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The Z-Transform

The z-transform is an extension of the DTFT (The Discrete-Time Fourier Transform) to overcome two shortcomings of the DTFT approach: First, there are many important signals for which the DTFT does not exist. Take the case of the step u[n]. Second, the transient response of a system due to initial conditions or due to changing inputs cannot be computed using the DTFT approach.

In consequence, the bilateral version of the z-transform provides another domain in which a larger class of sequences and systems can be analyzed. Meanwhile, the unilateral version of the z-transform can be used to obtain the response of systems with initial conditions or changing inputs.

THE BILATERAL Z-TRANSFORM

The z-transform of an arbitrary sequence x[n] is given by:

where z is a complex variable called the complex frequency:

The set  of values for which X[z] exists is called the region of convergence (ROC) and is given by:

For some non-negative numbers Rx- and Rx+. Since the ROC defined in terms of the module of z, the shape of the ROC is an open ring, as show in Figure 1:

Another way of defining the ROC is:

When:

Hence, the DTFT X[e] may be viewed as a special case of the z-transform X[z].

The inverse z-transform of a complex function X[z] is given by:

where C is a counterclockwise contour encircling the origin and lying in the ROC.

Example 1.

Let x1[n] a positive-time sequence:

Then:

Note: in example 1:

That is, has a zero at the origin (z=0) and a pole in z=a.

Summarizing:

Example 1 is s special case of a right-side sequences, defined as a sequence x[n]  that is zero for some n<n0. The ROC of a right-side sequence is always outside of a circle of radius Rx-. In the case of example 1, Rx-=a. If n0 0, then the right-side sequence is also called a casual sequence. Note that if a=1, example 1 is the z-transform of the unit step. That is to say:

Example 2

Let x2[n] a negative-time sequence:

Then:

Example 2 is s special case of a left-side sequences, defined as a sequence x[n]  that is zero for some n>n0. The ROC of a left-side sequence is always inside of a circle of radius Rx+. In the case of example 2, Rx+=b. If n0<=0, then the right-side sequence is also called an anticasual sequence.

Example 3

Let x3[n] a two-side sequence:

Then:

Example 3 is s special case of a two-side sequences. The ROC of a two-side sequence is always an open ring Rx+ <IzI<Rx+ if it exist.

Another considerations about ROC are as follows:

• The sequences that are zero for n<n1 and n>n2 are called finite-duration sequences. The ROC of such sequences is the entire z-plane. If n1<0, then z=+∞ is not in the ROC. If n2>0, then z=0 is not in the ROC.
• The ROC cannot include a pole since X(z) converges uniformly in there.
• There is at least one pole on the boundary of a ROC of a rational X(z).
• The ROC is one contiguous region; that is, the ROC does not come in pieces.

In digital signal processing, signals are assumed to be casual since almost every digital data is acquired in real time. Therefore, the only ROC of interest is those of the same type of example 1.

Source:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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La Respuesta en Frecuencia de un sistema LTI discreto

La Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT – Discrete-Time Fourier Transform) de la respuesta al impulso de un sistema (respuesta impulsiva) se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de Transferencia) de un sistema LTI.

Anterioirmente habíamos manifestado queLa Transformada de Fourier es la representación más útil para un sistema LTI (La Transformada de Fourier de Tiempo DiscretoDTFT). Esto es debido a la siguiente razón:

RESPUESTA A LA EXPONENCIAL COMPLEJA ejωon

Sea ejωon  la entrada a un sistema LTI con respuesta impulsiva h[n]:

Entonces:

Definición:

RESPUESTA EN FRECUENCIA: La Transformada de Fourier de tiempo discreto de La Respuesta al Impulso se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de transferencia) de un sistema LTI y se denota por:

En consecuencia, si x[n] es la entrada a un sistema LTI:

El sistema puede ser representado por:

Lo que es equivalente a escribir:

y la salida y[n] del sistema es:

Por tanto, la secuencia de salida es la secuencia de entrada modificada por la respuesta del sistema a la frecuencia ω0. Esto justifica la definición de H[e] como la respuesta en frecuencia porque es lo que se multiplica el exponencial complejo ejωon para obtener la salida y[n]. Este es un resultado poderoso que puede extenderse a una combinación lineal de exponenciales complejas utilizando la propiedad de linealidad de los sistemas LTI:

Respuesta a secuencias sinusoidales

Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x[n] being an input to an LTI system h[n]:

