Procesamiento de señales digitales

Graficar el escalón unitario discreto con Matlab

La función ones(1,N) genera un vector fila de N unos. Se puede utilizar para generar u[n] en un intervalo finito. Un enfoque elegante es utilizar la relación lógica n>=0. Para implementar:

En el intervalo n1< no < n2 , utilizaremos la siguiente función Matlab:

function[x,n]=stepseq(n0,n1,n2)

% Generates x(n)=u(n-n0); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0];

Note: para ver como se implementa una función en Matlab ver: matlab getstart, page 176, (4-22)

Ahora podemos utilizar la función stepseq como sigue,para implementar una función arbitraria P=u[n-5] en el intervalo 0< no < 18:

n=[0:18];
P=stepseq(5,0,18);
stem(n,P)

Obtenemos:

P =     0     0     0     0     0     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-7.png

Ejemplo 2. Generar y graficar la siguiente secuencia sobre el intervalo indicado:

n=[0:20]; x1=10exp(-0.3(n-10)).(stepseq(10,0,20)-stepseq(20,0,20)); x2=n.(stepseq(0,0,20)-stepseq(10,0,20));
x=x1+x2;
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 2’)

Este script genera el siguiente gráfico:

Fuente:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed

RELACIONADO:

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Generar y graficar la función impulso unitario con Matlab

Se trata de una de las señales discretas más simples, la señal impulso unitario discreto, la cual se define como:

De hecho, la señal impulso unitario discreto es la base de la representación de las señales discretas, cualquier señal discreta se puede obtener como combinación lineal de deltas desplazadas. El ejemplo más relevante es el escalón unidad o escalón unitario.

Generar la función Impulso Unidad en Matlab

La función zeros(1,N) genera un vector de fila de N ceros, que se puede utilizar para implementar δ[n] en un intervalo finito. Sin embargo, la relación lógica n==0 es una forma elegante de implementar δ[n]. Por ejemplo, para implementar:

En el intervalo n1< no < n2 , usaremos la siguiente función en Matlab:

function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)

%generates x[n]=delta(n-no); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0];

Ahora podemos usar la función impseq como sigue, para implementar una función arbitraria T=δ[n-5] en el intervalo 0< no < 9:

n=[0:9];
T=impseq(5,0,9);
stem(n,T)

Obtenemos:

T =     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-8.png

Note: para ver como se implementa una función en Matlab ver: matlab getstart, page 176, (4-22)

El poder y la eficiencia de esta aproximación se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

Graficar la Función Impulso Unidad en Matlab

Ejemplo 1. Generar y graficar la siguiente secuencia sobre el intervalo indicado:

n=[-5:5];
x=2*impseq(-2,-5,5)-impseq(4,-5,5);
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 1’)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Estos comandos generan el siguiente gráfico:

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Secuencias elementales en Matlab- procesamiento de señales digitales

En MATLAB podemos representar una secuencia de duración finita mediante un vector de fila de valores apropiados. Sin embargo, dicho vector no tiene información sobre la posición n de la muestra. por lo tanto, una representación correcta de requeriría dos vectores, uno para x y otro para n. Por ejemplo

>> n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]; x=[2,1,-1,0,1,4,3,7]

Generalmente, usaremos la representación del vector x solo cuando la información de la posición de la muestra no sea necesaria o cuando dicha información sea trivial (por ejemplo, cuando la secuencia comience en n = 0)

Tipos de secuencias

Usamos varias secuencias elementales en Procesamiento de señales digitales para propósitos de análisis. Lo ideal al utilizar Matlab para el procesamiento de señales digitales es diseñar funciones en archivos .m para aumentar la eficiencia y la claridad de los programas (scripts) que utilizaremos en la consola (Command Window) para procesar señales complejas que son combinaciones de las señales elementales. Proponemos este método a continuación. Para algunas funciones elementales sin embargo, como por ejemplo la secuencia sinusoidal coseno, ya Matlab tiene lo necesario en su menú.

