo cerrado el valor de la constante de tiempo disminuye a medida que aumenta la ganancia K del controlador proporcional.

Fuentes:

  • Introducción a los sistemas de control con Matlab – Ricardo Gaviño
  • Control Systems Engineering, Nise
  • Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  • Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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