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La función Impulso Unitario

La función impulso unitario δ(t), también conocida como Delta de Dirac, tiene un papel fundamental en el análisis de señales. La misma está definida de la siguiente manera:

Esta señal de puede ver como un pulso rectangular de área unidad, ancho ε y altura 1/ε, tal como se muestra en la Figura 1:

Figura 1

Como se puede ver en la Figura anterior, la función impulso unitario es una función par, es decir:

La función impulso unitario δ(t) no es una función en el sentido ordinario como se define una función. Una función ordinaria viene especificada para todos sus valores de tiempo t. La función impulso unitario es cero para todo valor de t, excepto en t=0, y este es el único punto interesante de su dominio, y sin embargo aquí su valor es indefinido. Más útil es definir la función impulso unitario δ(t) como una función generalizada. Una función generalizada se define por sus efectos sobre otras funciones, en vez de ser definida por los valores que asume en su dominio.

En este caso, la función impulso unitario δ(t) se define sobre todo por su propiedad de muestreo y por su propiedad de selección.

Otra manera de decirlo es que la función impulso unitario δ(t) está mejor definida por sus aplicaciones que por los valores que asume en su dominio.

Propiedad de muestreo – multiplicación de una función particular por una función impulso.

Supongamos la multiplicación entre la función δ(t) y una función cualquiera Φ(t) continua en t=0, donde la función tiene una magnitud Φ(0) en ese punto. Se obtiene que:

Este resultado es de gran importancia y se va a aplicar en la siguiente propiedad. Además, se puede generalizar para una función impulso unitario desplazado en t=T:

Propiedad de selección de la función impulso unitario

Integrando el resultado de la propiedad anterior y utilizando la definición del impulso unitario dado al principio, obtenemos que:

La anterior es una de las propiedades más importantes en el análisis de señales y sistemas. Este resultado se puede generalizar como:

Propiedad de escalamiento de la función impulso unitario

Se puede demostrar que:

Lo que implica que:

La función impulso unitario y la función escalón unitario.

Una aplicación de gran importancia en cuanto a la función impulso unitario, es que hace posible la existencia de la derivada de la función escalón unitario en t=0, lo cual no es posible en el sentido de una función ordinaria, pero si en el sentido de una función generalizada. Para esto, integramos el producto de la función Φ(t) definida anteriormente y du(t)/dt:

Este resultado demuestra que du(t)/dt satisface la propiedad de selección de δ(t). Es decir, en términos de una función generalizada:

En consecuencia:

A continuación pasamos a estudiar el caso tiempo discreto.

Impulso unidad delta.

Se trata de una de las señales discretas más simples, la señal impulso unitario discreto, la cual se define como:

De hecho, la señal impulso unitario discreto es la base de la representación de las señales discretas, cualquier señal discreta se puede obtener como combinación lineal de deltas desplazadas. El ejemplo más relevante es el escalón unidad o escalón unitario.

Escalón unidad

La señal escalón unitario se define como:

El escalón unitario es la suma de un tren de impulsos:

De esta manera, complementado el caso de tiempo continuo, el impulso unidad se puede expresar como:

También se puede expresar el escalón unitario como:

Es interesante constatar que en el caso del impulso unidad también se cumple la propiedad de muestreo:

En general, cualquier señal discreta x[n] puede ser representada como una combinación lineal de deltas desplazadas. En general se cumple que:

Ejemplo:

Sea la función x[n] representada por la siguiente gráfica:

La función x[n] de la gráfica anterior puede ser representada mediante la siguiente sumatoria:

A continuación se observa cada una de las gráficas que se suman para formar x[n]:

Suma de convolución

En el ejemplo anterior se ve claramente la importancia de las propiedades de muestreo y selección definidas anteriormente para la función impulso unitario. Su importancia reside en el hecho de que x[n] se puede representar como una superposición de versiones escaladas de un conjunto muy sencillo de funciones elementales, es decir, de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. A partir de este simple hecho vamos a presentar ahora uno de los conceptos más importante del análisis de sistemas lineales, la idea de la suma de convolución.

Decíamos antes que cualquier señal discreta x[n] puede representarse como una combinación lineal de deltas desplazadas:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es null-57.png

Supongamos ahora que x[n] representa toda entrada para un arbitrario Sistema A cuya salida es y[n]. Recordemos del párrafo anterior que en realidad x[n] es una suma de versiones escaladas (con peso x[k]) de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. Designemos a hk[n] como la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ[n-k].

Continuación…Sumatoria de Convolución

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas
  5. Señales y sistemas – Shaum

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3 comentarios en “La función Impulso Unitario”

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