Transformada de Fourier en tiempo discreto – DTFT

Cuando un sistema en tiempo discreto es lineal y invariante en el tiempo (sistema LIT), solo una representación se destaca como la más útil. Se llama Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y se basa en el conjunto de señales exponenciales complejas {e^jωn}.

THE  DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT)

Si x_[n] es absolutamente sumable, esto es:

Entonces, la DTFT de x_[n] está dada por:

Ejemplo 1.

Determine the DTFT of x_[n]:

Solution.

Dado que X(e^jω) es una función de valor complejo, deberá trazar su magnitud y su ángulo (o la parte real y la parte imaginaria) con respecto a ω por separado para poder graficar, es decir, describir visualmente X(e^jω). Ahora ω es una variable real entre –∞ y +∞, lo que significa que solo podemos graficar una parte de la función X(e^jω). Usando dos propiedades importantes de la DTFT, podemos reducir este dominio al intervalo [0, π] para secuencias de valores reales.

Los siguientes scripts de Matlab nos permite graficar cada parte de X(e^jω) del ejemplo 1:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
magX=abs(X);angX=angle(X);
plot(w/pi,magX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Magnitude’);
title(‘Magnitude Part’)

This script yields:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
angX=angle(X);
plot(w/pi,angX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Radians’);
title(‘Angle Part’)

This script yields:

Ejemplo 2.

Determine the DTFT of the following finite-duration sequence:

Solution.

Dos propiedades importamtes

Las siguientes dos propiedades son esenciales para el análisis DTFT:

Algunos pares DTFT de gran importancia

A partir de las propiedades anteriormente mencionadas, la DTFT de las siguientes secuencias, Tabla 1, revelan ser muy útiles:

Propiedades de la DTFT

Ahora presentamos el resto de las propiedades de la DTFT en la Tabla 2:

These properties will be of remarkable value for the next application of the DTFT: The z-Transformation. Estas propiedades serán de notable valor para la próxima aplicación de la DTFT: la transformada z.

Relacionado: Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto con Matlab

Evaluación completa de Transformada Discreta de Fourier

Objetivos:

• Calcular la DFT y la DFT inversa
• Analizar las propiedades de la DFT y de la DFT inversa
• Aplicar las ecuaciones de la DFT para resolver cálculos de transformadas
• Resolver la convolución lineal mediante la DFT

Fuentes:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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Revisión literaria hecha por:

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