La ecuación (2) también es un resultado poderoso debido a la forma en que facilita una determinación más rápida de la salida a cualquier señal de entrada capaz de ser representada por una combinación de exponenciales complejas, como secuencias sinusoidales. Tomemos el caso siguiente en que la entrada x[n] un sistema LTI con h[n] es de la forma:

You already know how to use Euler to represent x[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y[n]:

Ya sabemos como utilizar Euler para representar la x[n] de este ejercicio, como una combinación de exponenciales complejos. Entonces, directamente podemos utilizar el poder de las ecuaciones (2) y (3) para determinar rápidamente la salida y[n] del sistema:

En general, la respuesta en frecuencia es una función compleja de ω. Esto significa que tiene una magnitud y una fase. En otras palabras, se puede representar como un fasor:

En consecuencia:

Ejemplo 1

Determine la salida y[n] de un sistema LTI descrito por su Respuesta al Impulso h[n], cuando la entrada es x[n]:

Graficar la amplitud y la fase de la Respuesta en Frecuencia H[e].

Solución:

Utilizando la ecuación (1) obtenemos la Respuesta en frecuencia H[e] del sistema:

Utilizando ala ecuación 3.1, podemos obtener la amplitud y la fase de H[e]:

En consecuencia:

Para graficar ampitud y fase de H[e] en Matlab, podemos utilizar el siguiente script:

w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,magH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘|H[e^jω ]|’);
title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);

w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,angH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘<H[e^jω’);
title (‘Angle of H[e^jω ]’);

Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x[n] and its DTFT X[e]. Take any system described by its Transfer Function H[e], then the response y[n]  of this system to the input x[n]  can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[e], where Y[e]  is:

Finalmente, la Ecuación (2) se puede aplicar a cualquier secuencia arbitraria absolutamente sumable que se presente en la entrada del sistema. Suponga una secuencia arbitraria x[n] y su DTFT X[e]. Tome cualquier sistema, descrito por su Respuesta en Frecuencia H[e], entonces la salida y[n] de este sistema a la entrada x[n] se puede obtener aplicando la IDTFT (transformada inversa de Fourier en tiempo discreto) a Y[e], donde Y[e] es:

Por lo tanto, cualquier sistema LTI puede ser representado en el dominio de la frecuencia, por el siguiente diagrama:

Las consecuencias de la ecuación (5) son monumentales en Ingeniería !!! A partir de allí, podemos construir la Transformada de Laplace (Laplace Transform) en el tiempo continuo, así como la Transformada Z (Z-Transform) en el tiempo discreto, lo cual es nuestro siguiente tema.

La Transformada Z es una poderosa herramienta que nos permite evitar el uso de integrales, operación obligada para determinar la IDTFT de Y[e]. Es decir, podremos obtener y[n] de manera algebraica más sencilla.

Fuentes:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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Convolución – Problemas resueltos – Matlab – Catálogo 11

La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de señales y sistemas para aplicar convolución. Cada solución además ofrece un código de Matlab para graficar las señales y la simulación de la salida. Cada problema tiene un costo de 8.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 16.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal.

Problema 1. Un sistema LTI de tiempo continuo tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

1. Determinar los instantes inicial y final de la señal de salida sin evaluar la integral de convolución. Graficar ambas señales.
2. Realizando ahora la integral de convolución, determinar la salida del sistema y(t) a la entrada x(t). Ejecutar analíticamente y mediante simulación en Matlab.

Problema 2. Un sistema LTI de tiempo discreto tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

1. Sin evaluar la convolución, determinar los instantes inicial y final de la señal de salida. Graficar ambas señales.
2. Obtener la salida del sistema mediante la operación de convolución. Ejecutar analíticamente y mediante simulación en Matlab.
3. A partir del resultado obtenido en el apartado anterior evaluar la salida del sistema cuando la entrada es:

Problema 3. Sea el sistema LTI de tiempo discreto tiene la siguiente respuesta al impulso:

Considerando la siguiente señal de entrada:

Se pide:

1. Indique el instante inicial y final de la salida del sistema;
2. Aplicando convolución, evalúe la salida del sistema.

Método de pago

Convolución – Problemas Resueltos – Catálogo 11, pago por un solo ejercicio.

Ejercicio de Convolución. Pago por un solo ejercicio. Luego de pagar, por favor solicitar la solución en PDF al WhatsApp +34633129287

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Convolución – Problemas Resueltos – Catálogo 11, pago por la guía completa.

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The Frequency Response of a discrete LTI system

The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system.

