Efecto de añadir un zero – Ejemplo – Diseño de Sistema de control

Efectos de la adición de zeros: la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el LGR hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y además se acelera el asentamiento de la respuesta. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.

Para ilustrar este efecto, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Supongamos que estamos en presencia de un sistema con una planta inestable. Un ejemplo de semejante situación es la siguiente:

Donde G_(s) es la función de transferencia de la planta y H_(s)  es la función de transferencia del sensor utilizado para ensamblar el sistema a lazo cerrado, como se muestra en la Figura 1:

Figura 1

Sabemos por Álgebra de Bloques y la teoría sobre la Función de Transferencia, que la función de transferencia a lazo abierto de este sistema G_d(s) es:

Sabemos también que el LGR (Lugar Geométrico de las Raíces) se traza con la función de transferencia a lazo abierto G_d(s) de este sistema, para lo cual podemos hacer uso del siguiente comando en Matlab:

Gráfica 1

Análisis: En la gráfica 1 podemos ver que el sistema es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K. Es decir, si nos desplazamos por las curvas azul y verde, variando el valor de K, como en la gráfica 2, donde K₁=0.143; K₂=3.66 y K₁=30.5, respectivamente, vemos que los polos del sistema están ubicados en el lado derecho del plano s, y se trata por tanto de un sistema inestable:

Gráfica 2

Apliquemos el principio de la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto a este caso. Vamos a añadir un zero en s= -0.5 (Figura 2), por lo tanto la G_d(s) del sistema es ahora:

Figura 2

Veamos el efecto de añadir un zero al sistema mediante:

Gráfica 3

Análisis: En la gráfica 3 vemos que el LGR del sistema se ha desplazado hacia la izquierda y que el sistema es estable para cualquier valor positivo de la ganancia k, esto es, que todos los polos del sistema a lazo cerrado están ubicados en lado izquierdo del plano s (Gráfica 4), condición indispensable para que le sistema sea estable:

Gráfica 4

Fuente:

1. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 408-442-443.

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