Supongamos que queremos los valores generados por la señal x(t) siguiente a lo largo de un período de tiempo desde 0 hasta 1 segundos, con incrementos de 0.1 segundos, es decir, t=0:0.1:1:
Vemos que la operación consiste en evaluar x(t) 11 veces (para 11 valores distintos de t):
¿Qué pasaría si tuviéramos que evaluar en un rango más amplio, tal como t entre 0 y 1, pero con incrementos de 0.01, es decir, t=0:0.01:1? Tendríamos que repetir el cálculo anterior 101 veces!!.
He aquí donde se observa claramente la ventaja del procesamiento de señales digitales, ya que la computadora nos permite hacer este trabajo iterativo mediante flujos de control aportados por aplicaciones que están al alcance de presupuestos ajustados. Veamos cómo se hace con Matlab.
Podemos expresar la función x(t) de nuestro ejemplo de la manera siguiente:
Primer método: En este enfoque, calcularemos cada componente sinusoidal en un paso como un vector, utilizando el tiempo t=0:0.1:1 como otro vector y luego sumando cada componente sinusoidal mediante un bucle for..end.
>> t=0:0.1:1;
>> xt=zeros(1,length(t));
>> for k=1:3
xt=xt+(1/k)*sin(2*pi*k*t);
>> end
Este algoritmo nos permite obtener de una manera muy eficiente, los valores de x(t) para el período de tiempo de interés:
Segundo método: Veremos ahora como, por medio de la multiplicación matriz-vector, Matlab puede ser incluso más eficiente. Para fines de demostración, considere solo cuatro valores para t:
Principalmente debido a sus ventajas, el procesamiento de señales digitales(DSP – Digital Signal Processing) se está convirtiendo en la primera opción en muchas tecnologías y aplicaciones, como la electrónica de consumo, las comunicaciones, los teléfonos inalámbricos y las imágenes médicas.
Ventajas
Además, el enfoque DSP hace posible convertir una computadora personal económica en un potente procesador de señales. El sistema que utiliza el enfoque DSP se puede desarrollar utilizando software que se ejecuta en una computadora de uso general. En consecuencia, DSP es relativamente conveniente de desarrollar y probar, y el software es portátil.
Desventajas
Clasificacióny aplicaciones
La mayoría de las operaciones de PDS se pueden clasificar como tareas de análisis de señales o tareas de filtrado de señales:
Análisis de señales: estas tareas se ocupan de la medición de las propiedades de las señales. Generalmente es una operación en el dominio de la frecuencia. Algunas de sus aplicaciones son:
Spectrum (frequency or/and phase analysis)
Speech recognition
Speaker verification
Target detection
Filtrado de señales: esta tarea se caracteriza por la situación de señal de entrada y salida. Los sistemas que realizan esta tarea generalmente se denominan filtros. Suele ser (pero no siempre) una operación en el dominio del tiempo. Algunas de las aplicaciones son:
Removal of unwanted background noise
Removal of interference
Separation of frequency bands
Shaping of the signal spectrum
En algunas aplicaciones, como la síntesis de voz, primero se analiza una señal para estudiar sus características, que son las que se utilizan en el filtrado digital para generar una voz sintética.
Matlab proporciona una variedad de comandos que nos permiten controlar el flujo de comandos en un programa.
Algoritmos de control
El constructo más común es la estructura if-elseif-else. Otro constructo de flujo de control común es el bucle for..end. Es simplemente un ciclo de iteración que le dice a la computadora que repita alguna tarea un número determinado de veces. El siguiente ejemplo ilustra el concepto:
Ejemplo 1
Considere la siguiente suma de funciones sinusoidales. Utilice Matlab para generar muestras de x (t) en las instancias de tiempo 0:0.1:1.
Primer método: En este enfoque, calcularemos cada componente sinusoidal en un paso como un vector, usando el vector de tiempo t=0:0.1:1 y luego sumaremos todos los componentes usando un bucle for..end.
Segundo método: en este enfoque, usaremos la multiplicación matriz-vector. Veremos qué tan eficiente podría ser Matlab de esta manera. Para fines de demostración, considere solo cuatro valores para t:
Matlab provides a variety of commands that allow us to control the flow of commands in a program.
