Sistema de 2do orden subamortiguado

La forma estándar de la función de transferencia de un sistema de 2do orden es:

Dónde:

Nota: Si el sistema responde al escalón unitario (step response), podemos suponer k=1 en la ecuación (1). En comparación con la simplicidad de un sistema de primer orden (Sistemas de primer orden), un sistema de segundo orden exhibe una amplia gama de respuestas que deben analizarse y  describirse. Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta.

La función de transferencia estándar (1) para un sistema de 2do orden está expresamente diseñada en función de estos parámetros (ganancia, frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento) que están ligados al comportamiento físico de la respuesta y a la situación de sus polos en el plano “s”. Para empezar, con solo conocer el valor del coeficiente de amortiguamiento ζ, podemos determinar la forma de la respuesta del sistema, y el tipo de sistema.

Recordamos que el método más utilizado para estudiar el comportamiento de los sistemas de 2do orden consiste en someter dicho sistema a un conjunto de entradas típicas: el impulso, el escalón unitario, la rampa y una señal alterna sinusoidal (ver Anexo 1).

Tipos de sistemas de segundo orden

• Subamortiguado (0<ζ<1)
• Críticamente amortiguado (ζ=1)
• Sobreamortiguado (1<ζ)
•  Oscilatorio (ζ=0)
• Inestable (ζ<0)

La siguiente figura es un resumen del tipo de sistema y la forma de la salida del sistema para una entrada escalón unitario, de acuerdo al valor del coeficiente de amortiguamiento:

Vamos a describir cada uno de estos tipos de sistemas por separado. En primer lugar, el más interesante en cuanto al diseño de sistemas de control: sistema de 2do orden sub-amortiguado.

Sistema de 2do orden Sub-amortiguado

Un sistema de segundo orden sub-amortiguado es aquel cuyo coeficiente de amortiguamiento tiene valores entre cero y uno (0<ζ<1). Una característica importante es que tiene dos polos complejos conjugados (como se puede ver en el plano s de la Figura siguiente). Este sistema, sometido a una entrada escalón unitario, presenta el siguiente comportamiento genérico:

La Figura anterior muestra los factores que se suman y se multiplican para generar la salida c_(t) (interesante recordar que es la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden subamortiguado). La salida es oscilatoria amortiguada. La frecuencia de dicha señal oscilatoria es ahora ω_d (frecuencia amortiguada). La oscilación está amortiguada por el término exponencial decreciente. Este sistema, sea eléctrico, mecánico, hidráulico, neumático, es muy cotizado porque permite variar totalmente la forma de la respuesta (ver los 5 parámetros siguientes), y sigue a la entrada (su valor final es igual al de la entrada, que en este caso es 1). 

Este comportamiento también se puede describir analíticamente mediante los parámetros que se definen a continuación:

1. Sobrepaso máximo (M_p): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.
2. Tiempo de retardo (T_d): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.
3. Tiempo de asentamiento (T_s): es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.
4. Tiempo de levantamiento (T_r): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final.
5. Tiempo pico (T_pó Tmáx):es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

Por lo general, los requerimientos para el diseño de un sistema de control se especifican en base a estos parámetros (de allí su importancia). Como se puede constatar, se manifiestan durante la respuesta transitoria en la cual la mayoría de los sistemas muestra una conducta oscilatoria antes de alcanzar el estado estable. Para poder comparar varios diseños, se utiliza como función de prueba el escalón unitario, y es práctica común considerar las condiciones iniciales iguales a cero.

Fórmulas para los parámetros de un Sistema de 2do orden Sub-amortiguado

A continuación se presentan fórmulas que pueden ayudar a determinar analíticamente los parámetros de un sistema de segundo orden sub-amortiguado para el que se conoce la forma estándar de la función de transferencia, ecuación (1).

• Sobrepaso máximo (M_p):

también podemos utilizar:

donde y(t_(p)) es el valor de la salida en el tiempo de máximo sobrepaso, mientras y(∞) es el valor de la salida en estado estable, cuando desaparece la respuesta transitoria.

Es muy útil contar además con la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ en función del sobrepaso M_p:

• Tiempo de asentamiento (T_s)

• Tiempo de levantamiento (T_r)

El tiempo de levantamiento no se puede expresar en función del factor de amortiguamiento relativo ζ. Se puede utilizar la siguiente relación para la cual es necesario contar con los componentes real e imaginario de la raíz que se corresponde con los valores dados de ω_n y ζ (Figura 5-9):

donde σ es el factor de decorecimiento y ω_d es la frecuencia natural amortiguada:

y ß está definida por la Figura siguiente:

• Tiempo pico (T_p)

• Tiempo de retardo (T_d)

La respuesta transitoria de un sistema de control en la práctica siempre exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Esto ocurre porque los sistemas tienen componentes que almacenan energía y no pueden responder de manera inmediata a los cambios en la entrada. La respuesta transitoria a una entrada escalón depende de las condiciones iniciales. Es por ello que en la práctica se acostumbra considerar que el sistema está inicialmente en reposo de modo tal que las condiciones iniciales (la salida y sus derivadas) son iguales a cero.

Mientras que variar el parámetro de un Sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta.

Anexo 1:

Anexo 2:

Anexo 3:

Anexo 4:

Anexo 5:

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Referencias:

1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
2. Oppenheim – Señales y Sistemas
3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
4. 2.1 Respuesta transitoria

Revisión literaria hecha por:

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