Análisis de sistemas de control, Respuesta Transitoria

Sistemas de primer orden – Sistemas de control

La función de transferencia normalizada de un sistema de 1er orden es la siguiente:

Dónde:

El método más utilizado para estudiar el comportamiento de los sistemas de 1er orden consiste en someter dicho sistema a un conjunto de entradas típicas: el impulso, el escalón unitario, la rampa y una señal alterna sinusoidal (ver Anexo 1).

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada impulso unitario (impulse)

Supongamos que probamos un sistema de 1er orden con una entrada impulso unitario. Es decir, con R(s)=1.  (Para repasar la transformada de Laplace de señales elementales ver: La Transformada de Laplace) De esta manera la salida C(s) se puede despejar fácilmente de la ecuación (1) mediante:

Es decir, la función de transferencia de la ecuación (1) es igual que la respuesta la impulso. La ecuación (2) es la respuesta sistema al impulso en función de la frecuencia. Si queremos conocer esta respuesta c(t) en función del tiempo aplicamos la antitransformada de Laplace:

 La ecuación anterior muestra un comportamiento exponencial decreciente. Esta es la salida de un sistema de primer orden ante una entrada impulso unitario, la cual se puede ver en la siguiente gráfica:

Figura 1. Respuesta al impulso de un sistema de 1er orden.

En la Figura 1, la constante de tiempo T es el tiempo que tardaría el sistema en alcanzar el valor final si variase al ritmo que lo hace inicialmente. También coincide la constante T con el tiempo en que la salida alcanza el 37% de su valor final.

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada escalón (Step)

Supongamos ahora que probamos el sistema de 1er orden con una entrada escalón con amplitud A, es decir, R(s)=A/s. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos los siguientes resultados:

En este caso, la salida de un sistema de primer orden ante una entrada escalón de amplitud A tiene un valor inicial igual a cero (suponiendo condiciones iniciales nulas) y luego aumenta exponencialmente hasta estabilizarse en un valor igual a Ak. Dicha respuesta se puede ver en la siguiente gráfica:

Figura 2. Respuesta al escalón de amplitud A de un sistema de 1er orden.

En la Figura 2, la constante de tiempo T es el tiempo en que la salida del sistema alcanza el 0.632 (63.2%) de su valor final. Podemos apreciar además que un tiempo igual a 4 constantes de tiempo (4T) el sistema se estabiliza (tiempo de establecimiento; ts=4T) ya que la salida alcanza su valor final o se mantiene al menos a 98.2% del mismo.

Respuesta de un sistema de 1er orden a una entrada rampa (ramp) 

Probemos ahora el sistema de 1er orden con una entrada rampa con amplitud A, es decir, R(s)=A/s2. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos los siguientes resultados:


Figura 3. Respuesta a la entrada rampa de amplitud A de un sistema de 1er orden.

En la Figura 3 podemos ver que u sistema de 1er orden ante una entrada rampa siempre tiene un error La constante de tiempo T representa en este caso el tiempo del que parte la asíntota a la que tiende la respuesta del sistema en estado estacionario.

Veamos un ejemplo para mostrar esta teoría.

Ejemplo 1

En el link Dinámica de un sistema de nivel de líquidos hemos demostrado la siguiente función de transferencia para el sistema de la Figura:

De acuerdo con la ecuación normalizada (1) para un sistema de 1er orden, en el sistema de la figura anterior se cumple que:

Supongamos los siguientes valores para r y c:

Para probar h(t), la respuesta del sistema al impulso unitario, al escalón unitario y a la rampa unitaria, así como el valor de la salida cuando t= 1 s (constante de tiempo), utilizamos los siguientes scripts en Matlab:

Segunda aproximación

Un sistema de primer orden es aquel que queda definido por una ecuación diferencial de primer orden del tipo:

A continuación representa la función de transferencia G(s) de la ecuación anterior, la cual es:

Luego, se observa la ubicación del polo de G(s), localizado en s=-a0:

Por conveniencia analítica vamos a ordenar G(s) de la siguiente manera:

Dónde:

K y τ son los parámetros más importantes de un sistema de primer orden ya que ayudan a comprender (o anticipar) rápidamente el comportamiento del sistema. Esto es posible porque por lo general se utiliza el escalón unitario como entrada de prueba u(t) a la mayoría de los sistemas para saber cómo va a comportarse la salida y(t).