Control Flow
The most common construct is the if-elseif-else structure. Another common control flow construct is the for..end loop. It is simply an iteration loop that tells the computer to repeat some task a given number of times. The following example illustrates the concept:
Example 1.
Consider the following sum of sinusoidal functions. Use Matlab to generate samples of x(t) at the time instances 0:0.1:1.
First method: In this approach, we will compute each sinusoidal component in one step as a vector, using the time vector t=0:0.1:1 and then add all components using one for..end loop.
Second method: In this approach, we will use matrix-vector multiplication. We will see how efficient could be Matlab by this way. For the purpose of demostration, consider only four values for t:
Primarily because of its advantages, Digital Signal Processing (DSP) is now becoming a first choice in many technologies and applications, such as consumer electronics, communications, wireless telephones, and medical imaging.
In addition, DSP approach makes it possible to convert an inexpensive personal computer into a powerful signal processor. System using the DSP approach can be developed using software running on a general-purpose computer. In consequence, DSP is relatively convenient to develop and test, and the software is portable.
Most DSP operations can be categorized as being either signal analysis tasks or signal filtering tasks:
Signal analysis: This tasks deal with the measurement of signal properties. It is generally a frequency-domain operation. Some of its applications are:
Spectrum (frequency or/and phase analysis)
Speech recognition
Speaker verification
Target detection
Signal filtering: This task is characterized by the signal-in signal-out situation. The systems that perform this task are generally called filters. It is usually (but not always) a time-domain operation. Some of the applications are:
Removal of unwanted background noise
Removal of interference
Separation of frequency bands
Shaping of the signal spectrum
In some applications, such as voice synthesis, a signal is first analyzed to study its characteristics, which are the used in digital filtering to generate a synthetic voice.
El conmutador del circuito ha estado en posición A durante mucho tiempo y el circuito ha alcanzado el régimen estacionario. En t=0 s el conmutador pasa a la posición B de forma que la energía almacenada en el inductor se va disipando en la resistencia R3. Determinar el tiempo necesario para que la energía almacenada en el inductor se reduzca al 50%. Se sabe que: Ig=-5 A; R1=75 ohm; R2=50 ohm; R3=100 ohm; L=200 microH.
Respuesta:
Debido a que el conmutador del circuito ha estado en posición A durante mucho tiempo, el circuito ha alcanzado el régimen estacionario y el circuito equivalente en t<0 es el siguiente:
En régimen permanente el inductor se comporta como un corto circuito, por lo que, aplicando Kirchhoff, sabemos que:
Para determinar el tiempo necesario para que la energía almacenada en el inductor se reduzca al 50%, de lo aprendido en Respuesta natural y forzada de un circuito RL, utilizamos la siguiente relación:
En t=0 la energía acumulada en el inductor es la siguiente:
Así, el 50% de la energía acumulada en el inductor es:
De la ecuación principal para la energía, podemos deducir dos factores que se restan:
De la ecuación anterior vamos a despejar el valor de la corriente iL(t) para el instante en que la mitad de la energía en el inductor se ha consumido, es decir, para el momento en que W(t)=0.45 mJ:
Ahora, igualamos este último resultado a la expresión general deducida más arriba para iL(t) y despejamos el valor del tiempo t en el cual se alcanza una corriente de iL(t)=2.12 A, el cual es el tiempo en que se ha consumido la mitad de la energía almacenada en el inductor L:
De donde:
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
En general, cualquier señal discreta x[n] puede ser representada como una combinación lineal de deltas desplazadas. En general se cumple que:
Ejemplo:
Sea la función x[n] representada por la siguiente gráfica:
La función x[n] de la gráfica anterior puede ser representada mediante la siguiente sumatoria:
A continuación se observa cada una de las gráficas que se suman para formar x[n]:
Suma de convolución
En el ejemplo anterior se ve claramente la importancia de las propiedades de muestreo y selección definidas anteriormente para la función impulso unitario (El Impulso Unitario). Su importancia reside en el hecho de que x[n] se puede representar como una superposición de versiones escaladas de un conjunto muy sencillo de funciones elementales, es decir, de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. A partir de este simple hecho vamos a presentar ahora uno de los conceptos más importante del análisis de sistemas lineales, la idea de la sumatoria de convolución.
