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Graficar el pulso rectangular en Matlab utilizando la transformada de Laplace

Considere la función pulso:

null

Donde A y t0 son constantes.

Esta función pulso puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, sobreimpuesta por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

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En este caso, la transformada de f(t) se obtiene mediante:

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Aplicando la tabla para transformadas de Laplace (anexo) obtenemos:

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Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso es:

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Para el pulso rectangular, simplemente debemos considerar que:

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Ejemplo 1. Gráfica en Matlab 

Suponga un pulso rectangular f(t) de altura A=1 y ancho t0=1. El siguiente script representa la forma más inmediata de graficar f(t) en Matlab (en este ejemplo f(t)=h1(t) es la respuesta al impulso unitario de un sistema cualquiera):

>> t=0:0.1:4;

>> h1=rectpuls(t,2);

>> plot(t,h1)

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El script anterior utiliza el tiempo t para graficar la señal. Sin embargo, representar el pulso rectangular mediante la transformada de Laplace (representación en frecuencia) y utilizar dicha representación en Matlab, ofrece enormes ventajas para el análisis de sistemas lineales, y para la misma programación en Matlab, el cual ofrece un exuberante Control Toolbox para el caso en que una función está representada en frecuencia (como la función step, o la función impulse utilizada más tarde). Por ejemplo, la convolución entre dos señales en el dominio del tiempo, es un simple producto entre dos señales en el dominio de la frecuencia. Es por ello que procedemos de la siguiente manera.

La función pulso rectangular f(t) de ancho t0 puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, y es luego anulada (no sobreimpuesta como el caso anterior) por un escalón U(t-to)  de altura –A, que empieza en  t=t0, es decir:

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Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso rectangular es:

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Ejemplo 2. Gráfica en Matlab 

Suponga el pulso rectangular f(t) de altura A=1 y ancho t0=1 del ejemplo 1. El siguiente script utiliza la transformada de Laplace la función pulso rectangular en combinación con la respuesta al impulso de un sistema cualquiera, para graficar el pulso rectangular:

s=tf(‘s’);
f1=tf([1],[1 0]);
f2=exp(-s)*tf([1],[1 0]);
f=f1-f2;
impulse(f)
xlabel(‘t’); ylabel(‘f(t)’)
title(‘Gráfica del pulso rectangular f(t)’)

Es de gran valor recordar que la respuesta al impulso en el dominio de la frecuencia nos permite obtener de manera inmediata la Función de Transferencia del sistema.

Con la ecuación (2) en la mano podemos adaptar este resultado a situaciones particulares. Suponga el caso de un pulso rectangular como el mostrado en la siguiente Figura:

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Al aplicar el mismo procedimiento vemos que:

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Por lo tanto, la transformada de Laplace la función de la Figura es como en la ecuación (3):

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Gráfica en Matlab 

En la ecuación anterior considere T=1, A=3. Es decir, dos pulsos rectangulares de ancho 1 y amplitud 3, que inicia en t=0. El siguiente script permite obtener la gráfica de f(t) en Matlab:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-9.png

Referencia:

  • Ingeniería de control moderna (Ogata)

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