Secuencias elementales en Matlab- procesamiento de señales digitales

En MATLAB podemos representar una secuencia de duración finita mediante un vector de fila de valores apropiados. Sin embargo, dicho vector no tiene información sobre la posición n de la muestra. por lo tanto, una representación correcta de requeriría dos vectores, uno para x y otro para n. Por ejemplo

>> n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]; x=[2,1,-1,0,1,4,3,7]

Generalmente, usaremos la representación del vector x solo cuando la información de la posición de la muestra no sea necesaria o cuando dicha información sea trivial (por ejemplo, cuando la secuencia comience en n = 0)

Tipos de secuencias

Usamos varias secuencias elementales en Procesamiento de señales digitales para propósitos de análisis. Lo ideal al utilizar Matlab para el procesamiento de señales digitales es diseñar funciones en archivos .m para aumentar la eficiencia y la claridad de los programas (scripts) que utilizaremos en la consola (Command Window) para procesar señales complejas que son combinaciones de las señales elementales. Proponemos este método a continuación. Para algunas funciones elementales sin embargo, como por ejemplo la secuencia sinusoidal coseno, ya Matlab tiene lo necesario en su menú.

Unit Sample sequence - Impulso Unitario

La función zeros(1,N) genera un vector de fila de N ceros, que se puede utilizar para implementar δ_[n] en un intervalo finito. Sin embargo, la relación lógica n==0 es una forma elegante de implementar δ_[n]. Por ejemplo, para implementar:

En el intervalo n₁< n_o < n₂ , usaremos la siguiente función en Matlab:

function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)

%generates x[n]=delta(n-no); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0];

Ahora podemos usar la función impseq como sigue, para implementar una función arbitraria T=δ_[n-5] en el intervalo 0< n_o < 9:

>> T=impseq(5,0,9)

Obtenemos:

T =     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0

Note: para ver como se implementa una función en Matlab ver: matlab getstart, page 176, (4-22)

El poder y la eficiencia de esta aproximación se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Generar y graficar la siguiente secuencia sobre el intervalo indicado:

n=[-5:5];
x=2*impseq(-2,-5,5)-impseq(4,-5,5);
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 1’)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Estos comandos generan el siguiente gráfico:

…

Unit Step sequence - Escalón Unitario

La función ones(1,N) genera un vector fila de N unos. Se puede utilizar para generar u_[n] en un intervalo finito. Una vez más, un enfoque elegante es utilizar la relación lógica n>=0. Para implementar:

En el intervalo n₁< n_o < n₂ , utilizaremos la siguiente función Matlab:

function[x,n]=stepseq(n0,n1,n2)

% Generates x(n)=u(n-n0); n1<=n<=n2

n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0];

Ahora podemos utilizar la función stepseq como sigue,para implementar una función arbitraria P=u_[n-5] en el intervalo 0< n_o < 18:

>> P=stepseq(5,0,18)

Obtenemos:

P =     0     0     0     0     0     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

Ejemplo 2. Generar y graficar la siguiente secuencia sobre el intervalo indicado:

n=[0:20]; x1=10exp(-0.3(n-10)).(stepseq(10,0,20)-stepseq(20,0,20)); x2=n.(stepseq(0,0,20)-stepseq(10,0,20));
x=x1+x2;
stem(n,x); title(‘Secuencia de Problema 2’)

Estos comandos generan el siguiente gráfico:

Secuencia exponencial con valores reales

En Matlab es requerido el operador “.ˆ” para implementar a real exponential sequence de la forma:

En el intervalo n₁< n_o < n₂. Por ejemplo, para implementar:

Usaremos la siguiente función de Matlab:

n=[0:10];;
x=(0.9).^n;
stem(n,x);
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Este script genera:

Serie Geométrica

Una secuencia exponencial de un solo lado, de la forma:

Donde α es una constante arbitraria. Esta secuencia es llamada a geometric series.  En PDS, la convergencia y la expresión para la suma de los componentes de esta serie are es utilizado en muchas aplicaciones. La serie converge para:

Mientras se cumpla esta condición, la suma de los componentes de la serie geométrica converge a:

A partir de aquí, necesitamos además una expresión para la suma de cualquier número finito de términos de la serie, y está dado por:

Estos dos importantes resultados se utilizarán ampliamente en PDS.

Complex-valued exponential sequence

Where σ produces an attenuation (if<0) or amplification (if>0)  and ω_o is the frequency in radians. The Matlab function exp generates the exponential sequences. For example, for x_[n] =exp[(2+j3)n], 0≤n≤10, we will use the following script:

n=[0:10]; x=exp(3j*n);
stem(n,k)

This script yields:

Secuencia sinusoidal

Donde A es la amplitud y θ_o es la fase en radianes. Más sobre la frecuencia angular en La sinusoide en tiempo discreto

Las funciones Matlab cos o sin generan una secuencia sinusoidal. Por ejmplo, para x_[n] =3cos(0.1πn+π/3)+2sin(0.5πn), 0≤n≤10, utilizaremos el siguiente script:

n=[0:10]; x=3*cos(0.1*pi*n+pi/3)+2*sin(0.5*pi*n);
stem(n,x)

Este script genera:

En construcción….

Fuente:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed

ANTERIOR:

• Cómo procesar una suma de funciones sinusoidales con Matlab
• Código de Matlab para DSP
• ¿Qué es PDS? 
• El Impulso Unitario, Graficar el impulso Unitario con Matlab
• Sumatoria de Convolución
• Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab
• La serie geométrica
• La sinusoide en tiempo discreto

Revisión literaria hecha por:

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