Decíamos antes que cualquierseñal discreta x[n] puede representarse como una combinación lineal de deltas desplazadas:
Supongamos ahora que x[n] representa toda entrada para un arbitrario Sistema A cuya salida es y[n]. Recordemos del párrafo anterior que en realidad x[n] es una suma de versiones escaladas (con peso x[k]) de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados.
Designemos a hk[n] como la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ[n-k]. Debido a que el sistema es un LTI (cumple con la propiedad de linealidad y de invarianza en el tiempo) podemos expresar matemáticamente la salida y[n] del Sistema A como una sumatoria de las respuestas individuales del sistema a cada impulso unitarios δ[n-k] con peso x[k]:
Entonces, de acuerdo con la ecuación anterior, si conocemos la respuesta de un sistema lineal al conjunto de impulsos unitarios desplazados, podemos construir la respuesta a cualquier entrada arbitraria. Debido a que δ[n-k] es la versión desplazada de δ[n], así hk[n] es una versión desplazada de su versión en el origen h0[n]. Por lo tanto:
Por convención científica se obvia el subíndice en h0[n] y se deja simplemente como h[n]. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:
Este importante resultado se conoce como suma de convolución, y el miembro derecho de la ecuación se conoce como convolución de las secuencias x[n] y h[n].
Para la convolución de las secuencias x[n] y h[n] se utiliza el signo *. De esta manera, la salida y[n] del Sistema A se puede expresar como:
Dónde:
La Figura siguiente presenta un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora:
La aplicación de este resultado lo podemos ver gráficamente mediante el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sean la entrada x[n] a un sistema y su repuesta al impulso h[n], tal como se especifica a continuación:
Determinar la salida y[n] del sistema.
Respuesta:
Pasos para aplicar la sumatoria de convolución
Repetimos este importante hallazgo, la salida y[n] de cualquier sistema LTI de tiempo discreto se puede obtener mediante la convolución de la entrada x[n] con la respuesta al impulso h[n]. Es lo que manifiesta el siguiente esquema:
La suma de convolución anterior involucra los siguientes pasos:
La respuesta al impulso h[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h[-k] y posteriormente se desplaza mediante n para formar h[n-k] = h[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
Las dos secuencias x[k] y h[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
El producto x[k]h[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y[n];
Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y[n].
Ejemplo 1:
La entrada x[n] y la respuesta al impulso h[n] de un sistema LTI están dadas por:
Calcule la salida y[n] mediante:
Respuesta:
Las secuencias para x[k] y h[n-k], y el resultado de la multiplicación y posterior suma, se observan a continuación:
Propiedades de la convolución.
Las siguientes propiedades de la suma de convolución son análogas a las de la integral de convolución:
Otras propiedades de interés son:
También la solución a cierto problema se puede determinar de manera analítica, utilizando las propiedades de la convolución señaladas anteriormente. Tal es el caso del siguiente ejemplo.
Ejemplo 2:
Ante una entrada x[n], la respuesta y[n] de un sistema LTI es:
Se conoce que la respuesta al impulso h[n] del sistema:
Determinar x[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:
Respuesta:
Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:
Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:
Luego, si seleccionamos:
Entonces:
Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a).
Respuesta al escalón.