We early stated that the Fourier Transform representation is the most useful signal representation for LTI systems (The Discrete-Time Fourier Transform). That is true due to the following reason:

RESPONSE TO A COMPLEX EXPONENTIAL ejωon

Let ejωon be the input to an LTI system represented by the impulse response h[n]:

Then:

Definition:

FREQUENCY RESPONSE: The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system and is denoted by:

In consequence, if x[n] is the input to an LTI system:

The system can be represented by:

Note. This is equivalent to write:

and the output y[n] is as follows:

Hence, the output sequence is the input sequence modified by the response of the system at frequency ω0. This justifies the definition of H[e] as the frequency response because it is what the complex exponential ejωon is multiplied by to obtain the output y[n]. This is a powerful result that can be extended to a linear combination of complex exponentials using the linearity of LTI systems:

Response to sinusoidal sequences

Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x[n] being an input to an LTI system h[n]:

You already know how to use Euler to represent x[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y[n]:

In general, the frequency response  is a complex function of ω. This means that it has a magnitude and a phase. In other words, can be represented as a fasor:

In consequence:

Example 1

Determine the output y[n] of a LTI system described by its Impulse Response h[n], when the input is x[n]:

Plot amplitude and phase of the Frequency Response H[e].

Solution:

Using equation (1) we obtain the Frequency Response H[e] of the system:

To use equation 3.1, we can obtain amplitude and phase of H[e]:

In consequence:

Plotting amplitude and phase of H[e] in Matlab, we use the following script:

w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,magH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘|H[e^jω ]|’);
title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);

w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,angH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘<H[e^jω’);
title (‘Angle of H[e^jω ]’);

Response to Arbitrary Sequences

Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x[n] and its DTFT X[e]. Take any system described by its Transfer Function H[e], then the response y[n]  of this system to the input x[n]  can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[e], where Y[e]  is:

Therefore, any LTI system can be represented in the frequency domain by the following diagram:

The consequences of equation (5) is Monumental in Engineering !!! And from there, we get to Laplace Transform in continuous time and Z-Transform in discrete time.

The Z-Transform is a powerful tool that will allow us to avoid integral operations which is needed to determine the IDTFT of Y[e].  That is, we can obtain y[n] in a simpler algebraic way.

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A menudo se argumenta que la Transformada de Laplace es una herramienta excesivamente teórica y poco intuitiva, ya que implica una integración en el plano complejo y convierte una señal de variable real (el tiempo continuo) en una transformada de variable compleja (la variable s). Es decir, para representar la misma información es necesario utilizar dos variables en el dominio de Laplace, la parte real de s y la parte imaginaria de s, en lugar de solo una, tal y como se hace en el dominio temporal. A primera vista, no hay una razón evidente que justifique la necesidad de utilizar dos variables y ello hace que surjan alternativas para comprimir la redundancia que contiene la Transformada de Laplace y volverla a reducir a una sola dimensión. Una de estas alternativas se basa en la función exponencial est, que, como ya sabemos, presenta la propiedad de ser una autofunción de los sistemas LIT analógicos. Es decir, al excitar la entrada de un sistema analógico LIT de respuesta impulsional ℎ(𝑡) con la señal 𝑥(𝑡)= est, el sistema presenta una señal 𝑦(𝑡) a su salida dada por:

Dónde H(s)  es la función de transferencia del sistema. El resultado anterior muestra cómo la señal exponencial que hay en la entrada vuelve a aparecer en la salida acompañada de un factor de escala, dado por la función de transferencia, el cual resume el comportamiento del sistema en función de la variable compleja s.

De entre todas las posibles señales exponenciales, hay una de ellas que es de especial interés para nosotros y que no es otra que la señal exponencial compleja: esto es, e jωt, en donde se ha llevado a cambio el cambio de variable s=𝒋ω . Este cambio es interesante porque la señal exponencial compleja tiene un significado físico más tangible, al poder ser interpretada como un fasor en el plano complejo rotando a una velocidad angular constante ω, cuya proyección en los ejes real e imaginario da lugar a las funciones cos(ω𝒕) y sen(ω𝒕), respectivamente. Estas señales co/sinusoidales son fácilmente generables en un laboratorio y corresponden, haciendo un símil acústico, a tonos de frecuencia pura.

Esto hace que, de todo el plano complejo definido por la variable de Laplace s, en la práctica nos interese restringirnos al caso s=𝒋ω. Esta particularización no solo hace más intuitivo el análisis en el dominio transformado a partir del uso de exponenciales complejas, sino que, además, reduce la Transformada de Laplace a una nueva transformada de una sola variable, ω.

Source:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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