Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto con Matlab

Un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) de tiempo discreto puede ser descrito mediante una ecuación diferencial lineal (ó ecuación lineal en diferencias) con coeficientes constantes de la forma:

La ecuación (1) describe un método recursivo para calcular la salida y[n], dado los valores de la entrada x[n] y valores previos de la misma salida y[n]. En la práctica, esta ecuación se calcula hacia adelante en el tiempo, de n=-∞ a n=∞. En consecuencia, otra forma de escribir esta ecuación es:

Una solución para la ecuación (2) puede ser obtenida de la forma:

La parte homogénea y_h[n] está dada por:

Donde z_k, k=1,…,N son N raíces (también conocidas como frecuencias naturales) de la ecuación característica:

La ecuación característica es importante porque determina la estabilidad del sistema. Si las raíces z_k satisfacen la siguiente condición:

Entonces el sistema causal de la ecuación (2) es estable. La solución particular, y_p[n], está determinada por la parte derecha de la ecuación (1), para lo cual utilizaremos la transformada z (z-transform) en la determinación de la solución de una ecuación en diferencias.

Matlab solving

Una función llamada filter está disponible en Matlab para resolver Discrete-Time difference equations, dados los valores de la entrada y los coeficientes de la ecuación en diferencias. En su forma más simple la función es invocada por:

y=filter(b,a,x)

Donde b y a son las matrices de los coeficientes de la ecuación (1), y x es la matriz de la secuencia de entrada. Debemos asegurarnos de que el coeficiente a₀ no sea igual a cero.

Para determinar y graficar la respuesta al impulso, Matlab además provee la función impz:

h=impz(b,a,n);

Calcula muestras de la respuesta al impulso del filtro en los índices de muestra dados en n con coeficientes de numerador en b y coeficientes de denominador en a.

Ejemplo 1.

Dada la siguiente ecuación en diferencias:

1. Calculate and plot the impulse response h[n] at n=-20,…,100
2. Calculate and plot the unit step response s[n] at n=-20,…,100
3. Is the system specified by h[n] stable?

Solution:

1. To determine h[n] we use the following script:

n=[-20:120];
a=[1,-1,0.9];
b=[1];
h=impz(b,a,n);
stem(n,h)
grid
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

The script yields:

1. 2. To determine s[n] we use the following script:

n=[-20:120];
a=[1,-1,0.9];
b=[1];
x=stepseq(0,-20,120);
s=filter(b,a,x);
stem(n,s)
xlabel(‘n’); ylabel(‘s[n]’);

The script yields:

1. Is the system specified by h[n] stable?

From Figure 1 we see that h[n] is practically zero n>120. Hence the sum:

Can be determined with the following script:

sum(abs(h))

This yields:

ans = 14.8785

That is to say:

This result implies that the system is stable. An alternate approach is to use the stability condition of the roots:

z=roots(a);
magz=abs(z)

magz =

0.9487
0.9487

Since the magnitude of both roots are less than one, the system is stable.

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