Aplicando la antitransformada de Laplace a la ecuación Y(s)/U(s), en término de los parámetros definidos anteriormente, podemos ver fácilmente que la salida y(t) de un sistema de primer orden sometido a una entrada escalón ue(t)  de amplitud A, es:

Bien interesante en la expresión anterior es darse cuenta de lo siguiente:

  • Que si la constante a0 es positiva, la respuesta exponencial del sistema termina estabilizándose. Esto concuerda con la teoría que dice que los polos de una función de transferencia deben estar ubicados en el lado izquierdo del plano s para que un sistema sea estable.
  • Que la constante de tiempo τ es positiva si la constante a0 es positiva. Lo que tiene mucho sentido ya que τ es un intervalo de tiempo. Si a0 fuera negativa, la constante τ es negativa y el sistema es inestable.
Ejemplo 2

El siguiente ejemplo y su gráfica en Matlab (Figura 4) nos permite ver la forma estándar de y(t) como salida de un sistema de primer orden sometido a una entrada escalón ue(t)  de amplitud 1, K=2, τ=1:

>> G=tf([2],[1 1]);

>> step(G)

Figura 4

En la Figura 4 podemos ver el significado cualitativo de las constantes K y τ. La constante K es el valor final del sistema de primer orden cuando ha pasado mucho tiempo (estado estable). En el ejemplo y gracias a la gráfica de la Figura 5, vemos que ese valor final es 2, tal como lo especifica G(s). De allí la utilidad de saber el valor de K si el sistema es de primer orden….ya sabemos cuál es el valor final del sistema en estado estable para una entrada escalón unitario.  

Por su parte, por definición, la constante τ es el tiempo en el que un sistema tarda en alcanzar el 63.2% de su valor final. Esto lo podemos comprobar en nuestro ejemplo. Si el valor final del sistema a la entrada escalón unitario es igual a 2, el 63,2% de 2 es 1.264. En nuestra gráfica de Matlab podemos marcar el valor de la salida con click derecho sobre la curva azul, y luego arrastrar este punto hasta τ=1, y notar que el valor es el esperado en la Figura 5:

Figura 5

 En la siguiente gráfica, Figura 6, podemos observar en general el significado de los parámetros definidos para un sistema de primer orden:

Figura 6. Respuesta de un sistema de 1er orden ante una entrada escalón unitario.

Otra característica de importancia es el tiempo en que el sistema alcanza el estado estable, conocido como ts (tiempo de establecimiento o tiempo de asentamiento) para lo cual existen dos criterios, el criterio del 2% o el criterio del 5%. El tiempo de asentamiento ts es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.

De acuerdo con la Figura 6, y según el criterio del 5%, el ts se alcanza en t=3τ.  Por otra parte, según el criterio del 2%, el ts se alcanza en t=4τ. Podemos corroborar estas afirmaciones en nuestro ejemplo y su gráfica en Matlab (Figura 7), sabiendo que el 2% de 2 es 0.04 (la salida tiene que valer 1.96 o menos después de t=4s), mientras que el 5% de 2 es 0.1 (la salida tiene que valer 1.90 o menos después de t=3s):

Figura 7

La ecuación que permite relacionar el tiempo de asentamiento ts con la constante τ es la siguiente:

Donde tR es el tiempo de retraso si es que llega a presentarse.

Ejemplo 3

Para incorporar  un retraso de 2 segundos en nuestro ejemplo anterior (Figura 4), modificamos nuestra G(s) de la manera siguiente (Figura 8):

>> s=tf(‘s’);

>> H=exp(-2*s);

>> G2=G*H;

>> step(G2)

Figura 8

Por lo tanto, el tiempo de establecimiento en nuestro ejemplo, de acuerdo con ambos criterios, es:

Figura 9
Ejemplo 4. 

Considerando un sistema de primer orden definido por:

Obtenga la respuesta del sistema cuando se le aplica una entrada escalón U(t)=9, así como su valor final y(∞):

Respuesta:

Sabemos que la salida de un sistema de primer orden es del tipo:

Donde A es la amplitud de la entrada escalón. Por lo tanto, sólo debemos obtener el valor de ambos parámetros K y τ a partir de la función G(s):

Sabemos también que en un sistema de primer orden la función G(s) tiene la siguiente forma:

Entonces podemos aseverar que:

Por lo tanto:

De donde también podemos deducir el valor final de yt):

Ejemplo 4

Hablemos ahora de un sistema físico de primer orden muy común, un circuito RC (también lo es un circuito RL) como el de la Figura:

null
null

Demostrar que la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario es:

null

Respuesta:

Sabemos que la salida de un sistema de primer orden es del tipo:

Que a su vez es la solución para la ecuación diferencial del tipo:

Comparamos las siguientes ecuaciones:

De la comparación podemos asignar lo siguiente:

Entonces la expresión para Vc es del tipo:

La expresión anterior supone que la condición inicial V(0) del capacitor es cero. Caso contrario, debe incluirse de la manera siguiente:

Queda así demostrado el enunciado del problema, ya que en un circuito RC la constante τ=RC.

Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta: Sistemas de segundo orden

Anexo 1: Señales típicas para probar sistemas
Figura 10. Señales típicas de prueba de sistemas.
Anexo 2
Figura 11. Respuesta transitoria (homogénea) y permanente (particular).

Anexo 3: sistema de segundo orden

Figura 12. Sistema de segundo orden

Te puede interesar:

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Automática – Tema 4 – Respuesta temporal
  4. Introducción a los sistemas de control con matlab
  5. 2.1 Respuesta transitoria

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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1 comentario en “Sistemas de primer orden – Sistemas de control”

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