La respuesta y[n] al escalón u[n] de un sistema LTI de tiempo discreto cuya respuesta al impulso es h[n], se obtiene fácilmente mediante:
Notar que, de acuerdo con la ecuación anterior:
Notar la estrecha relación que tiene este resultado con el hecho demostrado en El Impulso Unitario de que:
Es decir, podemos conocer la respuesta al impulso de un sistema LTI discreto, a partir de su respuesta a la función escalón, mediante:
La función impulso unitario δ(t), también conocida como Delta de Dirac, tiene un papel fundamental en el análisis de señales. La misma está definida de la siguiente manera:
Esta señal de puede ver como un pulso rectangular de área unidad, ancho ε y altura 1/ε, tal como se muestra en la Figura 1:
Figura 1
Como se puede ver en la Figura anterior, la función impulso unitario es una función par, es decir:
La función impulso unitario δ(t) no es una función en el sentido ordinario como se define una función. Una función ordinaria viene especificada para todos sus valores de tiempo t. La función impulso unitario es cero para todo valor de t, excepto en t=0, y este es el único punto interesante de su dominio, y sin embargo aquí su valor es indefinido. Más útil es definir la función impulso unitario δ(t) como una función generalizada. Una función generalizada se define por sus efectos sobre otras funciones, en vez de ser definida por los valores que asume en su dominio.
En este caso, la función impulso unitario δ(t) se define sobre todo por su propiedad de muestreo y por su propiedad de selección.
Otra manera de decirlo es que la función impulso unitario δ(t)está mejor definidapor sus aplicaciones que por los valores que asume en su dominio.
Propiedad de muestreo – multiplicación de una función particular por una función impulso.
Supongamos la multiplicación entre la función δ(t) y una función cualquiera Φ(t) continua en t=0, donde la función tiene una magnitud Φ(0) en ese punto. Se obtiene que:
Este resultado es de gran importancia y se va a aplicar en la siguiente propiedad. Además, se puede generalizar para una función impulso unitario desplazado en t=T:
Propiedad de selección de la función impulso unitario
Integrando el resultado de la propiedad anterior y utilizando la definición del impulso unitario dado al principio, obtenemos que:
La anterior es una de las propiedades más importantes en el análisis de señales y sistemas. Este resultado se puede generalizar como:
Propiedad de escalamiento de la función impulso unitario
Se puede demostrar que:
Lo que implica que:
La función impulso unitario y la función escalón unitario.
Una aplicación de gran importancia en cuanto a la función impulso unitario, es que hace posible la existencia de la derivada de la función escalón unitario en t=0, lo cual no es posible en el sentido de una función ordinaria, pero si en el sentido de una función generalizada. Para esto, integramos el producto de la función Φ(t) definida anteriormente y du(t)/dt:
Este resultado demuestra que du(t)/dt satisface la propiedad de selección de δ(t). Es decir, en términos de una función generalizada:
En consecuencia:
A continuación pasamos a estudiar el caso tiempo discreto.
Impulso unidad delta.
Se trata de una de las señales discretas más simples, la señal impulso unitario discreto, la cual se define como:
De hecho, la señal impulso unitario discreto es la base de la representación de las señales discretas, cualquier señal discreta se puede obtener como combinación lineal de deltas desplazadas. El ejemplo más relevante es el escalón unidad o escalón unitario.
Escalón unidad
La señal escalón unitario se define como:
El escalón unitario es la suma de un tren de impulsos:
De esta manera, complementado el caso de tiempo continuo, el impulso unidad se puede expresar como:
También se puede expresar el escalón unitario como:
Es interesante constatar que en el caso del impulso unidad también se cumple la propiedad de muestreo:
En general, cualquier señal discreta x[n] puede ser representada como una combinación lineal de deltas desplazadas. En general se cumple que:
Ejemplo:
Sea la función x[n] representada por la siguiente gráfica:
La función x[n] de la gráfica anterior puede ser representada mediante la siguiente sumatoria:
A continuación se observa cada una de las gráficas que se suman para formar x[n]:
Suma de convolución
En el ejemplo anterior se ve claramente la importancia de las propiedades de muestreo y selección definidas anteriormente para la función impulso unitario. Su importancia reside en el hecho de que x[n] se puede representar como una superposición de versiones escaladas de un conjunto muy sencillo de funciones elementales, es decir, de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. A partir de este simple hecho vamos a presentar ahora uno de los conceptos más importante del análisis de sistemas lineales, la idea de la suma de convolución.
Decíamos antes que cualquierseñal discreta x[n] puede representarse como una combinación lineal de deltas desplazadas:
Supongamos ahora que x[n] representa toda entrada para un arbitrario Sistema A cuya salida es y[n]. Recordemos del párrafo anterior que en realidad x[n] es una suma de versiones escaladas (con peso x[k]) de impulsos unitarios δ[n-k] desplazados. Designemos a hk[n] como la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ[n-k].
