La Respuesta en Frecuencia de un sistema LTI discreto

La Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT – Discrete-Time Fourier Transform) de la respuesta al impulso de un sistema (respuesta impulsiva) se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de Transferencia) de un sistema LTI.

Anterioirmente habíamos manifestado queLa Transformada de Fourier es la representación más útil para un sistema LTI (La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto – DTFT). Esto es debido a la siguiente razón:

RESPUESTA A LA EXPONENCIAL COMPLEJA ejωon

Sea e^jωon  la entrada a un sistema LTI con respuesta impulsiva h_[n]:

Entonces:

Definición:

RESPUESTA EN FRECUENCIA: La Transformada de Fourier de tiempo discreto de La Respuesta al Impulso se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de transferencia) de un sistema LTI y se denota por:

En consecuencia, si x_[n] es la entrada a un sistema LTI:

El sistema puede ser representado por:

Lo que es equivalente a escribir:

y la salida y_[n] del sistema es:

Por tanto, la secuencia de salida es la secuencia de entrada modificada por la respuesta del sistema a la frecuencia ω₀. Esto justifica la definición de H_[e^jω] como la respuesta en frecuencia porque es lo que se multiplica el exponencial complejo e^jωon para obtener la salida y_[n]. Este es un resultado poderoso que puede extenderse a una combinación lineal de exponenciales complejas utilizando la propiedad de linealidad de los sistemas LTI:

Respuesta a secuencias sinusoidales

Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x_[n] being an input to an LTI system h_[n]:

La ecuación (2) también es un resultado poderoso debido a la forma en que facilita una determinación más rápida de la salida a cualquier señal de entrada capaz de ser representada por una combinación de exponenciales complejas, como secuencias sinusoidales. Tomemos el caso siguiente en que la entrada x_[n] un sistema LTI con h_[n] es de la forma:

You already know how to use Euler to represent x_[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y_[n]:

Ya sabemos como utilizar Euler para representar la x_[n] de este ejercicio, como una combinación de exponenciales complejos. Entonces, directamente podemos utilizar el poder de las ecuaciones (2) y (3) para determinar rápidamente la salida y_[n] del sistema:

En general, la respuesta en frecuencia es una función compleja de ω. Esto significa que tiene una magnitud y una fase. En otras palabras, se puede representar como un fasor:

En consecuencia:

Ejemplo 1

Determine la salida y_[n] de un sistema LTI descrito por su Respuesta al Impulso h_[n], cuando la entrada es x_[n]:

Graficar la amplitud y la fase de la Respuesta en Frecuencia H[e^jω].

Solución:

Utilizando la ecuación (1) obtenemos la Respuesta en frecuencia H[e^jω] del sistema:

Utilizando ala ecuación 3.1, podemos obtener la amplitud y la fase de H[e^jω]:

En consecuencia:

Para graficar ampitud y fase de H[e^jω] en Matlab, podemos utilizar el siguiente script:

w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,magH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘|H[e^jω ]|’);
title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);

w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,angH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘<H[e^jω’);
title (‘Angle of H[e^jω ]’);

Respuesta a entradas arbitrarias

Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x_[n] and its DTFT X[e^jω]. Take any system described by its Transfer Function H[e^jω], then the response y_[n]  of this system to the input x_[n]  can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[e^jω], where Y[e^jω]  is:

Finalmente, la Ecuación (2) se puede aplicar a cualquier secuencia arbitraria absolutamente sumable que se presente en la entrada del sistema. Suponga una secuencia arbitraria x_[n] y su DTFT X[e^jω]. Tome cualquier sistema, descrito por su Respuesta en Frecuencia H[e^jω], entonces la salida y_[n] de este sistema a la entrada x_[n] se puede obtener aplicando la IDTFT (transformada inversa de Fourier en tiempo discreto) a Y[e^jω], donde Y[e^jω] es:

Por lo tanto, cualquier sistema LTI puede ser representado en el dominio de la frecuencia, por el siguiente diagrama:

Las consecuencias de la ecuación (5) son monumentales en Ingeniería !!! A partir de allí, podemos construir la Transformada de Laplace (Laplace Transform) en el tiempo continuo, así como la Transformada Z (Z-Transform) en el tiempo discreto, lo cual es nuestro siguiente tema.

La Transformada Z es una poderosa herramienta que nos permite evitar el uso de integrales, operación obligada para determinar la IDTFT de Y[e^jω]. Es decir, podremos obtener y_[n] de manera algebraica más sencilla.

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Fuentes:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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• The Discrete-Time Fourier Transform (Versión en Español)

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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