The Frequency Response of a discrete LTI system

The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system.

We early stated that the Fourier Transform representation is the most useful signal representation for LTI systems (The Discrete-Time Fourier Transform). That is true due to the following reason:

RESPONSE TO A COMPLEX EXPONENTIAL ejωon

Let e^jωon be the input to an LTI system represented by the impulse response h_[n]:

Then:

Definition:

FREQUENCY RESPONSE: The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system and is denoted by:

In consequence, if x_[n] is the input to an LTI system:

The system can be represented by:

Note. This is equivalent to write:

and the output y_[n] is as follows:

Hence, the output sequence is the input sequence modified by the response of the system at frequency ω₀. This justifies the definition of H_[e^jω] as the frequency response because it is what the complex exponential e^jωon is multiplied by to obtain the output y_[n]. This is a powerful result that can be extended to a linear combination of complex exponentials using the linearity of LTI systems:

Response to sinusoidal sequences

Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x_[n] being an input to an LTI system h_[n]:

You already know how to use Euler to represent x_[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y_[n]:

In general, the frequency response  is a complex function of ω. This means that it has a magnitude and a phase. In other words, can be represented as a fasor:

In consequence:

Example 1

Determine the output y_[n] of a LTI system described by its Impulse Response h_[n], when the input is x_[n]:

Plot amplitude and phase of the Frequency Response H[e^jω].

Solution:

Using equation (1) we obtain the Frequency Response H[e^jω] of the system:

To use equation 3.1, we can obtain amplitude and phase of H[e^jω]:

In consequence:

Plotting amplitude and phase of H[e^jω] in Matlab, we use the following script:

w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,magH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘|H[e^jω ]|’);
title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);

w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,angH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘<H[e^jω’);
title (‘Angle of H[e^jω ]’);

Response to Arbitrary Sequences

Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x_[n] and its DTFT X[e^jω]. Take any system described by its Transfer Function H[e^jω], then the response y_[n]  of this system to the input x_[n]  can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[e^jω], where Y[e^jω]  is:

Therefore, any LTI system can be represented in the frequency domain by the following diagram:

The consequences of equation (5) is Monumental in Engineering !!! And from there, we get to Laplace Transform in continuous time and Z-Transform in discrete time.

The Z-Transform is a powerful tool that will allow us to avoid integral operations which is needed to determine the IDTFT of Y[e^jω].  That is, we can obtain y_[n] in a simpler algebraic way.

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De la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier

A menudo se argumenta que la Transformada de Laplace es una herramienta excesivamente teórica y poco intuitiva, ya que implica una integración en el plano complejo y convierte una señal de variable real (el tiempo continuo) en una transformada de variable compleja (la variable s). Es decir, para representar la misma información es necesario utilizar dos variables en el dominio de Laplace, la parte real de s y la parte imaginaria de s, en lugar de solo una, tal y como se hace en el dominio temporal. A primera vista, no hay una razón evidente que justifique la necesidad de utilizar dos variables y ello hace que surjan alternativas para comprimir la redundancia que contiene la Transformada de Laplace y volverla a reducir a una sola dimensión. Una de estas alternativas se basa en la función exponencial e^st, que, como ya sabemos, presenta la propiedad de ser una autofunción de los sistemas LIT analógicos. Es decir, al excitar la entrada de un sistema analógico LIT de respuesta impulsional ℎ(𝑡) con la señal 𝑥(𝑡)= e^st, el sistema presenta una señal 𝑦(𝑡) a su salida dada por:

Dónde H(s)  es la función de transferencia del sistema. El resultado anterior muestra cómo la señal exponencial que hay en la entrada vuelve a aparecer en la salida acompañada de un factor de escala, dado por la función de transferencia, el cual resume el comportamiento del sistema en función de la variable compleja s.

De entre todas las posibles señales exponenciales, hay una de ellas que es de especial interés para nosotros y que no es otra que la señal exponencial compleja: esto es, e ^jωt, en donde se ha llevado a cambio el cambio de variable s=𝒋ω . Este cambio es interesante porque la señal exponencial compleja tiene un significado físico más tangible, al poder ser interpretada como un fasor en el plano complejo rotando a una velocidad angular constante ω, cuya proyección en los ejes real e imaginario da lugar a las funciones cos(ω𝒕) y sen(ω𝒕), respectivamente. Estas señales co/sinusoidales son fácilmente generables en un laboratorio y corresponden, haciendo un símil acústico, a tonos de frecuencia pura.

Esto hace que, de todo el plano complejo definido por la variable de Laplace s, en la práctica nos interese restringirnos al caso s=𝒋ω. Esta particularización no solo hace más intuitivo el análisis en el dominio transformado a partir del uso de exponenciales complejas, sino que, además, reduce la Transformada de Laplace a una nueva transformada de una sola variable, ω.

Source:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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• The Discrete-Time Fourier Transform (Versión en Español)
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Literature review by:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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