A first order system is one that is defined by a first order differential equation of the type:
In Figure 1 the transfer function G(s) of the previous equation is represented:
Figure 1
Figure 2 shows the location of the pole of G(s), located in s=-a0:
Figure 2
For analytical convenience we are going to order G(s) as follows:
Where K and τ are The System Gain and The Time Constant respectively. K and τ are the most important parameters of a first order system as they help to quickly understand (or anticipate) the behavior of the system. This is possible due to the unit step is usually used as the test input u(t) to most systems to know how the output y(t) is going to behave.
Applying Laplace’s anti-transform to the equation Y(s)/U(s), in terms of the parameters defined above, we can easily see that the output y(t) of a first-order system subjected to a step input ue(t) of amplitude A, is:
Very interesting in the previous expression is to realize the following:
That if the constant a0 is positive, the exponential response of the system ends up stabilizing. This agrees with the theory that the poles of a transfer function must be located on the left side of the s-plane for a system to be stable.
That the time constant τ is positive if the constant a0 is positive. Which makes a lot of sense since τ is a time interval. If a0 were negative, the constant τ is negative and the system is unstable,
Example 1
The following example and its graph in Matlab (Figure 3) allows us to see the standard form of y(t) as the output of a first order system subjected to a step input ue(t) of amplitude 1, K=2, τ=1:
>> G=tf([2],[1 1]);
>> step(G)
Figure 3
In Figure 3 we can see the qualitative meaning of the constants K and τ. The constant K is the final value of the first order system when a long time has passed (steady state). In the example and thanks to the graph in Figure 2, we see that this final value is 2, as specified by G(s). Hence the usefulness of knowing the value of K if the system is of the first order …. We already know what the final value of the system is in steady state for a unit step input.
For its part, by definition, the constant τ is the time it takes a system to reach 63.2% of its final value. We can check this in our example. If the final system value at the unit step input is equal to 2, 63.2% of 2 is 1,264. In our Matlab graph we can mark the value of the output with a right click on the blue curve, and then drag this point until τ = 1, and notice that the value is as expected, Figure 4:
Figure 4
n the following graph, Figure 5, we can observe in general the meaning of the parameters defined for a first order system:
Figure 5. Response of a 1st order system to a unit step input.
Another important characteristic is the time in which the system reaches the stable state, known as ts (settlement time) for which there are two criteria, the 2% criterion or the 5% criterion. Settling time ts is the time required for transient damped oscillations to reach and remain within ± 2% or ± 5% of the final value or steady state value.
According to Figure 5, and according to the 5% criterion, the ts is reached at t = 3τ. On the other hand, according to the 2% criterion, the ts is reached at t = 4τ. We can corroborate these statements in our example and its graph in Matlab (Figure 6), knowing that 2% of 2 is 0.04 (the output has to be worth 1.96 or less after t = 4 s), while 5% of 2 is 0.1 (output must be 1.90 or less after t = 3 s)
Figure 6
The equation that allows to relate the settlement time ts with the constant τ is the following:
Where tR is the delay time if it comes to show up.
Ejemplo 2
To incorporate a 2 seconds delay in our previous example (Figure 3), we modify our G(s) as follows (Figure 7):
>> s=tf(‘s’);
>> H=exp(-2*s);
>> G2=G*H;
>> step(G2)
Figure 7
Therefore, the settling time ts in our example, according to both criteria, is:
Figure 8
Example 3.
Considering a first-order system defined by:
Obtain the response of the system when a step input U(t)=9 is applied to it, as well as its final value y(∞):
Solution:
We know that the output of a first-order system is of the type:
Where A is the amplitude of the step input. Therefore, we only have to obtain the value of both parameters K and τ from the function G(s):
We also know that in a first order system the function G(s) has the following form
Then we can assert that:
Thus:
From where we can also deduce the final value of y(t):
Ejemplo 4
Hablemos ahora de un sistema físico muy común, un circuito RC como el de la Figura:
