Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de Controlador PD utilizando sisotool de Matlab

Para determinar los valores de las constantes Kp y Td de un controlador PD, utilizaremos Matlab. Considere un Sistema con una planta inestable con función de transferencia Gp(s):

null
Función de transferencia de la Planta

Usando el enfoque del LGR diseñar un control proporcional-derivativo (determinar los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 0.5 rad/seg.

Respuesta:

  1. Para describir cualitativamente el comportamiento de la planta, la incorporamos a un sistema de control elemental (realimentación unitaria) como el que se muestra en el siguiente diagrama de bloques, Figura 1:
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Figura 1. Se incorpora la planta a un sistema de control con realimentación unitaria

Luego, observamos el Lugar Geométrico de sus Raíces (LGR) mediante el siguiente comando en Matlab (para un repaso de LGR ver:):

>> G=tf([1],[10000 0 -11772])

>> rlocus(G)

>> grid

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Figura 2. Lugar Geométrico de las raíces de la planta antes de incorporar el controlador PD

Podemos ver en la Figura 2 que para ganancias cercanas a 1, el sistema tiene raíces ubicadas en el lado derecho del plano s, por lo tanto se trata de un sistema inestable (para un repaso de estabilidad ver:Estabilidad). Podemos además solicitar a Matlab las raíces de nuestra planta para la ganancia exactamente igual a 1 mediante:

>> pole(G)

ans =    1.0850     -1.0850

Para alcanzar las especificaciones solicitadas (factor de amortiguamiento ζ=0.7 y frecuencia natural no amortiguada ωn =0.5 rad/seg.), introducimos en la función de transferencia directa un controlador PD, Figura 3:

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Figura 3. Se incorpora el controlador PD al sistema de control.

La justificación de aplicar un controlador PD es que las especificaciones involucran a la respuesta transitoria, etapa en la cual la aplicación del controlador PD es ideal, según se concluye en la teoría. Analíticamente ya se demostró en Controlador PD que los valores de las constantes son Kp =14272 y Td =0.49 s. En esta oportunidad vamos a determinar estos valores utilizando el Matlab Control System Toolbox, en especial el comando sisotool:

>> sisotool(G)

Esta herramienta ofrece una interface gráfica que facilita el diseño del controlador de acuerdo con los requerimientos solicitados (Graphical Tuning, Root Locus Design). En la Figura 4 podemos observar las dos pantallas iniciales:

Figura 4

Hacemos click derecho sobre el LGR, seleccionamos las pestañas según la Figura 5:

Figura 5

Al asignar el valor del parámetro ζ, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 6

Aplicamos el mismo procedimiento para asignar el valor de ωn:

Figura 7

Al asignar los valores solicitados en las ventanas para cada parámetro, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 8

En la Figura 8 el punto donde se interceptan las curvas negras señalan el lugar geométrico donde se cumplen ambas especificaciones.

Como ya sabemos, agregar un controlador PD es agregar un cero y una ganancia (ver Controlador PD). Ello lo podemos hacer utilizando el menú del LGR:

Figura 9

Procedemos agregar un cero al eje real del plano s:

Figura 10. Agregamos un cero al eje real del plano s.

Ahora arrastramos el cero a lo largo del eje real, utilizando click derecho, hasta que el LGR (líneas azules) coincida con el punto de intercepción de las líneas negras:

Figura 11. Arrastramos el cero a la izquierda del eje s hasta que el LGR coincida con la intercepción de las curvas negras.

Ahora, arrastramos los polos hasta el punto de intercepción de las curvas negras y el LGR:

Figura 12. Los polos coinciden con la intercepción de las curvas.

En el borde inferior izquierdo, mientras ubicamos los polos en el lugar correcto del LGR, podemos ver como evolucionan los valores de los parámetros damping y frecuencia natural;

Figura 13. Movemos los polos hasta que se cumplan los requerimientos.

Seleccionamos la pestaña “compensator editor” para ver los cambios en el controlador:

Figura 14. Valores de las constantes del compensador

Vemos que los valores del compensador se asemejan a los obtenidos de manera analítica:

Valores de las constantes del controlador PD

En la misma ventana del “compensator editor” seleccionamos la pestaña “Analysis Plots”:

Figura 15. Solicitud de gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario.

De manera automática obtenemos la gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario:

Figura 16

A la gráfica de la Figura 16 se le puede pedir otros valores de importancia en la respuesta transitoria del sistema, como por ejemplo el sobreimpulso:

Figura 17. Sobreimpulso de la respuesta del sistema al escalón unitario.
Otro Ejemplo

Utilice MATLAB y su “Control System Toobox“, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:

  1. Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
  2. Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
  3. En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
  4. En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
  5. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  6. Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
  7. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  8. Elija Settling time y click OK.
  9. Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
  10. Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
  11. Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
  12. Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
  13. Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
  14. Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
  15. Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.

Entradas Relacionadas:

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. 4 PD, PI, PID

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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