En general, cualquier señal discreta x[n] puede ser representada como una combinación lineal de deltas desplazadas. En general se cumple que:
Ejemplo:
Sea la función x[n] representada por la siguiente gráfica:
La función x[n] de la gráfica anterior puede ser representada mediante la siguiente sumatoria:
A continuación se observa cada una de las gráficas que se suman para formar x[n]:
Suma de convolución
En el ejemplo anterior se ve claramente la importancia de las propiedades de muestreo y selección definidas anteriormente para la función impulso unitario (El Impulso Unitario). Su importancia reside en el hecho de que x[n] se puede representar como una superposición de versiones escaladas de un conjunto muy sencillo de funciones elementales, es decir, de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. A partir de este simple hecho vamos a presentar ahora uno de los conceptos más importante del análisis de sistemas lineales, la idea de la sumatoria de convolución.
Decíamos antes que cualquier señal discreta x[n] puede representarse como una combinación lineal de deltas desplazadas:
Supongamos ahora que x[n] representa toda entrada para un arbitrario Sistema A cuya salida es y[n]. Recordemos del párrafo anterior que en realidad x[n] es una suma de versiones escaladas (con peso x[k]) de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados.
Designemos a hk[n] como la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ[n-k]. Debido a que el sistema es un LTI (cumple con la propiedad de linealidad y de invarianza en el tiempo) podemos expresar matemáticamente la salida y[n] del Sistema A como una sumatoria de las respuestas individuales del sistema a cada impulso unitarios δ[n-k] con peso x[k]:
Entonces, de acuerdo con la ecuación anterior, si conocemos la respuesta de un sistema lineal al conjunto de impulsos unitarios desplazados, podemos construir la respuesta a cualquier entrada arbitraria. Debido a que δ[n-k] es la versión desplazada de δ[n], así hk[n] es una versión desplazada de su versión en el origen h0[n]. Por lo tanto:
Por convención científica se obvia el subíndice en h0[n] y se deja simplemente como h[n]. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:
Este importante resultado se conoce como suma de convolución, y el miembro derecho de la ecuación se conoce como convolución de las secuencias x[n] y h[n].
Para la convolución de las secuencias x[n] y h[n] se utiliza el signo *. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:
Dónde:
La Figura siguiente presenta un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora:
ANEXO
Let hk[n] be the response of the system to δ[n-k], an impulse occurring at n=k. Then:
From the principle of superposition in linearity, we can write:
According to equation 2.51, the system response to any input can be expressed in terms of the responses of the system to the sequences δ[n-k]. If only linearity is imposed, hk[n] depends on both n and k, in which case the computational usefulness of equation 2.51 is limited. We obtain a more useful result if we impose the additional constraint of time invariance.
The property of time invariance implies that if h[n] is the response to δ[n], the response to δ[n-k] is h[n-k]. With this additional constraint, equation 2.51 becomes:
As a consequence of equation 2.52, a linear-time invariant system (which we will sometimes abbreviate as LTI) is completely characterized by it impulse response h[n] in the sense that, given h[n], it is possible to use equation 2.52 to compute the output y[n] due to any input x[n]. Equation 2.52 is commonly called the convolution sum, and is represented by:
Source: Discrete-Time Signal Processing (Alan Oppenheim pp 22-23)
La aplicación de este resultado lo podemos ver gráficamente mediante el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Sean la entrada x[n] a un sistema y su repuesta al impulso h[n], tal como se especifica a continuación:
Determinar la salida y[n] del sistema.
Respuesta:
Pasos para aplicar la sumatoria de convolución
Repetimos este importante hallazgo, la salida y[n] de cualquier sistema LTI de tiempo discreto se puede obtener mediante la convolución de la entrada x[n] con la respuesta al impulso h[n]. Es lo que manifiesta el siguiente esquema:
La suma de convolución anterior involucra los siguientes pasos:
- La respuesta al impulso h[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h[-k] y posteriormente se desplaza mediante n para formar h[n-k] = h[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
- Las dos secuencias x[k] y h[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
- El producto x[k]h[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y[n];
- Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y[n].
Ejemplo 1:
La entrada x[n] y la respuesta al impulso h[n] de un sistema LTI están dadas por:
Calcule la salida y[n] mediante:
Respuesta:
Las secuencias para x[k] y h[n-k], y el resultado de la multiplicación y posterior suma, se observan a continuación:
Propiedades de la convolución.
Las siguientes propiedades de la suma de convolución son análogas a las de la integral de convolución:
Otras propiedades de interés son:
También la solución a cierto problema se puede determinar de manera analítica, utilizando las propiedades de la convolución señaladas anteriormente. Tal es el caso del siguiente ejemplo.
Ejemplo 2:
Ante una entrada x[n], la respuesta y[n] de un sistema LTI es:
Se conoce que la respuesta al impulso h[n] del sistema:
Determinar x[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:
Respuesta:
Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:
Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:
Luego, si seleccionamos:
Entonces:
Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a).
Respuesta al escalón.
La respuesta y[n] al escalón u[n] de un sistema LTI de tiempo discreto cuya respuesta al impulso es h[n], se obtiene fácilmente mediante:
Notar que, de acuerdo con la ecuación anterior:
Notar la estrecha relación que tiene este resultado con el hecho demostrado en El Impulso Unitario de que:
Es decir, podemos conocer la respuesta al impulso de un sistema LTI discreto, a partir de su respuesta a la función escalón, mediante:
SIGUIENTE……..Convolución de señales discretas en Matlab
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Fuentes:
- Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
- Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
- Analisis_de_Sistemas_Lineales
- Oppenheim – Señales y Sistemas
- Señales y sistemas – Shaum
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