Unit Sample sequence - Impulso Unitario

La función zeros(1,N) genera un vector de fila de N ceros, que se puede utilizar para implementar δ[n] en un intervalo finito. Sin embargo, la relación lógica n==0 es una forma elegante de implementar δ[n]. Por ejemplo, para implementar:

En el intervalo n1< no < n2 , usaremos la siguiente función en Matlab:

function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)

%generates x[n]=delta(n-no); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0];

Ahora podemos usar la función impseq como sigue, para implementar una función arbitraria T=δ[n-5] en el intervalo 0< no < 9:

>> T=impseq(5,0,9)

Obtenemos:

T =     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-8.png

Note: para ver como se implementa una función en Matlab ver: matlab getstart, page 176, (4-22)

El poder y la eficiencia de esta aproximación se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Generar y graficar la siguiente secuencia sobre el intervalo indicado:

n=[-5:5];
x=2*impseq(-2,-5,5)-impseq(4,-5,5);
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 1’)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Estos comandos generan el siguiente gráfico:

Unit Step sequence - Escalón Unitario

La función ones(1,N) genera un vector fila de N unos. Se puede utilizar para generar u[n] en un intervalo finito. Una vez más, un enfoque elegante es utilizar la relación lógica n>=0. Para implementar:

En el intervalo n1< no < n2 , utilizaremos la siguiente función Matlab:

function[x,n]=stepseq(n0,n1,n2)

% Generates x(n)=u(n-n0); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0];

Ahora podemos utilizar la función stepseq como sigue,para implementar una función arbitraria P=u[n-5] en el intervalo 0< no < 18:

>> P=stepseq(5,0,18)

Obtenemos:

P =     0     0     0     0     0     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-7.png

Ejemplo 2. Generar y graficar la siguiente secuencia sobre el intervalo indicado:

n=[0:20]; x1=10exp(-0.3(n-10)).(stepseq(10,0,20)-stepseq(20,0,20)); x2=n.(stepseq(0,0,20)-stepseq(10,0,20));
x=x1+x2;
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 2’)

Estos comandos generan el siguiente gráfico:

Secuencia exponencial con valores reales

En Matlab es requerido el operador “” para implementar a real exponential sequence de la forma:

En el intervalo n1< no < n2. Por ejemplo, para implementar:

Usaremos la siguiente función de Matlab:

n=[0:10];;
x=(0.9).^n;
stem(n,x);
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Este script genera:

Serie Geométrica

Una secuencia exponencial de un solo lado, de la forma:

Donde α es una constante arbitraria. Esta secuencia es llamada a geometric series.  En PDS, la convergencia y la expresión para la suma de los componentes de esta serie are es utilizado en muchas aplicaciones. La serie converge para:

Mientras se cumpla esta condición, la suma de los componentes de la serie geométrica converge a:

A partir de aquí, necesitamos además una expresión para la suma de cualquier número finito de términos de la serie, y está dado por:

Estos dos importantes resultados se utilizarán ampliamente en PDS.

Complex-valued exponential sequence

Where σ produces an attenuation (if<0) or amplification (if>0)  and ωo is the frequency in radians. The Matlab function exp generates the exponential sequences. For example, for x[n] =exp[(2+j3)n], 0n10, we will use the following script:

n=[0:10]; x=exp(3j*n);
stem(n,k)

This script yields:

Secuencia sinusoidal

Donde A es la amplitud y θo es la fase en radianes. Más sobre la frecuencia angular en La sinusoide en tiempo discreto

Las funciones Matlab cos o sin generan una secuencia sinusoidal. Por ejmplo, para x[n] =3cos(0.1πn+π/3)+2sin(0.5πn), 0n10, utilizaremos el siguiente script:

n=[0:10]; x=3*cos(0.1*pi*n+pi/3)+2*sin(0.5*pi*n);
stem(n,x)

Este script genera:

En construcción….

Fuente:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed

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Elementary sequences in digital signal processing with Matlab

In MATLAB we can represent a finite-duration sequence by a row vector of appropriate values. However, such a vector does not have any information about sample position n. therefore, a correct representation of a discrete function x[n] would require two vectors, one each for x and n. For example, a sequence x[n] ={2,1,-1,0,1,4,3,7} can be represented in Matlab by:

n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4];
x=[2,1,-1,0,1,4,3,7];
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)
title(‘x[n] sequence’)

Generally, we will use the x-vector representation alone when the sample position information is not required or when such information is trivial (e.g. when the sequence begins at n=0)

Types of sequences

We use several elementary sequences in Digital Signal Processing for analysis purposes.

Unit Sample sequence

The function zeros(1,N) generates a row vector of N zeros, which can be used to implement δ[n] over a finite interval. However, the logical relation n==0 is an elegant way of implementing δ[n]. For example, to implement:

Over the n1< no < n2  interval, will use the following Matlab function:

function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)

% write in the editor…generates x[n]=delta(n-no); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0];

Now, we can use the impseq function as follows, to implement an arbitrary function T=δ[n-5] over the 0< no < 9  interval:

n=0:9;
T=impseq(5,0,9);
stem(n,T)
xlabel(‘n’); ylabel(‘T[n]’)
title(‘T[n] sequence’)

% write in the command windows

Result:

T =     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0

Note: to see how to implement a Matlab function see: matlab getstart, page 176, (4-22)

The power of this approach can be see in the follow example.

Example 1. Generate and plot the following sequence over the indicated interval:

n=[-5:5];
x=2*impseq(-2,-5,5)-impseq(4,-5,5);
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 1’)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

This commands yield:

Unit Step sequence

The function ones(1,N) generates a row vector of N ones. It can be used to generate u[n] over a finite interval. Once again, an elegant approach is to use the logical relation n>=0. To implement:

Over the n1< no < n2  interval, will use the following Matlab function:

function[x,n]=stepseq(n0,n1,n2)

% Generates x(n)=u(n-n0); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0];

Now, we can use the stepseq function as follows, to implement an arbitrary function P=u[n-5] over the 0< no < 18 interval:

>> P=stepseq(5,0,18)

Result:

P =     0     0     0     0     0     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

Example 2. Generate and plot each of the following sequence over the indicated interval:

n=[0:20]; x1=10*exp(-0.3*(n-10)).*(stepseq(10,0,20)-stepseq(20,0,20));

x2=n.*(stepseq(0,0,20)-stepseq(10,0,20));
x=x1+x2;
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 2’)

This commands yield:

Real-valued exponential sequence

In Matlab an array operator “” is required to implement a real exponential sequence of the form:

Over the n1< no < n2 interval. For example, to implement:

We will use the following Matlab function:

n=[0:10];;
x=(0.9).^n;
stem(n,x);
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

This script yields:

Geometric series

A one-side exponential sequence of the form:

Where α is an arbitrary constant. This sequences is called a geometric series.  In DSP, the convergence and expression for the sum of this series are used in many applications. The series converges for:

While this condition is true, the sum of the geometric series components converges to:

From here, we also need an expression for the sum of any finite number of terms of the series, and that is given by:

These two important results will be used deeply throughout DSP.

Complex-valued exponential sequence

Where σ produces an attenuation (if<0) or amplification (if>0)  and ωo is the frequency in radians. The Matlab function exp generates the exponential sequences. For example, for x[n] =exp[(2+j3)n], 0n10, we will use the following script:

n=[0:10]; x=exp(3j*n);
stem(n,k)

This script yields:

Sinusoidal sequence 

Sine waves are important because Fourier´s Theorem states that most signals of practical interest can be decomposed into an infinite sum of sine waves. Discrete-time signals (also called time series) are defined over the set of integers, that is, they are indexed sequences. A discrete-time sine wave is defined by:

Where A is an amplitude and  θo is the phase in radians. Where A is an amplitude and teta is the phase in radians. Meanwhile, ωo=2πf is the angular frequency and x[n] could be written as:

It is important to understand that the frequency of a discrete-time sinusoid is not uniquely defined. This fundamental ambiguity is a consequence of a basic trigonometric property:

In words, the value of a sinusoid does not change if an integer multiple of is added to its argument. Adding the 2πkn to the argument of equation (1) we get:

Two cases must be distinguished. If k≥-f, the equation (2) is equivalent to a sinusoid with frequency f+k with no change in phase:

On the other hand, if k<-f, equation (3) leads to a negative frequency. To avoid this, we introduce:

We also make use of the property:

In consequence, returning to equations (2) and three, we obtain a sinusoid of frequency l-f with a reversal in phase:

In conclusion, a discrete-time sinusoid with frequency f is identical to a same-phase sinusoid of frequency f+k, where k is any integer greater than –f, or to a phase-reversed sinusoid of frequency l-f if l>f.

Equation (3) can be expressed more concisely using complex exponential notation:

Because value of a complex exponential does not change if a multiple of is added to its argument, we get:

Equation (5) is equivalent to equation (4). Because of this fundamental frequency ambiguity, we will often implicitly assume that the angular frequency of a discrete-time sinusoid is restricted to the range –π≤ω≤π, or equivalent, that -1/2≤f≤1/2.

The Matlab function cos or sin generates the sinusoidal sequences. For example, for x[n]=3cos(0.1πn+π/3)+2sin(0.5πn), 0n10, we will use the following script:

n=[0:10]; x=3*cos(0.1*pi*n+pi/3)+2*sin(0.5*pi*n);
stem(n,x)

This script yields:

In construction ….

Source:

  • Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
  • Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  • Oppenheim – Señales y Sistemas
  • Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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